2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析.doc

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1、高一数学竞赛训练试题（2）一填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1设方程的根大于，且小于，则实数的范围是 2从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 3设实数，满足x2-4x+y2+30，则的最大值与最小值之差是 4若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是 5若三角形的三边，成等差数列，则的取值范围是 6若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是 7已知，则 8设，且满足，则的最大值为 9复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1+z2|6，则|z1-z2| _10将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31

2、年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 二解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11在中，分别是角的对边，设求的值12如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、证明：四边形是梯形13设关于x的一元二次方程2x2tx20的两个根为a、b，(t为实数，ab) 若x1，x2为区间a，b上的两个不同点，求证：4x1x2t(x1x2)40； 设f(x)，f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)fmaxfmin，求g(t)的最小值14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在

3、四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点11在中，分别是角的对边，设求的值分析化角为边转化为三角关系处理解由正弦定理与角变换求解由，得再由三角形内角和定理与得，所以，又，代入到中得，由得，从而，所以13设关于x的一元二次方程2x2tx20的两个根为a、b，(t为实数，ab) 若x1，x2为区间a，b上的两个不同点，求证：4x1x2t(x1x2)40； 设f(x)，f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)fmaxfmin，求g(t)的最小值(湖南省2002年高中数学竞赛)解 考察函数h(x)=2x2tx2由于ax1，x2b，故2x12tx120，2x22tx220，两式相加得2(x12x22)t(x1x2)40又4x1x22(x12x22)所以4x1x2t(x1x2)42(x12x22)t(x1x2)40。对于t0，与tx40，f(x)=(4)此时f(x)单调增所以 fmaxf(b)，fminf(a)所以g(t)f(b)f(a)( )=()2(ba)，对于t0，此结果也成立所以g(t)的最小值为4