2022年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.pdf

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1、2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1. 已知函数2sinyx，则答： （A）有最小正周期2（B）有最小正周期（C）有最小正周期2（D）无最小周期2. 关于x的不等式22200 xaxa任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是答： （A）2（B）1（C）0（D）13. 已知向量a、b，设ABuu u ra 2b，5BCuuu ra 6b，7CDu uu ra 2b，则一定共线的三点是答： （A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D4. 设、为平面，m、n为直线，则m的一个充分条件是答： （A），nI，mn（B）

2、mI，（C），m（D）n，n，m5. 若m、22101010nx xaaa，其中12 34 5 6 7ia， ， ， ， ， ，01 2i， ，并且636mn，则实数对(, )m n表示平面上不同点的个数为答： （A）60个（B）70个（C）90个（D）120个6. 已知( )122007122007f xxxxxxxLL（xR），且2(32)(1),f aaf a则 a 的值有答： （A）2个（B）3个（C）4个（ D）无数个二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）7. 设nS为等差数列na的前n项和，若510S，105S， 则公差为.8. 设( )log ()af xxb (0a且1)

3、a的图象经过点(21)，它的反函数的图象经过点(2 8)，则ab等于.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 9. 已知函数( )yfx的图象如图，则满足22221()(lg(620)021xxffxxxx的x的取值范围为 . 10. 圆锥曲线22621030 xyxyxy的离心率是 . 11. 在ABC中，已知tan3B，22sin3C，3 6AC，则ABC的面积为12. 设命题P:2aa，命题Q: 对任何xR，都有2410 xax.

4、命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是.三、解答题（本题满分60 分，共 4 小题，每题各15 分）13. 设不等式组00 xyxy，表示的平面区域为D. 区域D内的动点P到直线0 xy和直线0 xy的距离之积为2. 记点P的轨迹为曲线C. 过点(22 0)F，的直线l与曲线C交于A、B两点 . 若以线段AB为直径的圆与y轴相切， 求直线l的斜率. 14. 如图，斜三棱柱111ABCA B C中，面11AAC C是菱形，160ACC，侧面11ABB A11AAC C，11A BABAC. B1B A1A 1 x y O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

5、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 求证： （1）1AA1BC；（2）求点1A到平面ABC的距离 . 15. 已知数列na中，11a，33nnaa，22nnaa. 求2007a.16.已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2007 年江苏省高中

6、数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1已知函数2sinyx，则（B ）. （A） 有最小正周期为2（ B） 有最小正周期为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （C） 有最小正周期为2（D） 无最小正周期解：)2cos1 (21sin2xxy，则最小正周期T.故选（ B） 2关于x的不等式02022aaxx任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是（C ）.（A） 2 （B） 1 （C

7、） 0 （D）1解：方程02022aaxx的两根是14xa，25xa，则由关于x的不等式22200 xaxa任意两个解的差不超过9，得9|9|21axx，即11a. 故选（ C） 3. 已知向量a、b，设ABuu u ra 2b，5BCuuu ra 6b，7CDu uu ra 2b，则一定共线的三点是（A ）.（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D解：2BDBCCDuuu ruu u ruuu ra 4b2ABuuu r，所以 A、B、D 三点共线 . 故选（ A） 4设、为平面，m、n为直线，则m的一个充分条件是（D ）.（A），nI，mn（B）mI，（C），m（D

8、）n，n，m解： （A）选项缺少条件m； （B）选项当/，时，/m； （C）选项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），mI时，m；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题.故选（ D） 5. 若m、22101010nx xaaa，其中12 34 5 6 7ia， ， ， ， ， ，01 2i， ，并且636mn，则实数对(, )m n表示平面上不同点的个数为（C ）（A）60个（B）70个（C）90个（D）120个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共

9、12 页 - - - - - - - - - - 解：由6514233及题设知，个位数字的选择有5 种.因为3217610，故（1） 由32 1知，首位数字的可能选择有2510种；（2） 由376 10及54 123知，首位数字的可能选择有2 48种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90种. 故选（ C） 6 已知( )122007122007f xxxxxxxLL（xR），且2(32)(1),f aaf a则 a 的值有（D ）.（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）无数个解：由题设知( )f x为偶函数，则考虑在11x时，恒有( )2(1232007)20082007f x

10、L所以当21321aa，且11 1a时，恒有2(32)(1)f aaf a由于不等式21321aa的解集为353522a，不等式111a的解集为20a因此当2253a时，恒有2(32)(1)f aaf a. 故选（ D） 二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）7设nS为等差数列na的前n项和，若105S，510S，则公差为1d . 解：设等差数列na的首项为1a，公差为d. 由题设得，545101010511dada即，1922211dada解之得1d.8. 设( )log ()af xxb (0a且1)a的图象经过点(2 1)，它的反函数的图象经过点(2 8)，则ba等于4.解：由题设

11、知log (2)1log (8)2aabb，化简得2(2)(8).baba，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - O 解之得1131ab，；2224.ab，（舍去） . 故ab等于 4.9已知函数( )yf x的图象如图，则满足22221()(lg(620)021xxffxxxx的x的取值范围为 2 1)x，解： 因为22lg620lg (3)11lg111xxx，所以2lg6200 xx.于是，由图象可知，2111xx，即201xx

