周期函数与周期数列.pdf

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1、 周期函数与周期数列 TPMK standardization office【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18】第 14 讲周期函数与周期数列 本节主要内容有周期；周期数列、周期函数 周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19 世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念在中学数学中，我们仅仅讨

2、论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期 如果函数 yf(x)对于定义域内任意的 x，存在一个不等于 0 的常数 T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期 一般情况下，如果 T 是函数f(x)的周期，则 kT(kN)也是f(x)的周期 1若f(xT)=f(x)，则 2T是f(x)的周期，即f(x2T)=f(x)证明：f(x2T)=f(xTT)=f(xT)=f(x)，由周期函数的性质可得f(x2nT)=f(x)，(nZ)2若f(xT)=，则 2T是f(x)的周

3、期，即f(x2T)=f(x)仅以f(xT)=证明如下：f(x2T)=f(xTT)=f(x)由周期函数的性质可得f(x2nT)=f(x)，(nZ)3在数列 na中，如果存在非零常数T，使得m Tmaa对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列 na为周期数列，其中T叫数列 na的周期 A 类例题 例1（2001年上海春季卷）若数列na前8项的值各异，且n8naa对任意的Nn都成立，则下列数列中可取遍na前8项值的数列为（）A12 ka B13 ka C14 ka D16 ka 解析由数列an前 8 项的值各异，n8naa对任意 nN都成立，得数列an的周期 T=8，则问题转化为 2k1，3k1，

4、4k1，6k1 中 k=1，2，3，代入 被 8 除若余数能取到 0，1，2，3，4，5，6，7 即为答案 经检验 3k1 可以，故13 ka可取遍an的前 8 项值答案为 B 说明本题还可以奇偶性的角度考虑，在 2k1，3k1，4k1，6k1 中，2k1，4k1，6k1 都是奇数，除 8 后仍都是奇数，只有 3k1 除 8 后余数能取到 0，1，2，3，4，5，6，7 例 2 定义在 R 上的奇函数且f(x2)=f(x2)，且f(1)=2 则f(2)f(7)=解因为f(x2)=f(x2)，知f(x2T)=f(x)即f(x4)=f(x)所以f(7)=f(34)=f(14)=f(1)=f(1)=

5、2 f(2)=f(24)=f(2)所以f(2)=0从而f(2)f(7)=2 链接若f(xT)=f(xT)，f(xT)=f(xT)，2T是f(x)的周期，即f(x2T)=f(x)证明：f(x2T)=f(xTT)=f(xTT)=f(x)f(xT)=f(xT)，4T是f(x)的周期，即f(x4T)=f(x)证明：f(x2T)=f(xTT)=f(xT)T=f(x)所以由(一)可得f(x4T)=f(x)情景再现 1已知函数 f(x)对任意实数 x，都有 f(ax)f(ax)且 f(bx)f(bx)，求证:2|ab|是 f(x)的一个周期(ab)2已知数列nx满足x1=1，x2=6，11nnnxxx(n2

6、)，求x2006及S2006 B 类例题 例 3 定义在 R 上的奇数满足f(1x)=f(1x)，当5,4x时，f(x)=2x4，则)0,1x时f(x)=因为f(1x)=f(1x)，f(x)=f(x)，知f(x4)=f(x)，故当 1,0(x时，x45,4，f(x)=f(x4)=2x44=2x 又)0,1x时，即 1,0(x，所以f(x)=f(x)=2x()0,1x)链接：若f(Tx)=f(Tx)，(1)f(Tx)=f(Tx)若f(x)是偶函数，则 2T是f(x)的周期，即f(x2T)=f(x)若f(x)是奇函数，则 4T是f(x)的周期，即f(x4T)=f(x)(2)f(Tx)=f(Tx)若

7、f(x)是偶函数，则 4T是f(x)的周期，即f(x4T)=f(x)若f(x)是奇函数，则 2T是f(x)的周期，即f(x2T)=f(x)例 4 设f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线x=1 对称，对任意x1、x20，21，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a0 (1)求f(21)、f(41);(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2nn21)，求).(lnlimnna（2001 年全国高考题）分析本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1x2)=f(x

