2022年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答 .pdf

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1、大连理工大 攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题 4 分)1.设()f x是有理数域上的不可约多项式,为()fx在复数域内的一个根,则的重数为 1 2.n阶行列式211113111111n111!nknk.3.设、均为n维列向量:2,则AE可逆,1A13E.4.设向量组12,r线性无关,123213121112rrrrrr则121,rr线性相关.5.设A是n阶矩阵,秩Ar,非齐次线性方程组Ax有解,则Ax的解向量组的秩为1nr.6.设a、b均为实数,二次型222212122311(,)()()()()nnnnf x xxaxbxaxbxaxbxaxbxa、b满足条件1

2、(1)0nnnab时,f为正定二次型.7.设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间,其中21000000A,其中132i,则V的一组基是2,E A A.8.设V是 数 域P上 的 一 维 线 性 空 间,写 出V上 的 所 有 线 性 变 换：取 定V的 一 个 非 零 向 量,则()VL的 全 部 线 性 变 换 形 如:()afxa x,其中a是P中任一取定的数.9.正交矩阵的实特征值为1.10.设G为群,H、N分别是G的子群,H、N的阶分别是m、n,且m、n互素,令HN,则元素的阶为1.二、(10 分)设(),()f xg x是数域P上的多项式,证明:在数域P上,若33()|()f

3、xgx,则()|()f xg x.参考解答：若(),()f xg x中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设()0f x,()0g x,且1212()()()()srrrsg xapx pxpx是()g x的标准分解式,其中12(),(),()sp xpxp x是互不相同的最高次项系数为1 的不可约多项式,12,sr rr都是正整数.任取()f x的一个不可约因式()q x,由于()|()q xf x,3()|()f xfx,33()|()fxgx利用多项式整除的传递性,得3()|()q xgx.由于()q x是不可约多项式,故()|()q xg x,进一步可知,()()iq xc

4、p x,对某个1is及cP.于是我们可以设1212()()()()stttsf xbpx pxpx,其 中12,st tt是 非 负 整 数.从33()|()fxgx知,存 在 多 项 式()h xP x,使 得33()()|()gxfxh x,即1212333333331212()()()()()()()ssrtrrttssa px pxpxb px pxpx h x.由此推出33iirt,即iirt,1,2,is.因此1211221122121212()()()()()()()()()()()ssssstrtttrtrtssrtrtrtsg xabpx pxpxpx pxpxbaf xpx

5、 pxpxb文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9

6、文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:C

7、U4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4

8、V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 H

9、Z9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7

10、G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 Z

11、Q10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9由多项式整除的定义知,()|()f xg x.三、(15 分)设A为n级矩阵,且秩A秩2A,证明:对任意自然数k,有秩kA=秩A.参考解答：对k作数学归纳法

12、.当1,2k时结论显然成立.假设1k时结论成立,即rankArank1kA.令|0niiVXPA X,1,2,i那么显然有123VVV.从 rankArank1kA知dim1V=nrankAnrank1kAdim1kV于是1V=1kV.任 取0kXV,即00kA X,亦 即10()0kAA X,那 么011kA XVV.于 是200A X.进一步有13200()0kkAXAA X,这表明01kXV,从而1kkVV.因此,1kkVV.于是rankAndim1V=ndim1kVndimkV rankkA.四、(15 分)证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,

13、它的秩等于2 和符号差等于0,或者秩等于1.参 考 解 答：充 分 性.若12(,)nf x xx的 秩 为1,则 可 经 非 退 化 线 性 替 换 使2121(,)nf x xxky,其中11122nnya xa xa x,故2121 122(,)()nnnf x xxk a xa xa x.若12(,)nf x xx的秩为 2,符号差为 0,则可经非退化线性替换使2212121212(,)()()nf x xxyyyyyy,其中12,y y均为12,nx xx的一次多项式,即1112221 122nnnnya xa xa xyb xb xb x故12(,)nf x xx可表为两个两个实系

14、数一次齐次多项式的乘积.文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10

15、V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9

16、文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:C

17、U4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4

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19、Z9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7

20、G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9必要性.设实二次型12(,)nf x xx可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积1211221122(,)()()nnnnnf x xxa x

21、a xa xb xb xb x若两个一次多项式的系数成比例,即(1,2,)iibka in,不妨设10a,令1112222nnnnya xa xa xyxyx则2121(,)nf x xxky,即二次型12(,)nf x xx的秩为 1.若两个一次多项式系数不成比例,不妨设1212aabb,令1112221 12233nnnnnnya xa xa xyb xb xb xyxyx则1212(,)nf x xxy y.再令11221233nnyzzyzzyzyz则22121212(,)nf x xxy yzz,故二次型12(,)nf x xx的秩为 2,符号差为零.五、(15 分)设1,n是数域P

