全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析.pdf

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1、2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析1/13 高一数学竞赛训练试题（2）一填空题：本大题共10 小题，每小题7 分，共 70 分1 设方程22210 xmxm的根大于2，且小于4，则实数m的范围是2从 6 双不同号码的鞋中取出4 只，至少配成一双的概率为3设实数x，y满足 x2-4x+y2+30，则22xy的最大值与最小值之差是4若存在正实数a，b满足()()nnabiabi（i是虚数单位，*nN），则n的最小值是5 若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则A的取值范围是6若数列na满足49a，11(1)(3)0nnnnaaaa（*nN），则满足条件的1a的所有可能值之积

2、是7已知2()942013f xxx，则6030()()nf nf n8设x，0,2y，且满足12sincossincos2xyxy，则xy的最大值为9复数 z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1+z2|6，则|z1-z2|_ 10将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31 年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是二解答题：本大题共4 小题，每小题20 分，共 80 分11在ABC中，,a b c分别是角,A B C的对边，设2,3acb AC求sinB的值2013 年全国高中数学联赛江苏赛区

3、初赛试题解析2/13 12如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B、D，A、C关于对角线BD对称的点分别是A、C证明：四边形A B C D是梯形2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析3/13 13设关于x 的一元二次方程2x2tx20 的两个根为、，(t 为实数，)若 x1，x2为区间 ，上的两个不同点，求证：4x1x2t(x1x2)40；设 f(x)4xtx2+1，f(x)在区间 ，上 的最大值与最小值分别为fmax与 fmin，g(t)fmaxfmin，求 g(t)的最小值2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析4/13 14正 100 边形的每个顶点染

4、红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析5/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析6/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析7/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析8/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析9/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析10/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析11/13 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析12/13 11在ABC中，,a b c分别是角,A B C的对边，设2,3ac

5、b AC求sinB的值分析化角为边转化为三角关系处理解由正弦定理及角变换求解由2acb，得sinsin2sinACB再由三角形内角和定理及3AC得2,3232BBAC，2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析13/13 所以231sinsin()cossin322222BBBA，31sinsin()cossin322222BBBC，又sin2sincos22BBB，代入到sinsin2sinACB中得3cos4sincos222BBB，由cos02B得3sin24B，从而13cos24B，所以39sin8B13设关于 x 的一元二次方程2x2tx20 的两个根为、，(t 为实数，)若

6、x1，x2为区间 ，上的两个不同点，求证：4x1x2t(x1x2)40；设 f(x)4xtx2+1，f(x)在区间 ，上 的最大值与最小值分别为fmax与 fmin，g(t)fmaxfmin，求 g(t)的最小值(湖南省 2002 年高中数学竞赛)解 考察函数h(x)=2x2tx2由于x1，x2，故 2x12tx120，2x22tx220，两式相加得2(x12x22)t(x1 x2)40又 4x1x2 2(x12x22)所以 4x1x2t(x1x2)4 2(x12 x22)t(x1x2)40。对于 t0，及 tx 40，f(x)2(4xt)tx+4=2t(4t2+16tx+4)此时 f(x)单调增所以fmaxf()，fminf()所以 g(t)f()f()2(t2+16)t(1t+41t+4)=2(t2+16)t(t()t2+4t(+)+16)2()t2+16，对于 t0，此结果也成立所以 g(t)的最小值为4