大连理工大攻读硕士研究计划生入学专业考试.高等代数试题及解答.doc

《大连理工大攻读硕士研究计划生入学专业考试.高等代数试题及解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大连理工大攻读硕士研究计划生入学专业考试.高等代数试题及解答.doc（8页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2005 年大连理工大大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题 4 分)1. 设是有理数域上的不可约多项式,为在复数域内的一个根,( )f x( )f x则的重数为 1 2. 阶行列式n.2111 13111111n 111!nknk3. 设、均为维列向量:,则可逆,.n2 AE1A1 3E4. 设向量组线性无关,12,r 123213121112rrrrrr 则线性 相关.121,rr 5. 设是阶矩阵,秩,非齐次线性方程组有解,则的解向量组AnArAxAx的秩为.1nr 6. 设、均为实数,二次型ab2222 12122311( ,)()()()()nnnn

2、f x xxaxbxaxbxaxbxaxbx、满足条件时,为正定二次型. ab1( 1)0nnnab f7. 设是由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间,其中VA, 其中,2100 00 00A 13 2i 则的一组基是.V2, ,E A A8. 设是数域上的一维线性空间,写出上的所有线性变换 ： VPV取定的一个非零向量,则的全部线性变换形如,其中是V( )VL:()afxa xa中任一取定的数.P 9. 正交矩阵的实特征值为.110. 设为群,、分别是的子群, 、的阶分别是、,且、互素,令,GHNGHNmnmnHN 则元素的阶为 . 1二、(10 分) 设是数域上的多项式,证明:在数域上,

3、若,( ), ( )f x g xPP33( )|( )fxgx则.( )|( )f xg x参考解答：若中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设( ), ( )f x g x,且( )0f x( )0g x12 12( )( )( )( )srrr sg xapx pxpx是的标准分解式,其中是互不相同的最高次项系数为 1 的不可( )g x12( ),( ),( )sp xpxp x约多项式,都是正整数.任取的一个不可约因式,由于12,sr rr( )f x( )q x,( )|( )q xf x3( )|( )f xfx33( )|( )fxgx利用多项式整除的传递性,得.由

4、于是不可约多项式,故,进一3( )|( )q xgx( )q x( )|( )q xg x步可知, , 对某个及.( )( )iq xcp x1is cP于是我们可以设, 12 12( )( )( )( )sttt sf xbpx pxpx其中是非负整数.从知,存在多项式,使得12, ,st tt33( )|( )fxgx( ) h xP x,即33( )( )| ( )gxfxh x.121233333333 1212( )( )( )( )( )( ) ( )ssrtrrtt ssa px pxpxb px pxpx h x由此推出,即,.因此33iirtiirt1,2,is1211221

5、122121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ssssstrtttrtrt ssrtrtrt sg x abpx pxpxpx pxpxb af xpx pxpxb由多项式整除的定义知,.( )|( )f xg x3、(15 分) 设为级矩阵,且秩秩,证明:对任意自然数,有秩=秩.AnA 2AkkAA参考解答：对作数学归纳法.当时结论显然成立.假设时结论成立,即k1,2k 1k rankrank.令A 1kA, |0ni iVXPA X1,2,i 那么显然有.从 rankrank知123VVVA 1kAdim=rankrankdim1VnAn1kA1kV于

6、是=.1V1kV任取,即,亦即,那么.于是0kXV00kA X 1 0()0kAAX011kAXVV.进一步有,这表明,从而.因此, 2 00A X 132 00()0kkAXAA X01kXV1kkVV.于是1kkVVrankdim=dimdim rank. An1Vn1kVnkV kA4、(15 分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充 分必要条件是,它的秩等于 2 和符号差等于 0,或者秩等于 1.参考解答：充分性. 若的秩为 1, 则可经非退化线性替换使12( ,)nf x xx, 其中,故2 121( ,)nf x xxky11 122nnya xa x

7、a x.2 121 122( ,)()nnnf x xxk a xa xa x若的秩为 2, 符号差为 0, 则可经非退化线性替换使12( ,)nf x xx,22 12121212( ,)()()nf x xxyyyyyy其中均为的一次多项式, 即12,y y12,nx xx11 12221 122nnnnya xa xa xyb xb xb x故可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. 12( ,)nf x xx必要性.设实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积12( ,)nf x xx121 1221 122( ,)()()nnnnnf x xxa xa xa xb xb xb

8、 x若两个一次多项式的系数成比例,即,不妨设,令(1,2, )iibka in10a 11 12222nnnnya xa xa xyxyx 则,即二次型的秩为 1.2 121( ,)nf x xxky12( ,)nf x xx若两个一次多项式系数不成比例,不妨设,令1212aa bb11 12221 12233nnnnnnya xa xa xyb xb xb xyxyx 则.再令1212( ,)nf x xxy y11221233nnyzzyzzyzyz 则,故二次型的秩为 2,符号差为零.22 121212( ,)nf x xxy yzz12( ,)nf x xx5、(15 分) 设是数域上