8、1)f(x2)找 到 问 题 的 突 破 口 由f(x1x2)=f(x1)f(x2)变 形 为)2()2()2()22()(xfxfxfxxfxf是解决问题的关键 解(1)因为对x1，x20，21，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，所以f(x)=)2()22(xfxxf0，x0，1 又因为f(1)=f(2121)=f(21)f(21)=f(21)2 f(21)=f(4141)=f(41)f(41)=f（41）2 又f(1)=a0 f(21)=a21，f(41)=a41(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1 对称，故f(x)=f(11x)，即f(x)=f(2x)，xR 又由f(x

9、)是偶函数知f(x)=f(x)，xR，f(x)=f(2x)，xR 将上式中x以x代换得f(x)=f(x2)，这表明f(x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一 个周期(3)解：由(1)知f(x)0，x0，1 f(21)=f(nn21)=f(n21(n1)n21)=f(n21)f(n1)n21)=f(n21)f(n21)f(n21)=f(n21)n=a21 f(n21)=an21 又f(x)的一个周期是 2 f(2nn21)=f(n21)，因此an=an21.0)ln21(lim)(lnlimanannn 例 5(1997 年全国高中数学联赛)已知数列nx满足11nnnxxx(n2)，x1a，

10、x2b，记Snx1x2?xn，则下列结论正确的是()Ax100?a，S100=2b?aBx100?b，S100?2b?aCx100?b，S100=b?aDx100?a，S100?b?a 解因为11nnnxxx=121)(nnnxxx2nx，于是得nnnxxx36所以数列nx是周期数列，其周期为 6k(kZ)，且x1x2?x6=0，x100=x4=x1=a故S10016(x1x2?x6)x97x98?x99x100=x1x2x3x4=x2x3=2ba 例 6 设数列a1，a2，a3，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数 n 都有anan1an21，anan1an2an3=anan1

11、an2an3，求a1a2a3a100 解由anan1an2an3=anan1an2an3，得an1an2an3an4=an1an2an3an4，两式相减得：(anan4)(an1an2an31)=0，由于an1an2an31，所以an4=an 又a1=a2=1，a3=2，由得 2a4=4a4，所以a4=4 故a1a2a3a4=8，于是a1a2a3a100=25(a1a2a3a4)=200 情景再现 3设f(x)是定义在区间(，)上以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1，2k1，已知当xI0时f(x)=x2()求f(x)在Ik上的解析表达式;()对自然数k，求集合Mk=a使方程f(x)

12、=ax在Ik上有两个不相等的实根 4(2005 年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P，22(2,2)P，33(3,2)P，(,2)nnP n，其中n是正整数对平面上任一点0A，记1A为0A关于点1P的对称点，2A为1A关于点2P的对称点，nA为1nA关于点nP的对称点(1)求向量02A A的坐标；(2)当点0A在曲线C上移动时，点2A的轨迹是函数()yf x的图象，其中()f x是以 3为周期的周期函数，且当0,3x时，()lgf xx，求以曲线C为图象的函数在1,4的解析式；对任意偶数n，用n表示向量0nA A的坐标 C 类例题 例 7(2005 年广东卷 19)设函数()(

13、,)(2)(2),(7)(7)f xfxfxfxfx 在上满足，且在闭区间0，7上，只有.0)3()1(ff（）试判断函数)(xfy 的奇偶性；（）试求方程0)(xf在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论 解（）由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)fxfxf xfxfxfxfxfxf xfx)10()(xfxf，从而知函数)(xfy 的周期为10T 又(3)(1)0,(7)0fff而，(3)(3 10)(7)0fff，所以(3)(3)ff 故函数)(xfy 是非奇非偶函数;(II)又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0ffffff 故 f(x