22、上的n维线性空间V的一组基,W是V的非平凡子空间,1,r是W的一组基,证明:在1,n中可以找到nr个向量1,n rii,使11,n rrii为V的一组基.参考解答：因为W是V的非平凡子空间,故WV.于是rn.对nr作数学归纳法.首先,12,n不能都在W中.否则,WV,出现矛盾.设1i是12,n中不属于文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K

23、7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4

24、ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E1

25、0V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B

26、9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:

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28、4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3

29、HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9W的一个向量,那么112,ri线性无关.令1112(,)riWL,则 dim11Wr.由归纳假设,在12,n中可以找到(1)nr个向量23,n riii使1212,n rriii是V的一组基.六、(10 分)设 3 阶矩阵A满足2320AAE,写出A的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.参考解答：因为2320AAE,故2()32f xxx是A的一个零化多项式.设()m x是A的最小多项式,则()|()m xf x.由于()(1)(2)f xxx没有重根,故

30、()m x没有重根.因此A可以对角化.从2320AAE知,A的特征根为1 或 2.于是A的 Jordan 标准型的可能形式为111,112,122,222.七、(10 分)设V是一个n维欧氏空间,1,n是V的一个标准正交基,A是V的一个 线 性 变 换,()ijn nAa是A关 于 这 个 基 的 矩 阵,证 明:jia(A(i),j),1,2,i jn.(其中(,)表示内积)参考解答：由所给条件知(A1,A2,An)=(1,2,n)A.于是Ai=(1,2,n)121122iiiininniaaaaaa.注意1,2,n为V的一组标准正交基,故文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3

31、E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ1

32、0E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8

33、E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档

34、编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4

35、I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1

36、X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9

37、N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B911221122(),)(,)(,)(,)(,)(,)ijiininjijijninjjijjjiAaaaaaaaa八、(25 分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,()f x是A的最小多项式,在 P x中,

38、12()()()f xf x fx,1()fx、2()fx均为首项系数为1 的多项式,且1()fx与2()fx互素,令11|VVf(A)()0,22|VVf(A)()0.证明:(1)(5分)1V和2V都是A的不变子空间；(2)(10分)12VVV；(3)(10分)A1|V的最小多项式是1()fx,A2|V的最小多项式是2()fx.参考解答：(1)注意1f(A),2f(A)都是A的多项式,故A1f(A)=1f(A)A,A2f(A)=2f(A)A.任取1V,则1f(A)()=0.由于1f(A)(A()=(1f(A)A)()=(A1f(A)()=A(1f(A)()=A(0)=0.故A()1V.由不变

39、子空间的定义知,1V是A的不变子空间.类似地可证,2V也是A的不变子空间.(2)因为1()fx与2()fx互素,存在(),()u xv xP x使得12()()()()1u x f xv x fx.将xA代入上式,得u(A)1f(A)+v(A)2f(A)=(为恒等变换).(*)任取V,则()u(A)1f(A)()+v(A)2f(A)().(*)由于()f x是A的最小多项式,故f(A)=1f(A)2f(A)=0.于是文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:C

40、U4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4

41、V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 H

42、Z9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7

43、G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 Z

44、Q10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10

45、V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9

46、文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B92f(A)(u(A)1f(A)()=(u(A)1f(A)2f(A)()=u(A)(f(A)()=u(A)(0)=0类似地,1f(A)(v(A)2f(A)()=0.因此u(A)1f(A)()2V，v(A)2f(A)()1V.于是从(*)知12VVV.注意12,V V都是V的子空间,故12VVV.设12VV,则1f(A)()=0,2f(A)()=0.

47、由(*)知()(u(A)1f(A)()+(v(A)2f(A)()=0,故120VV.因此12VVV.(3)由于对任1V,有1f(A)()0,故1f(A)作为1V上的线性变换是零变换,即1f(A)1|V0,亦即1()f x是A1|V的零化多项式.设1()gx是A1|V的最小多项式,则11()|()gxf x,从而有11()()g xf x.类似地,设2()gx是A2|V的最小多项式,则22()|()gxfx,且22()()gxfx.取12()()()g xg x gx,那么()|()g xf x,故()()g xf x.任V,由(2)知12VVV,可设12,iiV.于是g(A)()=1g(A)2

48、g(A)(1)+1g(A)2g(A)(2)=2g(A)1g(A)(1)+1g(A)2g(A)(2)=000这表明()g x是A的零化多项式,故()|()f xg x.从而有()()fxg x.于是12()()()()f xg xg xgx.从12()()()f xf xfx,11()()g xf x,22()()gxfx知()()iig xfx.由 于()ig x是最 高次项系数为1 的多 项式,且()|()iig xf x知()()iig xf x.九、(10 分)设R是有 1 的交换环,P是R的素理想,12,nIII是R的极大理想,如文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4

49、 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E

50、10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8B9文档编码:CU4I2N4V1X3 HZ9N7K7G3E4 ZQ10E10V8E8