2022年高中数学解析几何专题之抛物线 .docx

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1、精品_精品资料_圆锥曲线第 3 讲 抛物线【学问要点】一、抛物线的定义平面内到某肯定点F 的距离与它到定直线l Fl 的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.注 1： 在抛物线的定义中,必需强调：定点F 不在定直线 l 上,否就点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点 F 且垂直于直线 l 的一条直线.注 2： 抛物线的定义也可以说成是：平面内到某肯定点F 的距离与它到定直线l Fl 的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线.注 3：抛物线的定义指明白抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实.以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转

2、化, 这是利用抛物线的定义解题的关键.二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线的标准方程有以下四种：2F p ,0xp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）y2 px p0 ,其焦点为2,准线为2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2F p ,0xp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）y2 px p0 ,其焦点为2,准线为2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（3） x2 py p0 ,其焦点为F 0,ppy2 ,准线为2

3、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（4） x2 py p0 ,其焦点为F 0,ppy2,准线为2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 抛物线的标准方程的特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2抛物线的标准方程y2 px p0 或 x2 py p0 的特点在于：等号的一端可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2是某个变元的完全平方, 等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特点相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线

4、方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项 x 的符号指明白抛物线的开口方向.当抛物线的对称轴为y 轴时, 抛物线方程中的一次项就是 y 的一次项,且一次项y 的符号指明白抛物线的开口方向.三、抛物线的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2以标准方程 y2 px p0 为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 范畴： x0 , yR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 顶点：坐标原点O0,0 .可编辑资料

5、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 对称性：关于 x 轴轴对称,对称轴方程为y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 开口方向：向右.（5） 焦参数：p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 焦点：F p2,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_px（7）准线：2 .（8） 焦准距：p .（9） 离心率： e1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（10） 焦半径：假设Px0, y0 为抛物线 y2 px p0 上一点,就由抛物线的定义,可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_pPFx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有2（11） 通径长：.2 p .y22 px可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 1 ： 抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离.以抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p0 的焦点pF ,0x2和准线 l ：p2 为例,可求得其焦准距为ppp22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 2： 抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

7、弦.设抛物线的方程为y22 pxp0 ,过其焦点pF ,0 2且不垂直于x 轴的直线交该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛 物 线 于A x1,y1 、B x2 , y2两 点 , 就 由 抛 物 线 的 定 义 , 可 知 其 焦 半 径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ppAFx1x1BF22 ,px2x2 2p2 ,于是该抛物线的焦点弦长为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAFBF x1p x22p

8、x1x2p2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦.通径是抛物线的全部焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点弦中最短的弦.设抛物线的方程为y22 pxp0 ,过其焦点pF ,0 2且垂直于 x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的直线交该抛物线于A 、 B 两点不妨令点A 在 x 轴的上方,就pA, p 2pB,p、2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是该抛物线的通径长为ABpp2

9、 p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、与抛物线相关的几个重要结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设抛物线的方程为y2 px p0 ,点pF ,0 2x是其焦点,直线 l ：p2 是其准线,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设过该抛物线焦点F 的直线交该抛物线于A x1,y1 、 B x2 , y2 两点即线段AB 是该抛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_物线的焦点弦 ,并且点 A 、点 B 在其准线上的垂足分别为点C 、点 D ,线段 CD 的中点为点 N ,就可以证明：可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y yp 2p 2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）12,4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB（2）x1x2p2 psin2这里,为直线AB 的倾斜角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）S AOBp2 2 sin这里,为直线 AB 的倾斜角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）以线段 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）ANB90 ,CFD90 .可编辑资料 - -

11、 - 欢迎下载精品_精品资料_（6）以线段 CD 为直径的圆切直线AB 于点 F .证明： 由于当直线 AB 的斜率不存在或斜率存在且不为零时,均符合题意,因此为防止分情可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_况进行争论而使得证明过程比较繁琐,依据直线AB 过点F p2,0,我们可巧设其方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x coty p2 ,这里,为直线 AB 的倾斜角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 联立y2x cot2 px y2p2 ,得

12、y2 p coty p 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由韦达定理,有y1y22 p cot12 pcoty1 y2,pp 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2故22yy122 p2 p22yy y1212 py 222 p2 y1 y22 p cot 222 pp 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 p 2 cot 22 p2 p 22 pcot 2pp2 cot 21可编辑资料 -

13、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y22x x12 y1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22 p2 p4 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（2） 由抛物线的定义,有ppp 2 2p 4p24 p 2ABAF4 p 2BF4ACBD x1 x2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1p x 2px1x22pcotyp 12cotyp p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cot y1y22 pcot2 p cot2 p2 pcot 212 pcsc22 p22

14、1244sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1 OFyy1p yy 2p yy 24y yp 2p cot 24p2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23AOB12121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p4 p 2 cot244 p2p4 p 2cot 241p44 p 2 csc2p 2 p csc 4p 2 p csc 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 212sinp 22 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）设 AB 的中点为M x0,