14、)在0，10和10，0上均有有两个解，从而可知函数)(xfy 在0，2005上有402 个解，在20050上有 400 个解，所以函数)(xfy 在2005，2005上有 802 个解 链接若f(ax)=f(ax)，且f(bx)=f(bx)，(ab)(1)若f(ax)=f(ax)，且f(bx)=f(bx)，或f(ax)=f(ax)，且f(bx)=f(bx)，则 2(ba)是f(x)的周期，即fx2(ba)=f(x)证明：因为f(2ax)=fa(ax)=f(2ax)=f(x)，同理f(2bx)=f(x)，因为fx2(ba)=f2b(x2a)=f(x2a)=f(x)或f(2ax)=fa(ax)=f

15、a(ax)=f(x)，同理f(2bx)=f(x)，因为fx2(ba)=f2b(x2a)=f2a(x)=f(x)(2)若f(ax)=f(ax)，且f(bx)=f(bx)，或f(ax)=f(ax)，且f(b x)=f(bx)，则 4(ba)是f(x)的周期，即fx4(ba)=f(x)(证明留给读者完成)例 8 数列an满足an=an1an2(n3)如果它的前 1492 项之和是 1985，而它的前1985 项之和是 1492那么前 2001 项的和是多少(1985 年中美数学邀请赛复赛试题)解因为an=an1an2=(an2an3)an2=an3 同理an3=an6 所以an=an6 故数列an是

16、周期数列其周期为 6且f(n)=f(6kn)，(kN)Sn=anan1an2La1，且an=an1an2(n3)所以 Sn=(an1an2)(an2an3)(an3an4)(a2a1)a2a1=an1a2(n3)因此 S1492=a1491a2=a24863a2=a3a2=1985，S1985=a1984a2=a33064a2=a4a2=a3=1492 由以上两式得a2=493，所以 S2001=a2000a2=a33362a2=a2a2=986 情景再现 5已知f(x)是定义在 R 上的函数f(10 x)=f(10 x)，f(20 x)=f(20 x)则f(x)是()A周期为 20 的奇函数

17、 B周期为 20 的偶函数 C周期为 40 的奇函数 D周期为 40 的偶函数 6在数列an中an=13，an=56对所有的正整数 n 都有an1=anan2，求a1994(1994 年第 5 届希望杯”竞赛题)习题 14 A 类习题 1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为 5，那么(1)a18的值为_，(2)这个数列的前 n 项和Sn的计算公式为_(2004 年北京理工卷)2若存在常数0p，使得函数)()(pxfxf满足)(),)(2(xfRxppxf则的一个正周期

18、为（2003 年春季北京卷）3对任意整数 x，函数)(xf满足)(1)(1)1(xfxfxf，若2)1(f，则)2003(f 4已知函数 f(x)的定义域为 N，且对任意正整数 x，都有 f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求 f(2004)5已知对于任意 a，bR，有 f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且 f(x)0 求证：f(x)是偶函数；若存在正整数 m 使得 f(m)0，求满足 f(xT)f(x)的一个 T 值(T0)6记f(n)为自然数 n 的个位数字，an=f(n2)f(n)求a1a2a3La2006的值 B 类习题 7函数f定义在整数集上满足：f n=31000

19、5nnf n若若n1000，求 84f的值 8已知数列an满足a1=1，a2=2，anan1an2=anan1an2，且an1an21，求20061iia的值 9设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数a使f(a)=1求证：(1)f(x)是奇函数(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a 10已知集合 M 是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数 T，对任意xR，有f(xT)=Tf(x)成立（1）函数f(x)=x是否属于集合 M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax（a0，且a1）的图象与 y=x

20、的图象有公共点，证明：f(x)=axM；（3）若函数f(x)=sinkxM，求实数 k 的取值范围(2003 年上海卷)C 类习题 11整数数列na，时对于每个 n3 都有an=an1an2，若前 2003 项的和为a，(a0)则S5=()AaBCD5a(2003 年希望杯)12设 f(x)是一个从实数集 R 到 R 的一个映射，对于任意的实数 x，都有|f(x)|1，并且f(x)71+(+)61+(=)4213+(xfxfxf，求证:f(x)是周期函数 本节“情景再现”解答：1不妨设 ab，于是 f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(

21、x)2(ab)是 f(x)的一个周期当 ab 时同理可得所以，2|ab|是 f(x)的周期 2解法一：由x1=1，x2=6，及11nnnxxx得x3=5，x4=1，x5=6，x6=5，x7=1，x8=6，所以数列nx是周期数列，其周期为 6k(kZ)，且x1x2?x6=0，所以x2006=x63342=x2=6S2006=7 解法二：因为11nnnxxx=121)(nnnxxx2nx，于是得nnnxxx36所以数列nx是周期数列，其周期为 6k(kZ)，且x1x2?x6=0，所以x2006=x63342=x2=6S2006=7 3证明：令 ab0 得，f(0)1(f(0)0 舍去)又令 a0，

22、得 f(b)f(b)，即f(x)f(x)，所以，f(x)为偶函数 令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0 所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2mf(x2m)f(x)即T4m(周期函数)4():f(x)是以2为周期的函数，当kZ时，2k是f(x)的周期又 当xIk时，(x2k)I0，f(x)=f(x2k)=(x2k)2即对 kZ，当xIk时，f(x)=(x2k)2()解:当kN且xIk时，利用()的结论可得方程(x2k)2=ax，整理得 x2(4ka)x4k2=0它的判别式是=(4ka)216k2=a(a8k)上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条

23、件是a满足 )8(42112)8(421120)(kaaakkkaaakkkaa，化简akaaakaakaa2)8(2)8(0)8(由知a0，或a0时:因2a2a，故从，可得2a，即 即所以1210ka 当a8k时:2a28k0，易知0时1210kaaMK(2)K=0，a1a0，或0a0 且a1）的图象与函数 y=x的图象有公共点，所以方程组：xyayx有解，消去 y 得ax=x，显然x=0 不是方程ax=x的解，所以存在非零常数 T，使aT=T 于是对于f(x)=ax有)()(xTfaTaaaTxfxxTTx故f(x)=axM（3）当 k=0 时，f(x)=0，显然f(x)=0M 当 k0

24、时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数 T，对任意xR，有 f(xT)=Tf(x)成立，即 sin(kxkT)=Tsinkx 因为 k0，且xR，所以kxR，kxkTR，于是 sinkx1，1，sin(kxkT)1，1，故要使 sin(kxkT)=Tsinkx成立，只有 T=1，当 T=1 时，sin(kxk)=sinkx成立，则k=2m，mZ 当 T=1 时，sin(kxk)=sinkx成立，即 sin(kxk)=sinkx成立，则k=2m，mZ，即k=2(m1)，mZ 综合得，实数k的取值范围是k|k=m，mZ 11解因为an=an1an2=(an2an3)an2=an3，同理a

25、n3=an6所以an=an6，故数列an是周期数列其周期为6因此 Sn=anan1an2La1，且an=an1an2(n3)所以 Sn=(an1an2)(an2an3)(an3an4)(a2a1)a2a1=an1a2(n3)因此 S2003=a2002a2=a33364a2=a4a2=S5，故选 A 12证明:由已知 f(x)4216x(f)427x(f)4213x(f 所以)426x(f)4213x(f)x(f)427x(f 19124942()().()()42424242f xf xf xf x 即)427x(f)4249x(f)x(f)4242x(f 同理有)4243x(f)4249x

26、(f)421x(f)427x(f 即)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f 由)427x(f)4249x(f)x(f)4242x(f 4314428442()()()().()()424242424242f xf xf xf xf xf x 于是 f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，记这个差为 d 同理 f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1)f(x1)f(x)d 即是说数列f(xn)是一个以 f(x)为首项，d 为公差的等差数列 因此 f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数 n 成立，而对于 xR，|f(x)|1，即 f(x)有界，故只有 f(x1)f(x)0 即 f(x1)f(x)xR 所以 f(x)是周期为 1 的周期函数