2015年北京市中考数学试卷及答案解析.pdf

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1、第1页（共 21页）2015 年北京市中考数学试卷及答案解析一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1截止到 2015 年 6 月 1 日，北京市已建成34 个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000 立方米，将 140000 用科学记数法表示应为（）A14104B1.4105C1.4106D14106解：1400001.4105，故选：B2 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）AaBbCcDd解：根据图示，可得3|a|4，1|b|2，0|c|1，2|d|3，所以这四个数中，绝对值最大的是a故选：A3

2、一个不透明的盒子中装有3 个红球，2 个黄球和1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A16B13C12D23解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率=23+2+1=13故选：B4剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）ABCD解：A、不是轴对称图形，第2页（共 21页）B、不是轴对称图形，C、不是轴对称图形，D、是轴对称图形，故选：D5如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4l1，若 1124，2 88，则 3 的度数为（）A26B36C46D56解：如图，直线l4l1，1+AOB180，而 1124，AOB56，318

3、0 2 AOB180 88 5636，故选：B6如图，公路AC，BC 互相垂直，公路AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得AM 的长为1.2km，则 M，C 两点间的距离为（）A0.5kmB0.6kmC0.9kmD1.2km第3页（共 21页）解：在RtABC 中，ACB90，M 为 AB 的中点，MC=12ABAM1.2km故选：D7某市 6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A21，21B21，21.5C21，22D22，22解：这组数据中，21 出现了 10 次，出现次数最多，所以众数为21，第 15 个数和第16 个数都是22，所以中位数是

4、22故选：C8如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A景仁宫（4，2）B养心殿（2，3）C保和殿（1，0）D武英殿（3.5，4）解：根据表示太和门的点的坐标为（0，1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），第4页（共 21页）可得：原点是中和殿，所以可得景仁宫（2，4），养心殿（2，3），保和殿（0，1），武英殿（3.5，3），故选：B9一家游泳馆的游泳收费标准为30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡

5、类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A 类5025B 类20020C 类40015例如，购买A 类会员年卡，一年内游泳20 次，消费50+2520550 元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于4555 次之间，则最省钱的方式为（）A购买 A 类会员年卡B购买 B 类会员年卡C购买 C 类会员年卡D不购买会员年卡解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x 次，消费的钱数为y 元，根据题意得：yA50+25x，yB200+20 x，yC400+15x，当 45x55 时，1175yA1425；1100yB1300；1075yC1225；第5页（共 21页）由此可见，C 类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式

6、为购买C 类会员年卡故选：C10一个寻宝游戏的寻宝通道如图1 所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC 组成 为记录寻宝者的行进路线，在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y 与 x的函数关系的图象大致如图2 所示，则寻宝者的行进路线可能为（）AA O BBB ACCBOCDCBO解：A、从 A 点到 O 点 y 随 x 增大一直减小，从 O 到 B 先减小后增发，故 A 不符合题意；B、从 B 到 A 点 y 随 x 的增大先减小再增大，从A 到 C 点 y 随 x 的增大先减小再增大，但

7、在 A 点距离最大，故B 不符合题意；C、从 B 到 O 点 y 随 x 的增大先减小再增大，从O 到 C 点 y 随 x 的增大先减小再增大，在 B、C 点距离最大，故C 符合题意；D、从 C 到 M 点 y 随 x 的增大而减小，一直到y 为 0，从 M 点到 B 点 y 随 x 的增大而增大，明显与图象不符，故D 不符合题意；故选：C二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11分解因式：5x310 x2+5x5x（x1）2解：5x310 x2+5x5x（x22x+1）5x（x1）2故答案为：5x（x1）212如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA 组成的平面图形，则1+2+3+4+5

8、360第6页（共 21页）解：1+2+3+4+5（180 BAE）+（180 ABC）+（180 BCD）+（180 CDE）+（180 DEA）180 5（BAE+ABC+BCD+CDE+DEA）900（52）180900 540360故答案为：36013 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是九章算术最高的数学成就九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两问：每头牛、每只羊各值金多少两？

9、”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为5?+2?=102?+5?=8解：根据题意得：5?+2?=102?+5?=8，故答案为：5?+2?=102?+5?=8第7页（共 21页）14 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+14=0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b 的值：a4，b2关于 x 的一元二次方程ax2+bx+14=0 有两个相等的实数根，b2414ab2a0，ab2，当 b2 时，a4，故 b2，a4 时满足条件故答案为：4，215北京市20092014 年轨道交通日均客运量统计如图所示根据统计图中提供的信息，预估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约9

10、80万人次，你的预估理由是因为 20122013 年发生数据突变，故参照20132014 增长进行估算解：参考答案：1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算；参考答案 ：980，因为20122013 年发生数据突变，故参照20132014 增长进行估算（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分，估计学生答出980 至 1140 之间均可给分）16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：第8页（共 21页）老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线解：CACB，DADB，CD 垂直平分AB（到线段两