15、y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xpxpx1xpxxpp2 cot21p2 pcot210就20222222212pcot 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又AB x1x 2 y1y 2 x1x 24 x1x2 y1y 24 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 p2 cot2p2214222 pcot22424 cot221) p2224 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222242222244p p 4 cot4 p cot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_244 p cot8pcot4 p4

16、 p cot2 cot14 p cot12 p cot1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 pcot 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_px0 21 AB 2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这说明, AB 的中点M x0,y0 到准线 l ： xxp2 的距离等于 AB 的一半, 即以线段 AB 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直径的圆的圆心M x0, y0 到准线 l ：2的距离等于圆的半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故以线段 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

17、_精品资料_（5）A x1 , y1 , B x2,N y2 ,p , y1y2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1y212y1y2 2y1y2y22y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kNA于是 k NAx1k NBp x12y1y2 2p2 ,y1y2 2kNBx2 y1p 22y 24px22 y1y 2244 y1 y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12 2 p cotppx22224p x124 pp xp22222cot4 px1x2px12px2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 2p424

18、2p2 cot 21p4p 2p22242 cot 21p 2 cot 2p 2p 2 cot 2p 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 NANB ,即ANB90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pC , y1D又2,p, y22,pF ,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2FCp, y1 , FDp,y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 FCFDpy1 y2p2p2 0可编辑资

19、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 FCFD ,即CFD90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NF（6） p 2p 202y1y2 22p 2 y12y2 2p 2 2 pcot22p2p 2 cot 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2p2 1cot2p1cot2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDy1y2 y1y 2 y1y 24 y1y22 p

20、cot24p2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24 p2cot24 p 24 p2cot 21) 2pcot21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NF1 CD2N p ,y1y2 F p ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这说明, CD 的中点22到点2的距离等于CD 的一半,即以线段 CD 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直径的圆的圆心N p , 2y1y2 2到点F p ,0 2的

21、距离等于圆的半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故以线段 CD 为直径的圆切直线AB 于点 F【例题选讲】题型 1：抛物线定义的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知2F 是抛物线 yx 的焦点,A 、B是该抛物线上的两点, AFBF3,就线段 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的中点到 y 轴的距离为.2p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 在抛物线 yx 中, 2 p1 ,即2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11F ,0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该抛物线的焦点为4,准线

22、方程为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFBF由此可知, 直线 AB 不垂直于 x 轴,否就11AF122,与已知BF3 冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Ax1,y1 ,B x2, y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就线段 AB 的中点到 y 轴的距离 dx1x2 2,并且由抛物线的定义,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1AF

23、x1 41x1BF4 ,xx11x2x24413xx5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是由 AFBF3 ,有122122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d故线段 AB 的中点到 y 轴的距离5x1x225224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 设抛物线 y8x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为该抛物线上一点,PAl ,点 A 为垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足,假如直线AF 的斜率为3 ,那么 PF =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 在抛

24、物线 y8 x 中, 2 p8 ,即 p4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该抛物线的焦点为F 2,0 ,准线方程为 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 k AF3 , F 2,0 可知,直线 AF 的方程为 y03 x2) ,即 y3x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y联立x3x232,得x2y4 3A 2,43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

25、精品资料_于是由 PAl 于点 A 知,yPy A4343 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2将其代入方程yxP68 x 中,得8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故由抛物线的定义,有PFPAxP 2628可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 已知以 F 为焦点的抛物线y线的距离为.4 x 上的两点 A、B 满意AF3 FB ,就弦 AB 的中点到准可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解： 在抛物线 y4 x 中, 2 p4 ,即 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该抛物线的焦点为F 1,0 ,准线方程为x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Ax1,y1 ,B x2, y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就弦 AB 的中点到准线的距离dx1x2 2 1x1x2 21,并且 AF1x1 ,y1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FB x11, y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是由1AF3FB ,有x13 x21y13 y2x13 x24y1

27、3 y2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 AF3FB 可知,直线 AB 的斜率存在,不妨设为k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就直线 AB 的方程为 y0k x1) ,即 ykxk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2联立 y4xkxk ,得ky24 y4 k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由韦达定理,有y1 y24k4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22而 y1 y23 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

28、精品资料_23 y24242yy2213 ,9 y 294123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4y123212y 21x13x2于是44,443可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d故弦 AB 的中点到准线的距离x1x2121335811233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：求抛物线的方程24. 设抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为x2 ,就该抛物线的方程是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由所求抛物线的准线方程为x2

29、,可设其方程为 y2 px p0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p就有22p4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求抛物线的方程为y 28x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设抛物线的顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上,且焦点到准线的距离为2,就该抛物线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是.解： 由题设条件可设所求抛物线的方程为y2 px p20 或 x2 py p0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

30、 - - 欢迎下载精品_精品资料_2就由焦准距为2,有 p22故所求抛物线的方程为y或4 xx24 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知抛物线过点P 3,2,就该抛物线的标准方程为 ,其准线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .解：由所求抛物线过点P3,2 ,可设其方程为 y22 px p0x2或2 py p0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 46 p 或 94 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29pp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是3 或4y 2故所求抛物线的方程为4 xx29 y3或2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_