大连理工大攻读硕士分析研究生入学考试-高等代数试题及其参考总结解答.doc

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1、.*2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)1. 设是有理数域上的不可约多项式,为在复数域内的一个根,则的重数为 1 2. 阶行列式.3. 设、均为维列向量:,则可逆,.4. 设向量组线性无关,则线性 相关.5. 设是阶矩阵,秩,非齐次线性方程组有解,则的解向量组的秩为.6. 设、均为实数,二次型、满足条件时,为正定二次型. 7. 设是由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间,其中, 其中,则的一组基是.8. 设是数域上的一维线性空间,写出上的所有线性变换 ： 取定的一个非零向量,则的全部线性变换形如,其中是中任一取定的数.9. 正交矩阵的实特征值

2、为.10. 设为群,、分别是的子群, 、的阶分别是、,且、互素,令,则元素的阶为 . 二、(10分) 设是数域上的多项式,证明:在数域上,若,则.参考解答：若中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设,且是的标准分解式,其中是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,都是正整数.任取的一个不可约因式,由于,利用多项式整除的传递性,得.由于是不可约多项式,故,进一步可知, , 对某个及.于是我们可以设, 其中是非负整数.从知,存在多项式,使得,即.由此推出,即,.因此由多项式整除的定义知,.3、 (15分) 设为级矩阵,且秩秩,证明:对任意自然数,有秩=秩.参考解答：对作数学归纳法.当

3、时结论显然成立.假设时结论成立,即rankrank.令, 那么显然有.从rankrank知dim=rankrankdim于是=.任取,即,亦即,那么.于是.进一步有,这表明,从而.因此, .于是rankdim=dimdim rank. 4、 (15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.参考解答：充分性. 若的秩为1, 则可经非退化线性替换使, 其中,故.若的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使,其中均为的一次多项式, 即故可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. 必要性.设实二次型可以分解成两个

4、实系数一次齐次多项式的乘积若两个一次多项式的系数成比例,即,不妨设,令则,即二次型的秩为1. 若两个一次多项式系数不成比例,不妨设,令则.再令则,故二次型的秩为2,符号差为零.5、 (15分) 设是数域上的维线性空间的一组基,是的非平凡子空间, 是的一组基,证明:在中可以找到个向量,使为的一组基.参考解答：因为是的非平凡子空间,故.于是.对作数学归纳法.首先, 不能都在中.否则,出现矛盾.设是中不属于的一个向量,那么线性无关.令,则dim.由归纳假设,在中可以找到个向量使 是的一组基. 6、 (10分)设3阶矩阵满足,写出的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.参考解答： 因为,故是的一个

5、零化多项式.设是的最小多项式,则.由于没有重根,故没有重根.因此可以对角化.从知,的特征根为1或2.于是的Jordan标准型的可能形式为,.7、 (10分)设是一个维欧氏空间,是的一个标准正交基, A是的一个线性变换,是A关于这个基的矩阵,证明: (A(),), .(其中( , )表示内积)参考解答：由所给条件知 (A, A, A)=(,)A. 于是A=(,).注意,为的一组标准正交基,故八、(25分) 设A是数域上的维线性空间的一个线性变换,是A的最小多项式,在中,、均为首项系数为1的多项式,且与互素,令(A)(), (A)().证明:(1) (5分) 和都是A的不变子空间；(2) (10分

6、)；(3) (10分) A的最小多项式是, A的最小多项式是.参考解答：(1) 注意(A), (A)都是A的多项式,故A(A)=(A)A, A(A)=(A)A.任取,则(A)()=0.由于(A)(A()=(A)A)()=(A(A)()= A(A)()= A(0)=0.故A().由不变子空间的定义知,是A的不变子空间.类似地可证,也是A的不变子空间.(2) 因为与互素,存在使得.将A代入上式,得 (A)(A)+(A)(A)= (为恒等变换). (*)任取,则 (A)(A)()+(A)(A)(). (*)由于是A的最小多项式,故(A)=(A)(A)=.于是 (A)(A)(A)()=(A)(A)(A

7、)()=(A)(A)()=(A)()=类似地, (A)(A)(A)()=0.因此(A)(A)()，(A)(A)().于是从(*)知.注意都是的子空间,故.设,则(A)()=, (A)()=.由(*)知(A)(A)()+(A)(A)()=,故.因此.(3) 由于对任,有(A)(),故(A)作为上的线性变换是零变换,即(A),亦即是A的零化多项式.设是A的最小多项式,则,从而有 .类似地,设是A的最小多项式,则,且.取,那么,故.任,由(2)知,可设,.于是(A)()=(A)(A)()+ (A)(A)()=(A)(A)()+(A)(A)()=这表明是A的零化多项式,故.从而有.于是.从, , 知.由于是最高次项系数为1的多项式,且知.9、 (10分) 设是有1的交换环,是的素理想,是的极大理想,如果包含的交集,证明必为极大理想.参考解答：已知. 现在我们证明:存在某个,使得.反证法:假设对任,都不包含,则存在,.由于为理想,故, .从而有.从及是的素理想知, 中至少有一个属于,这与,矛盾.这就证明了:存在某个,使得.而是极大理想,故或. 但是素理想,故. 因此为极大理想.