周期函数的判定与非周期函数的判定4592.pdf

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1、编辑本段周期函数的判定 定理 1 若 f(X)是在集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数则 K f(X)+C（K0）和1/f(X)分别是集 M 和集X/f(X)0，X 上的以 T*为最小正周期的周期函数。1 证：T*是 f(X)的周期，对 有 XT*且 f(X+T*)=f(X)，K f(X)+C=K f(X+T*)+C，K f(X)+C 也是 M 上以 T*为周期的周期函数。假设 T*不是 Kf(X)+C 的最小正周期，则必存在 T（0TT*）是 K f(X)+C 的周期，则对，有 K f(X+T)+C=K f(X)+C Kf(X+T)-f(X)=0，K0，f(X+T)-f(X)=0，f(X

2、+T)=f(X)，T是 f(X)的周期，与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾，T*也是 K f(X)+C的最小正周期。同理可证 1/f(X)是集X/f(X)0，X 上的以 T*为最小正周期的周期函数。定理 2 若 f(X)是集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数，则 f(aX+n)是集 X/aX+n 上的以 T*/为最小正周期的周期函数，（其中 a、b 为常数）。证：先证 是 f(ax+b)的周期 T*是 f(X)的周期，有 XT*M，a（X）+b=ax+b T*M，且fa（X+T）+b=f（ax+bT*）=f（ax+b）是 f（ax+b）的周期。再证 是 f（ax+b）的最小正周期 假设存

3、在 T（0T）是 f（ax+b）的周期，则 f（a（x+T）+b）=f（ax+b），即 f（ax+b+aT）=f（ax+b），因当 X 取遍X/XM,ax+bM的各数时,ax+b 就取遍 M 所有的各数，aT是 f(X)的周期，但=T*这与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾。定理 3 设 f(u)是定义在集 M 上的函数 u=g（x）是集 M1 上的周期函数，且当XM1 时，g(x)M，则复合函数 f(g(x)是 M1 上的周期函数。证：设 T 是 u=g(x)的周期，则 1 有（xT）M1 且 g（x+T）=g(x)f(g(x+T)=f(g(x)=f(g(x)是 M1 上的周期函数。例 1

4、设=f(u)=u2 是非周期函数，u=g(X)=cosx 是实数集 R 上的周期函数，则f(g(x)=cos2x 是 R 上的周期函数。同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx0)也都是周期函数。例 2 f(n)=Sinn 是周期函数，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函数，f(g(x)=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。例 3 f(n)=cosn 是周期函数，n=g(x)=（非周期函数）而 f(g(x)=cos 是非周期函数。证：假设 cos 是周期函数，则存在 T

5、0 使 cos（kZ）与定义中 T是与 X 无关的常数矛盾，cos 不是周期函数。由例 2、例 3 说明，若 f(u)是周期函数，u=g(X)是非周期函数，这时 f(g(x)可能是，也可能不是周期函数。定理 4 设 f1(X)、f2(X)都是集合 M 上的周期函数，T1、T2 分别是它们的周期，若 T1/T2Q 则它们的和差与积也是 M 上的周期函数，T1 与 T2 的公倍 数为它们的周期。证：设（(pq)=1）设 T=T1q=T2p 则有：有（xT）=（xT1q）=（xT2p）M，且 f1(x+T)f2（x+T）=f1(x+T1q)f2（x+T2p）=f1(X)f2(X)f1(X)f2(X)

6、是以 T1 和 T2 的公倍数 T 为周期的周期函数。同理可证：f1(X)、f2(X)是以T 为周期的周期函数。定理 4 推论 设 f1(X)、f2(X)fn(X)是集 M 上的有限个周期函数 T1、T2Tn 分别是它们的周期，若，（或 T1，T2Tn 中任意两个之比）都是有理数，则此 n 个函数之和、差、积也是 M 上的周期函数。例 4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x 是以 2、/2 的最小公倍 数 2 为周期的周期函数。例 5 讨论 f(X)=的周期性 解：2tg3 是以 T1=为最小正周期的周期函数。5tg 是以 T2 为最小正周期的周期函数。tg2 是以 T3=为最小正周

7、期的周期函数。又 都是有理数 f(X)是以 T1、T2、T3 最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。同理可证：（1）f(X)=cos;(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。定理 5 设 f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是 a1/a2Q。证 先证充分性：若 a1/a2Q，设 T1、T2 分别为 f1(x)与 f2(x)的最小正周期，则 T1=、T2=，又 Q 由定理 4 可得 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数。再证必要性（仅就

8、f1(x)与 f2(x)的差和积加以证明）。（1）设 sina1x-cosa2x 为周期函数，则必存在常数 T0，使 sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin=-2sin s(a2x+)sin(1)。令 x=得 2cos（a1x+），则（KZ）。(2)或 CZ（3）又在（1）中令 2sin（a2x+）sin=-2sin=0 由(4)由 sin（5）由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。由（3）、（5 得）（6）无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有 a1/a2。（2）设 sinaxcosa2x 为周期函数，则 是

9、周期函数。编辑本段非周期函数的判定 1（1）若 f(X)的定义域有界 例：f(X)=cosx（10）不是周期函数。（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数 T 在关系式 f(X+T)=f(X)中是与 X 无关的，故讨论时可通过解关于 T 的方程 f(X+T)-f(X)=0，若能解出与 X 无关的非零常数 T 便可断定函数 f(X)是周期函数，若这样的 T 不存在则f(X)为非周期函数。例：f(X)=cos 是非周期函数。（3）一般用反证法证明。（若 f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。例：证 f(X)=ax+b(a0)是非周期函数。证：假设 f(X)=ax+b 是周

10、期函数，则存在 T（0），使对，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又 a0，T=0 与 T0 矛盾，f(X)是非周期函数。例：证 f(X)=是非周期函数。证：假设 f(X)是周期函数，则必存在 T（0）对，有(x+T)=f(X)，当 x=0时，f(X)=0，但 x+T0,f(x+T)=1，f(x+T)f(X)与 f(x+T)=f(X)矛盾，f(X)是非周期函数。例：证 f(X)=sinx2 是非周期函数 证：若 f(X)=sinx2 是周期函数，则存在 T（0），使对，有 sin(x+T)2=sinx2，取 x=0 有 sinT2=sin0=0，T2=K（KZ），又取 X=T 有 sin(T+T)2=sin（T）2=sin2k=0，(+1)2 T2=L(LZ+)，与 3+2 是无理数矛盾，f(X)=sinx2 是非周期函数。