2005年大连理工大攻读硕士研究计划生入学专业考试高等代数试题~及参考解答.doc-得力文库

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1、.2005 年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题 4 分)1. 设是有理数域上的不可约多项式, 为在复数域内的一个根,)fx()fx则的重数为 1 2. 阶行列式n.2113n 1!nk3. 设、均为维列向量: ,则可逆, .n2AE1A3E4. 设向量组线性无关,12,r 123121rr r 则线性相关.121,r5. 设是阶矩阵,秩 ,非齐次线性方程组有解,则的解向量组AnArAxx的秩为 .r6. 设、均为实数,二次型ab2222121311(,)()()()()n nnfxxbaxbaxbaxb 、满足条件时,

2、为正定二次型. 0nf7. 设是由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间,其中VA, 其中 ,210132i则的一组基是 .V2,EA8. 设是数域上的一维线性空间,写出上的所有线性变换： VPV取定的一个非零向量 ,则的全部线性变换形如 ,其中是()L:()afxa中任一取定的数.P9. 正交矩阵的实特征值为 .1.10. 设为群, 、分别是的子群, 、的阶分别是、 ,且、互素,令 ,GHNGHNmnHN则元素的阶为 . 1二、(10 分) 设是数域上的多项式,证明:在数域上,若 ,(),fxgPP3()|fxg则 .(|fxg参考解答：若中有一个

4、3 333()()()()s sr trr ttappxbpxx 由此推出 ,即 , .因此3iitit,12 1212()()()()()()()s sst rttt rtrtrtrtrtgxabppxxpxbafx 由多项式整除的定义知, .()|fgx3、(15 分) 设为级矩阵,且秩秩 ,证明:对任意自然数 ,有秩 =秩 .AnA2kkA.参考解答：对作数学归纳法.当时结论显然成立.假设时结论成立,即k1,2k1krank rank .令A1, |0niiVXPA12,i那么显然有 .从 rank rank 知123 kdim = rank rank dim1n11kV于是

5、 = .1Vk任取 ,即 ,亦即 ,那么 .于是0X0kA10()kAX01k.进一步有 ,这表明 ,从而 .因此, 2A132 V1k.于是1kVrank dim = dim dim rank . n11kVnkkA4、(15 分) 证明 :一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于 2 和符号差等于 0,或者秩等于 1.参考解答：充分性. 若的秩为 1, 则可经非退化线性替换使12(,)nfx, 其中 ,故2121(,)nfxky naax.2212(,)()n nfxk 若的秩为 2, 符号差为 0, 则可经非退化线性替换使12(,)nfx,2

6、1211212(,)()nfxyy其中均为的一次多项式, 即12,y12,n 122nyaxaxbb故可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. 12(,)nfx必要性.设实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积12(,)nfx 1212()()nnaxabxbx .若两个一次多项式的系数成比例,即 ,不妨设 ,令(1,2)iibkan 10a12nyxx 则 ,即二次型的秩为 1.2121(,)nfxky 12(,)nfx若两个一次多项式系数不成比例,不妨设 ,令21ab1223nnyxxyx 则 .再令1212(,)nfxy 1223nyzyz 则 ,故二次型的秩为 2

7、,符号差为零.2121(,)nfxyz 12(,)nfx5、(15 分) 设是数域上的维线性空间的一组基 , 是的非平凡子空1,n PnVWV间, 是的一组基,证明:在中可以找到个向量 ,使1,r W1, nr1,nrii为的一组基.11nrrii V参考解答：因为是的非平凡子空间,故 .于是 .对作数学归纳法.首Vrr先, 不能都在中.否则, ,出现矛盾 .设是中不属于12,n 1i2,n的一个向量,那么 112,ri线性无关.令,112(,)riWL.则 dim .由归纳假设,在中可以找到个向量1Wr12,n (1)r23,nrii使 1212,nrrii

8、是的一组基. V6、(10 分)设 3 阶矩阵满足 ,写出的若当(Jordan)标准型的所有A230EA可能形式.参考解答：因为 ,故是的一个零化多项式.设2 2()3fx是的最小多项式,则 .由于没有重根,故没有()mxA()|mxf1)(x()mx重根.因此可以对角化.从知, 的特征根为 1 或 2.于是的 Jordan230AEAA标准型的可能形式为, , , .11227、(10 分)设是一个维欧氏空间, 是的一个标准正交基, A 是的一Vn1,n VV个线性变换, 是 A 关于这个基的矩阵,证明: (A( ), ), (ija jiaij.(其中(

9、, )表示内积),12,ijn参考解答：由所给条件知 ( A , A , , A )=( , , , )A. 于是12 n12 nA =( , , , ) .i12 n212iiiniiaa注意 , , , 为的一组标准正交基,故12 nV122(),),(,)()ijinijijijnijjiAaa 八、(25 分) 设 A 是数域上的维线性空间的一个线性变换, 是 A 的最小多PnV()fx.项式,在中, , 、均为首项系数为 1 的多项式,且Px12()()fxf1x2()f与互素,令1()f2f(A)( ) , (A)( ) .11|Vf022|Vf0证明:(1) (5

10、分) 和都是 A 的不变子空间；12(2) (10 分) ；(3) (10 分) A 的最小多项式是 , A 的最小多项式是 .1|V1()fx2|V2()fx参考解答：(1) 注意 (A), (A)都是 A 的多项式,故f2A (A)= (A)A, A (A)= (A)A.1f2f任取 ,则 (A)( )=0.由于1Vf(A)(A( )=( (A)A)( )=(A (A)( )= A( (A)( )= A(0)=0.1f1f1f故 A( ) .由不变子空间的定义知, 是 A 的不变子空间.类似地可证, 也是 A 的不变1 V2V子空间.(2) 因为与互素,存在使得1()fx2f(),

11、uxvPx.12()1ff将 A 代入上式,得x(A) (A)+ (A) (A)= ( 为恒等变换). (*)u1fv2f任取 ,则V(A) (A)( )+ (A) (A)( ). (*)1f2f由于是 A 的最小多项式,故 (A)= (A) (A)= .于是 ()fx 0(A)( (A) (A)( )=( (A) (A) (A)( )= (A)( (A)( )= (A)( )=2u1fu1f2ufu0类似地, (A)( (A) (A)( )=0.因此v2f(A) (A)( ) ， (A) (A)( ) .12Vv2f1V于是从(*)知 .注意都是的子空间,故12V,.12V设 ,则 (

12、A)( )= , (A)( )= .由(*)知12V1f02f0( (A) (A)( )+( (A) (A)( )= ,u1v2f0故 .因此 .12012V(3) 由于对任 ,有 (A)( ) ,故 (A)作为上的线性变换是零变换,即f01f1V(A) ,亦即是 A 的零化多项式.设是 A 的最小多项式,则1f|V1()fx1|Vgx1|,从而有 .|gx()gfx类似地,设是 A 的最小多项式,则 ,且 .2()x2|V2()|xf22()gxf取 ,那么 ,故 .1()|xfg任 ,由(2)知 ,可设 , .于是1212iV(A)( )= (A) (A)( )+ (A) (A)(

13、 )gg2= (A) (A)( )+ (A) (A)( )=2112g0这表明是 A 的零化多项式,故 .从而有 .于是()x|fx)(fx.12()(从, , 12()()fxffx11()gfx22()gfx知 .由于是最高次项系数为 1 的多项式,且知iigi |()ii.()iixf9、(10 分) 设是有 1 的交换环, 是的素理想, 是的极大理想,如RPR12,nII R果包含的交集,证明必为极大理想.P12,nII参考解答：已知 . 现在我们证明 :存在某个 , ,使得12nPII i.反iP证法:假设对任 , 都不包含 ,则存在 , .由于为理想,故iniIiaIiPjI., .12njaI 1,2n从而有.1212nnIIP 从及是的素理想知, 中至少有一个属于 ,这与12naP R,a,iP,矛盾.这就证明了:存在某个 , ,使得 .而是极大理想,故或 . i1niIi iPIR但是素理想, ,故 . 因此为极大理想.PRiI

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