12、，解得21x. 故 x 的取值范围为 2 1)x，10圆锥曲线0|3|102622yxyxyx的离心率是2解：原式变形为|3|) 1() 3(22yxyx，即22(3)(1)xy2|3|2yx所以动点),(yx到定点( 31)，的距离与它到直线03yx的距离之比为2故此动点轨迹为双曲线，离心率为211在ABC中，已知3tan B，322sinC，63AC，则ABC的面积为8 36 2ABCS解：在ABC中，由3tan B得60B由正弦定理得sin8sinACCABB因为60322arcsin，所以角C可取锐角或钝角，从而31cosC1 x y （第 9 题）精品资料 - - - 欢迎下载 -

13、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 23sinsin()sincoscossin36ABCBCBC故sin8 36 22ABCAC ABSA12. 设命题P:2aa，命题Q: 对任何xR，都有2410 xax.命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是021a或121a.解：由aa2得10a由0142axx对于任何xR成立，得04162a，即2121a因为命题P、Q有且仅有一个成立，故实数a的取值范围是021a或121a三、解答题（本题满分60 分，每小题15

14、 分）13. 设不等式组00 xyxy，表示的平面区域为D. 区域D内的动点P到直线0 xy和直线0 xy的距离之积为2. 记点P的轨迹为曲线C. 过点(22 0)F，的直线l与曲线C交于A、B两点 . 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率. 解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示设动点为( ,)P x y，则222xyxy，即224xy由PD知0 xy，x y0，即 x2y20所以 y2x2 4(y0)，即曲线C的方程为y24x241(y0) 5 分xyO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

15、 - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 设11(,)A x y，22(,)B xy，则以线段AB为直径的圆的圆心为1212()22xxyyQ，.因为以线段AB为直径的圆L与y轴相切，所以半径12122xxrAB，即12ABxx 10 分因为直线AB 过点 F(2 2，0)，当 AB x 轴时，不合题意所以设直线AB 的方程为 yk(x2 2)代入双曲线方程y24x241(y0)得，k2(x22)2 x24，即(k21)x24 2k2x(8k24) 0因为直线与双曲线交于A，B 两点，所以 k 1所以 x1x242k2k21，x1x28k24k21所以 |AB|

16、(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x2 (1k2)4 2k2k21248k24k21| x1x2|4 2k2k21|，化简得： k42k210，解得 k221（k221 不合题意，舍去） 由 ( 4 2k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于 y0，所以 1k33所以 k21 15 分解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示设动点 P(x，y)，则|xy|2|xy|22，即|x2y2|4由 PD 知：xy0，xy0，即 x2y20所以 y2x24(y0)即曲线 C 的方程为y24x241(y0) 5分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB 为

17、直径的圆的圆心为Q(x1x22，y1y22)因为以线段AB 为直径的圆与y轴相切，半径 r 12|AB|x1x22|即 | AB| x1x2| 10 分因为直线AB 过点 F(2 2，0)，当 AB x 轴时，不合题意所以设直线AB 的方程为 yk(x2 2)代入双曲线方程y24x241(y0)得，xyO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - k2(x22)2x24，即 (k21)x242k2x(8k24)0因为直线与双曲线交于A，B

18、两点，所以 k 1所以 x1x242k2k21，x1x28k24k21所以 |AB|(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x2 (1k2)42k2k212 48k24k21| x1x2|4 2k2k21|，化简得： k42k21 0，解得 k221（k221 不合题意，舍去） 由 ( 4 2k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于 y0，所以 1k33所以 k2115 分14. 如图，斜三棱柱111ABCA B C中，面11AAC C是菱形，160ACC，侧面11ABB A11AAC C，11A BABAC.求证：（1）1AA1BC；（2）求点1A到平面ABC

19、的距离 . 证： （1）设1AA中点为D，连C、D. 因为ABBA1，所以1AABD因为面CCAAAABB1111，所以BD面CCAA11又1ACC为正三角形，111ACAC，所以11AADC. 从而11AABC（2） 由（ 1） ，有1BDC D，11BCCC，1CC面1C DB设1A到面ABC的距离为h，则1113ABCB CACB CDChSVV. 因为11113C C DBC DBVCCS，所以1C DBABCShS又1C DBD，且432211BDBDDCSDBC. 设ABC的高为AE，则2512312221212BDCCBCBC，8325411AE，（第 14 题）B1B A1C1

20、A C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 41583252ABCS. 于是有515153h，即1A到平面ABC的距离为515 15 分15已知数列na中，11a，33nnaa，22nnaa. 求2007a.解：由题设，22nnaa，则20072005200312222 10032007aaaaL. 5 分由22nnaa，得22nnaa，则3223231 (1)nnnnaaaan. 10 分于是200720062005200219

21、9911 231 23212aaaaa13668122007aL，所以a2007=2007易知数列11a，22a，L，nan符合本题要求 15 分注意：猜得答案nan或20072007a，给 2 分16已知平面上10个圆，任意两个都相交是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论解：存在直线l，与每个圆都有公共点证明如下：如图，先作直线0l，设第i个圆在直线0l上的正投影是线段iiA B，其中iA、iB分别是线段的左右端点10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点 5 分A1 AkA2 B1 B2 Bm 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

22、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设kA是最右边的左端点，则所有右端点都在kA的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾 10 分再设mB是最左边的右端点，同理所有左端点都在mB的左边 .kA与mB不重合，线段kmA B是任意一条投影线段的一部分，过线段kmA B上某一点作直线0l的垂线l，则l与10个圆都相交 15 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -