第33讲__周期函数与周期数列(11页).doc

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1、-第33讲_周期函数与周期数列-第 11 页第14讲 周期函数与周期数列本节主要内容有周期；周期数列、周期函数周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究中学数学里称函数

2、的周期，没有特殊说明是指其最小正周期如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期1若f (xT)=f ( x)，则2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)证明：f(x2 T)= f(xTT)= f(xT)= f ( x)，由周期函数的性质可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)2若f (xT)=，则2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)仅以f (xT)=证明如下：f(x2 T)= f(

3、xTT)= = f ( x)由周期函数的性质可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)3在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期A类例题例1（2001年上海春季卷） 若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ）A B C D解析 由数列an前8项的值各异， 对任意nN都成立，得数列an的周期T= 8，则问题转化为2k1， 3k1， 4k1， 6k1中k= 1，2，3，代入被8除若余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即为答案经检验3k 1可以，故可取遍an的前8项值答案为B说明

4、本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k1， 3k1， 4k1， 6k1中，2k1， 4k1， 6k1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k1除8后余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7例2 定义在R上的奇函数且f ( x2)=f ( x2)，且f (1)= 2则f ( 2)f (7)= 解 因为f ( x2)=f ( x2)，知f(x2T)= f ( x)即f(x4)= f ( x)所以f(7)= f ( 34)= f(14)= f ( 1)= f ( 1)=2f(2)= f ( 24)= f(2) 所以f(2)= 0 从而f ( 2)f (7)=2 链接 若f (xT)=f ( xT

5、)，f (xT)=f ( xT)，2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)证明：f(x2 T)= f(xTT)=f(xTT)= f ( x)f (xT)=f ( xT)，4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)证明：f(x2T)= f(xTT)= f(xT)T= f ( x) 所以由(一)可得f(x4T)= f ( x) 情景再现1已知函数f(x)对任意实数x，都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，求证:2|ab|是f(x)的一个周期(ab)2 已知数列满足x1=1，x2=6，(n2)，求x2006及S2006B类例题例3定义在R上的奇数满足 f (

6、1x)=f (1x)，当时， f ( x)=2x4，则时f ( x)=因为f (1x)=f (1x)， f (x)=f (x)，知f(x4)= f ( x)，故当时， x4， f ( x)= f(x4)= 2x44=2x又时，即，所以f ( x)= f ( x)= 2x()链接：若f (T x)=f (T x)，(1) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)若f ( x)是奇函数，则4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x) (2) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函数，则4T是f ( x)

7、的周期，即f(x4T)= f ( x)若f ( x)是奇函数，则2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)例4 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a0(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n)，求 （2001年全国高考题）分析 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1x2)=f(x1)f(x2)找到问题的突破口由f(x1x2)=f(x1)f(x2

8、)变形为是解决问题的关键解 (1) 因为对x1，x20，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，所以f(x)=0，x0，1又因为f(1)=f()=f()f()=f()2f()=f()=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a，f()=a(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(11x)，即f(x)=f(2x)，xR又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x)，xR， f(x)=f(2x)，xR将上式中x以x代换得f(x)=f(x2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解：由(1)知f(x)0，x0，1f()=f(n)=f(n1) )=f()

9、f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a又f(x)的一个周期是2f(2n)=f()，因此an=a例5 (1997年全国高中数学联赛)已知数列满足(n2)，x1a， x2b， 记Snx1x2Lxn，则下列结论正确的是 ( )A x100=-a，S100=2b-a Bx100=-b，S100=2b-a C x100=-b，S100=b-a D x100=-a，S100=b-a解 因为=，于是得所以数列是周期数列，其周期为6k(kZ)，且x1x2Lx6=0，x100=x4=x1 =a故S10016(x1x2Lx6)x97x98Lx99x100= x1x2 x3x4=x2x3=2ba 例

10、6 设数列 a1 ，a2 ，a3 ， an，满足a1 = a2 =1， a3 =2，且对任意自然数n都有 an an1 an21， an an1 an2 an3= an an1 an2an3，求 a1 a2 a3a100解 由an an1 an2 an3= an an1 an2an3， 得an1 an2 an3 an4= an1 an2 an3an4， 两式相减得：(an an4 )(an1 an2 an31)=0， 由于an1 an2 an31，所以an4 =an 又a1 = a2=1，a3=2，由得2a4 =4a4 ，所以a4=4故 a1 a2 a3a4=8，于是 a1 a2 a3a100

11、=25(a1 a2 a3a4)=200情景再现3设f(x)是定义在区间(，)上以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1，2k1，已知当xI0时f(x)=x2()求f(x)在Ik上的解析表达式;()对自然数k，求集合Mk=a使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根4 (2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点(1)求向量的坐标；(2)当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，求以曲线为图象的函数在的解析式；对任意偶数，用表示向量的坐标C类例题例7 (2005

12、年广东卷19)设函数，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解 （）由，从而知函数的周期为又，所以故函数是非奇非偶函数;(II) 又故f(x)在0，10和10，0上均有有两个解，从而可知函数在0，2005上有402个解，在20050上有400个解，所以函数在2005，2005上有802个解 链接 若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，(ab)(1)若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，或f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，则2(ba)是f (

13、 x)的周期，即fx2( ba)= f ( x)证明：因为f (2ax)=f a(a x)=f (2ax)=f (x)，同理f (2bx) =f (x)，因为fx2( ba)= f2b(x2a)= f(x2a)= f ( x)或f (2ax)=f a(a x)=f a(ax)=f (x)，同理f (2bx) =f (x)，因为f x2(ba) = f 2b(x2a) = f 2a(x) = f (x)(2)若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，或f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，则4(ba)是f ( x)的周期，即fx4( ba)= f (

14、 x)(证明留给读者完成)例8数列 an 满足 an = an1 an2 (n 3)如果它的前1492项之和是1985， 而它的前1985项之和是1492那么前2 001项的和是多少? (1985年中美数学邀请赛复赛试题)解 因为an = an1 an2 =( an2 an3 ) an2 = an3同理an3= an6所以an = an6故数列 an 是周期数列其周期为6 且f( n)=f( 6kn)， (kN) Sn= anan1an2La1， 且an = an1 an2 (n 3)所以Sn=( an1 an2)( an2 an3) ( an3 an4) ( a2 a1) a2a1= an1

15、 a2 (n 3)因此S1492= a1491 a2= a24863 a2= a3 a2=1985，S1985= a1984 a2= a33064 a2= a4 a2= a3=1492由以上两式得a2=493，所以S2001= a2000 a2= a33362 a2= a2 a2=986情景再现5已知f (x)是定义在R上的函数f (10 x)= f (10 x)， f (20 x)= f(20 x) 则f (x)是( ) A周期为20的奇函数 B周期为20的偶函数 C周期为40的奇函数 D周期为40的偶函数 6在数列 an 中 an = 13， an = 56对所有的正整数n都有an1 =

16、an an2，求a1994 (1994年第5届希望杯”竞赛题)习题14A类习题1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列，且，公和为5，那么(1)的值为_，(2)这个数列的前n项和的计算公式为_ (2004年北京理工卷) 2若存在常数，使得函数的一个正周期为 （2003年春季北京卷）3对任意整数x，函数满足，若，则 4已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)5已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b

17、)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0)6记f(n)为自然数n的个位数字，an = f(n2) f(n)求a1a2a3La2006的值B类习题7函数定义在整数集上 满足：=， 求的值8 已知数列 an 满足 a1=1，a2=2，anan1an2=an an1an2，且 an1an21，求的值9 设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1求证：(1)f(x)是奇函数(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a10 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零

18、常数T，对任意xR，有f(xT)=T f(x)成立 （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f(x)=ax（a0，且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=axM； （3）若函数f(x)=sinkxM ，求实数k的取值范围(2003年上海卷)C类习题11整数数列，时对于每个n3都有an= an1 an2，若前2003项的和为a，(a0)则S5=( )Aa B C D 5 a ( 2003年希望杯)12 设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射，对于任意的实数x，都有|f(x)|1，并且f(x)，求证:f(x)是周期函数本节“情景再现”解答：1 不妨设ab

19、， 于是f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(x) 2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得 所以，2|ab|是f(x)的周期2解法一：由x1=1，x2=6，及 得x3=5，x4=1， x5=6，x6=5， x7=1，x8=6， 所以数列是周期数列，其周期为6k(kZ)，且 x1x2Lx6=0，所以x2006= x63342= x2=6 S2006=7解法二：因为=，于是得所以数列是周期数列，其周期为6k(kZ)，且x1x2Lx6=0，所以x2006= x63342= x2=6 S2006=73 证明：令ab0得，f(0)1(f(

20、0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x) ， 所以，f(x)为偶函数令axm，bm 得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x) 于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函数)4 ():f(x)是以2为周期的函数，当kZ时，2k是f(x)的周期又当xIk时，(x2k)I0，f(x)=f(x2k)=(x2k)2即对kZ，当xIk时，f(x)=(x2k)2()解:当kN且xIk时，利用()的结论可得方程(x2k)2=ax，整理得x2(4ka)x4k2=0 它的判别式是=(4ka)216k2=a(a8k)上述方程在区间Ik上恰

21、有两个不相等的实根的充要条件是a满足， 化简 由知a0，或a0时:因2a2a，故从，可得2a，即即所以 当a8k时:2a28k0，易知0 时 (2)K=0 ， a1a0， 或0a0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x，显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0M当k0时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)=T f(x)成立，即sin(kxkT)=Tsinkx 因为k0，且xR，所以kxR，kxkTR，于是

22、sinkx 1，1，sin(kxkT) 1，1，故要使sin(kxkT)=Tsinkx 成立，只有T=，当T=1时，sin(kxk)=sinkx 成立，则k=2m， mZ 当T=1时，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk)= sinkx 成立，则k=2m， mZ ，即k=2(m1) ， mZ 综合得，实数k的取值范围是k|k= m， mZ11 解 因为an = an1 an2 =( an2 an3 ) an2 = an3，同理an3= an6所以an = an6，故数列 an 是周期数列其周期为6 因此Sn= anan1an2La1， 且an = an1 an2 (n 3)所以

23、Sn=( an1 an2)( an2 an3) ( an3 an4) ( a2 a1) a2a1= an1 a2 (n 3) 因此S2003= a2002 a2= a33364 a2= a4 a2=S5，故选A12 证明:由已知f(x)所以 即 同理有即 由 于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，记这个差为d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR 所以f(x)是周期为1的周期函数