11、个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线）故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线三、解答题（本题共72 分，第 17 26 题，每小题5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第29 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17（5 分）计算：（12）2（-7）0+|3-2|+4sin60解：原式 41+2-3+432=5+318（5 分）已知2a2+3a60求代数式3a（2a+1）（2a+1）（2a1）的值解：2a2+3a60，即 2a2+3a6，原式 6a2+3a4a2+12a2+3a+1 6+1 719（5 分）解不

12、等式组4(?+1)7?+10?-5?-83，并写出它的所有非负整数解解：4(?+1)7?+10?-5?-83，由 得：x 2；由 得：x72，不等式组的解集为2x72，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3第9页（共 21页）20（5 分）如图，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BE AC 于点 E求证：CBE BAD 证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC，CBE+C CAD+C90，CAD BAD，CBE BAD21（5 分）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用到 2013 年底，全市已有公租自行车25 000 辆，

13、租赁点 600 个预计到 2015 年底，全市将有公租自行车50 000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013 年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2 倍预计到2015 年底，全市将有租赁点多少个？解：设到2015 年底，全市将有租赁点x 个，根据题意可得：25000600 1.2=50000?，解得：x1000，经检验得：x1000 是原方程的根，答：到 2015 年底，全市将有租赁点1000 个22（5 分）在?ABCD 中，过点D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF BE，连接AF，BF（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若 CF3，BF4，DF5

14、，求证：AF 平分 DAB（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，ABCDBEDF，BEDF，第10页（共 21页）四边形BFDE 是平行四边形DE AB，DEB90，四边形BFDE 是矩形；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，ABDC，DFA FAB在 RtBCF 中，由勾股定理，得BC=?2+?2=32+42=5，AD BCDF 5，DAF DFA，DAF FAB，即 AF 平分 DAB 23（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线 ykx+b（k0）与双曲线 y=8?的一个交点为P（2，m），与 x 轴、y 轴分别交于点A，B（1）求 m 的值；（2）若 PA2AB，求 k 的值

15、解：y=8?经过 P（2，m），2m8，解得：m4；（2）点 P（2，4）在 ykx+b 上，42k+b，b42k，直线 ykx+b（k0）与 x 轴、y 轴分别交于点A，B，A（2-4?，0），B（0，42k），如图，点A 在 x 轴负半轴，点B 在 y 轴正半轴时，P A2AB，ABPB，则 OAOC，第11页（共 21页）4?-2 2，解得 k1；当点 A 在 x 轴正半轴，点B 在 y 轴负半轴时，2-4?2=13，解得，k3k 1或 k 324（5 分）如图，AB 是O 的直径，过点 B 作O 的切线 BM，弦 CD BM，交 AB 于点 F，且?=?，连接 AC，AD，延长 AD

16、交 BM 于点 E（1）求证：ACD 是等边三角形；（2）连接 OE，若 DE2，求 OE 的长（1）证明：AB 是O 的直径，BM 是O 的切线，ABBE，CDBE，CDAB，?=?，?=?，?=?=?，AD ACCD，第12页（共 21页）ACD 是等边三角形；（2）解：连接OE，过 O 作 ONAD 于 N，由（1）知，ACD 是等边三角形，DAC 60AD AC，CDAB，DAB30，BE=12AE，ON=12AO，设O 的半径为：r，ON=12r，AN DN=32r，EN 2+32?，BE=12AE=3?+22，在 RtNEO 与 RtBEO 中，OE2ON2+NE2OB2+BE2，

17、即（?2）2+（2+3?2）2r2+(3?+22)2，r 2 3，OE2=(3)2+2528，OE 2 725（5 分）阅读下列材料：2015 年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为 38 万人次、21.75 万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26 万人次、20 万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18 万人次，熊猫馆的游

18、客密集度较高第13页（共 21页）2014 年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200 万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2 万人次，比 2013 年清明小长假增加了4.6 万人次；北京动物园游客接待量为22 万人次2013 年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32 万人次、13 万人次、14.9 万人次根据以上材料解答下列问题：（1）2014 年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为40万人次；（2）选择统计表或统计图，将20132015 年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量

19、表示出来解：（1）2014 年，玉渊潭公园的游客接待量是：32（1+25%）40（万人）故答案是：40；（2）2013 年颐和园的游客接待量是：26.24.621.6（万元）玉渊潭公园颐和园北京动物园2013 年3221.614.92014 年4026.2222015 年38261826（5 分）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1?的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1?的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数 y=12x2+1?的自变量x 的取值范围是x0；（2）下表是 y 与 x 的几组对应值x32 1-12-131312123y2563