9、的维线性空间的一组基,是的非平凡子空1,nPnVWV间, 是的一组基,证明:在中可以找到个向量,使1,rW1,nnr 1, n rii 为的一组基. 11, n rrii V参考解答：因为是的非平凡子空间,故.于是.对作数学归纳法.首WVWVrnnr先, 不能都在中.否则,出现矛盾.设是中不属于12,n WWV 1i12,n 的一个向量,那么W112,ri 线性无关.令, 1112(,)riWL 则 dim.由归纳假设,在中可以找到个向量11Wr12,n (1)nr 23, n riii 使 1212, n rriii 是的一组基. V6、(10 分)设 3 阶矩阵满足,写出的若当(Jorda

10、n)标准型的所有A2320AAEA可能形式.参考解答： 因为,故是的一个零化多项式.设2320AAE2( )32f xxxA是的最小多项式,则.由于没有重根,故没有( )m xA( )|( )m xf x( )(1)(2)f xxx( )m x重根.因此可以对角化.从知,的特征根为 1 或 2.于是的 JordanA2320AAEAA标准型的可能形式为,.1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 7、(10 分)设是一个维欧氏空间,是的一个标准正交基, A A是的一Vn1,nVV个线性变换,是A A关于这个基的矩阵,证明: (A A(),), ()ijn nAajia ij.(其中( ,

11、 )表示内积),1,2,i jn参考解答：由所给条件知 (A A, , A A, , , A A)= =(, , , ,)A. 于是12n12nA A= =(, , , ,). .i12n12 1122ii iininnia aaaaa 注意, , , ,为的一组标准正交基,故12nV11221122( (),)(,)(,)(,)(,)(,)ijiininjijijninjjijjjiAaaaaaaaa 八、(25 分) 设A A是数域上的维线性空间的一个线性变换,是A A的最小多PnV( )f x项式,在中,、均为首项系数为 1 的多项式,且 P x12( )( )( )f xf x fx1

12、( )f x2( )fx与互素,令1( )f x2( )fx(A A)(), (A A)().11|VVf022|VVf0证明:(1) (5 分) 和都是A A的不变子空间；1V2V(2) (10 分)；12VVV(3) (10 分) A A的最小多项式是, A A的最小多项式是. 1|V1( )f x 2|V2( )fx参考解答：(1) 注意(A A), (A A)都是A A的多项式,故1f2fA A(A A)=(A A)A A, , A A(A A)=(A A)A.A.1f1f2f2f任取,则(A A)()=0.由于1V1f(A A)(A A()=(A A)A A)()=(A A(A A)

13、()= A A(A A)()= A A(0)=0.1f1f1f1f故A A().由不变子空间的定义知,是A A的不变子空间.类似地可证,也是A A的不变1V1V2V子空间.(2) 因为与互素,存在使得1( )f x2( )fx( ), ( ) u x v xP x.12( )( )( )( )1u x f xv x fx将A A代入上式,得x (A A)(A A)+(A A)(A A)= (为恒等变换). (*)u1fv2f任取,则V(A A)(A A)()+(A A)(A A)(). (*)( )u 1fv2f由于是A A的最小多项式,故(A A)=(A A)(A A)=.于是 ( )f x

14、f1f2f0(A A)(A A)(A A)()=(A A)(A A)(A A)()=(A A)(A A)()=(A A)()=2fu1fu1f2fufu00类似地, (A A)(A A)(A A)()=0.因此1fv2f(A A)(A A)()，(A A)(A A)().u1f2Vv2f1V于是从(*)知.注意都是的子空间,故12VVV12,V VV.12VVV设,则(A A)()=, (A A)()=.由(*)知12VV1f02f0(A A)(A A)()+(A A)(A A)()=,( ) u1fv2f0故.因此.120VV12VVV(3) 由于对任,有(A A)(),故(A A)作为上的

15、线性变换是零变换,即1V1f01f1V(A A),亦即是A A的零化多项式.设是A A的最小多项式,则1f 1|V01( )f x 1|V1( )g x 1|V,从而有 .11( )|( )g xf x11( )( )g xf x 类似地,设是A A的最小多项式,则,且.2( )gx 2|V22( )|( )gxfx22( )( )gxfx 取,那么,故.12( )( )( )g xg x gx( )|( )g xf x( )( )g xf x 任,由(2)知,可设,.于是V12VVV12iiV(A A)()=(A A)(A A)()+ (A A)(A A)()g1g2g11g2g2=(A A

16、)(A A)()+(A A)(A A)()=2g1g11g2g2000这表明是A A的零化多项式,故.从而有.于是( )g x( )|( )f xg x( )( )f xg x .12( )( )( )( )f xg xg xgx 从, , 12( )( )( )f xf xfx 11( )( )g xf x 22( )( )gxfx 知.由于是最高次项系数为 1 的多项式,且知( )( )iig xf x ( )ig x( )|( )iig xf x.( )( )iig xf x9、(10 分) 设是有 1 的交换环,是的素理想,是的极大理想,如RPR12,nI IIR果包含的交集,证明必为极大理想.P12,nI IIP参考解答：已知. 现在我们证明:存在某个 ,使得12nPIIIi1in .反iPI证法:假设对任,都不包含,则存在,.由于为理想,故1in PiIiiaIiaPjI, .12nja aaI1,2,jn从而有.1212nna aaIIIP从及是的素理想知, 中至少有一个属于,这与12na aaPPR12,na aaP,iaP1,2,in矛盾.这就证明了:存在某个 ,使得.而是极大理想,故或. i1in iPIiIiPIPR但是素理想,故. 因此为极大理想.PPRiPIP