20、2-12-158-531855181783252m求 m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，32），结合函数第14页（共 21页）的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值解：（1）x0，（2）令 x3，y=12 32+13=92+13=296；m=296；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值；该函数在x0 处断开；该函数没有最小值；该函数图象没有经过第四象限故答案为该函数没有最大值27（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，

21、过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线yx1第15页（共 21页）交于点 A，点 A 关于直线x1 的对称点为B，抛物线C1：yx2+bx+c 经过点 A，B（1）求点 A，B 的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：yax2（a0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围解：（1）当 y 2时，则 2x1，解得：x3，A（3，2），点 A 关于直线x1 的对称点为B，B（1，2）（2）把（3，2），（1，2）代入抛物线C1：yx2+bx+c 得：2=9+3?+?2=1-?+?解得：?=-2?=-1y x22x1顶点坐标为（1，2）（3）如图，当

22、C2过 A 点，B 点时为临界，第16页（共 21页）代入 A（3，2）则 9a2，解得：a=29，代入 B（1，2），则 a（1）22，解得：a2，29?228（7 分）在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合），连接 AP，平移 ADP，使点 D 移动到点 C，得到 BCQ，过点 Q 作 QHBD 于 H，连接 AH，PH（1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1 依题意补全图1；判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，且AHQ152，正方形ABCD 的边长为1，请写出求 DP 长的思路

23、（可以不写出计算结果）解：（1）如图 1；解法一：如图1，连接 CH，第17页（共 21页）四边形ABCD 是正方形，QHBD，HDQ 45，DHQ 是等腰直角三角形DP CQ，在 HDP 与 HQC 中?=?=?=?，HDP HQC（SAS），PH CH，HPC HCPBD 是正方形ABCD 的对称轴，AH CH，DAH HCP，HPC+DPH 180，DAH+DPH 180，ADP+AHP180，AHP180 ADP90，AH PH，AHPH解法二：如图1，连接 CH，QHBD，QHB BCQ90，B、H、C、Q 四点共圆，DHC BQC，由正方形的性质可知DHC AHD，由平移性质可知B

24、QC APD，AHD APD，A、H、P、D 四点共圆，PAH PDH 45，AHP ADP90，HAP 是等腰直角三角形，AH PH，AHPH（2）解法一：如图2，第18页（共 21页）四边形ABCD 是正方形，QHBD，HDQ 45，DHQ 是等腰直角三角形 BCQ 由 ADP 平移而成，PD CQ作 HRPC 于点 R，AHQ 152，AHB62，DAH 17设 DPx，则 DRHRRQ=1-?2tan17=?，即 tan17=1-?21+?2，x=1-?171+?17解法二：由（1）可知 AHP90，AHP ADP90，A、H、D、P 四点共圆，又 AHQ 152，BHQ90，AHB1

25、52 90 62，由圆的性质可知APD AHB 62，在 RtAPD 中，PAD90 62 28，PD AD?tan28 tan28第19页（共 21页）29（8 分）在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于 C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P，满足CP+CP 2r，则称 P为点 P 关于 C 的反称点，如图为点P 及其关于 C 的反称点P的示意图特别地，当点P与圆心C 重合时，规定CP 0（1）当 O 的半径为1 时 分别判断点M（2，1），N（32，0），T（1，3）关于 O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点 P 在直线 y x

26、+2 上，若点P 关于 O 的反称点P存在，且点P不在 x 轴上，求点 P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=-33x+2 3与 x 轴、y 轴分别交于点A，B，若线段 AB 上存在点P，使得点 P关于 C 的反称点P在 C 的内部，求圆心 C 的横坐标的取值范围解：（1）当 O 的半径为1 时 点 M（2，1）关于 O 的反称点不存在；N（32，0）关于 O 的反称点存在，反称点N（12，0）；T（1，3）关于 O 的反称点存在，反称点T（0，0）；OP2r2，OP24，设 P（x，x+2），第20页（共 21页）OP2x2+（x+2）22x24x+44

27、，2x2 4x0，x（x2）0，0 x2当 x2 时，P（2，0），P（0，0）不符合题意；当 x0 时，P（0，2），P（0，0）不符合题意；0 x2；（2）直线 y=-33x+2 3与 x 轴、y 轴分别交于点A，B，A（6，0），B（0，2 3），?=3，OBA60，OAB30设 C（x，0）当 C 在 OA 上时，作CHAB 于 H，则 CHCP2r 2，所以 AC4，C 点横坐标x 2（当 x2 时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H（2，0）在圆的内部）；当 C 在 A 点右侧时，AC 最大值为 2，所以 C 点横坐标x8综上所述，圆心C 的横坐标的取值范围是2 x8第21页（共 21页）