2022年高中数学专题讲解之抛物线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学专题讲解之抛物线考点 1 抛物线的定义：平面上与一个定点 F 和一条直线 l F 不在 l 上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线；抛物线的定义中条件“F 不在 l 上” 不行遗漏,否就,假如 F 在 l 上,就轨迹为过 F 且与l 垂直的直线；题型：利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1、1已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q2, 1的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和的最小值为22抛物线 y=4 x 上的一点 M到焦点的距离

2、为 1,就点 M的纵坐标是 17 15 7 A. B. C. D. 0 16 16 8例 2、求平面内到原点与直线 x y 2 0 距离相等的点的轨迹方程,并指出轨迹所表示的曲线；例 3、求到点 A2,0 的距离比到直线l:x3的距离小 1 的点的轨迹方程；稳固练习：1. 已知抛物线y22px p0的焦点为F,点P x 1,y 1,P x2,y2,P x3,y3在抛物线上,且|P 1F|、|P 2F|、|P 3F|成等差数列,就有MF最小时 , Ax 1x 2x3 By 1y 2y3Cx 1x 32x 2 D. y 1y 32y 2MA2. 已知点A 3 ,4,F是抛物线y28x的焦点 ,M

3、是抛物线上的动点, 当M点坐标是 A. 0 ,0 B. ,3026 C. 2,4 D. 3 ,263. 已知方程x22py p的抛物线上有一点Mm , 3,点 M到焦点 F 的距离为 5,求m的值；名师归纳总结 4、在正方体ABCDA 1B 1 C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点 P 到直线A 1B 1与直线 BC 的距第 1 页,共 13 页离相等 , 就动点 P 所在的曲线的外形为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1B1A1B1A1B1A1B1APBAPBAPBAPBABCD考点 2 抛物线的标准方程 题型：求抛物线的标准方程 例 4

4、、求满意以下条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程：1 过点 -3,2 2焦点在直线x2y40上稳固练习：1、假设抛物线y22px的焦点与双曲线x2y21的右焦点重合 , 就p的值32、 对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为2,1. 能使这抛物线方程为 y 2=10x 的条件是 _. 要求填写合适条件的序号3、 假设抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点, M为准线与 Y 轴的交点, A 为抛物线上一点 , 且|AM|17|,AF|

5、3,求此抛物线的方程考点 3 抛物线的几何性质标准方程抛物线的几何性质 px0 ：2pxxx22pyxx2,02pyxy22pxy2图形yF yFyFyOOOO焦点F p 20,0ppp,0222名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 准线xpxpypyp2222范畴x0 ,yRxx,0yRxR , y0yxR, y0对称轴轴 0, 0轴顶点题型：抛物线中的最值问题：例 5、求抛物线y24x 上的点 P到直线 3x4y150的距离的最小值, 并求出 P点的坐标；例 6、给定抛物线y22x ,设 Aa ,0 ,aR,P 是

6、抛物线上的一点,且PAd ,求 d 的最小值；例 7、长度等于3 的线段的两个端点在抛物线y2x 上运动,求AB的中点 M到 y 轴的距离的最小值；题型：抛物线与直线的位置关系问题：9010B例 8、设 A、B 是抛物线y22px 上的点,且满意AOB8O为坐标原点 ,求证：直线AB过定点,并求出此定点；6例 9、已知正方形ABCD的两个顶点A、B 在抛物线y2 x 上,45C另两个顶点C、D在直线yx4上,如图,求此正方形的边A长；2例 10、已知抛物线C的顶点在原点,焦点F 在 x 轴的正半轴上,设O2DA、B 是抛物线 C上的两 4个动点 AB不垂直于 x 轴但AFBF8,线段 AB的垂

7、直平分线经过定点Q 6,0,求抛物线的方程；OFa ,例 11、设点O 为抛物线的顶点,F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦,假设名师归纳总结 PQb ,求OPQ 的面积；第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12、 如下图,抛物线 y 2=4x 的顶点为 O,点 A的坐标为 5 ,0 ,倾斜角为 的直线 l 与线段 OA相交 不经过点 O或点 A且交抛物线于 M、4N两点,求AMN面积最大时直线 l 的方程,并求AMN的最大面积 . 例 13、已知抛物线 y 2=2px p 0, 过动点 M a,0 且斜率为 1 的直线 l

8、与该抛物线交于不同的两点 A、B,且 | AB| 2p. 1 求 a 的取值范畴 . 2 假设线段 AB的垂直平分线交x 轴于点 N,求 NAB面积的最大值 . . 解： 1 设直 线l的方程为： y=x a, 代入抛物线方程得 x a2=2px, 即 x2 2 a+p x+a 2=0 | AB|= 2 4 a p 24 a 22p. 4ap+2p 2p 2, 即 4ap p 2又 p 0, ap . 42 设 A x1, y1 、B x2, y2 ,AB的中点 C x, y, 由1 知, y1=x1a, y2=x2a, x1+x2=2a+2p, 就有 x= x 1 x 2 a p , y y

9、 12 2线段 AB的垂直平分线的方程为y 2 x 1 x 2 2 a =p. 2yp= xa p, 从而 N点坐标为 a+2p,0 点 N到 AB的距离为 | a 2 p a |2 p2从而 SNAB= 1 2 4 a p 24 a 22 p 2 p 2 ap p 22当 a 有最大值p 时, S 有最大值为 2 p 2. 4基础稳固训练21. 过抛物线 y 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于2a 2 a 4 a R ,就这样的直线A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D. 不存在22. 在平面直角坐标系 xOy 中,假设抛物线

10、 x 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,就点 P 的纵坐标为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 两个正数 a、b 的等差中项是9,一个等比中项是2 5,且ab ,就抛物线y2ba x2的焦点坐标为 1 1 1 1A0, B 0, C ,0 D ,04 4 2 44. 假如 1P,P 2, ,8P 是抛物线 y 24 x 上的点 ,它们的横坐标依次为 1x,2x, ,8x,F是抛物线的焦点,假设 x 1 , x 2 , , x n n N 成等差数列且 x 1

11、 x 2 x 9 45,就 | P 5F | =A5 B6 C 7 D95、抛物线 y 24 x 的焦点为 F , 准线为 l ,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,ABl ,垂足为 B,就四边形 ABEF的面积等于 A33 B43C63 D83FA与x轴正向6、设O是坐标原点,F是抛物线y24x的焦点,A是抛物线上的一点,的夹角为60,就OA为题型、焦点弦问题2例 14、已知抛物线 y 2 px p 0,过焦点 F 的弦 AB的直线倾斜角为,求 AB的弦长；2例 15、假设 AB是抛物线 y 2 px p 0 的焦点弦过焦点

12、的弦,且 A x y ,B x y ,就：2p 2xx 1 2,y y 1 2 p ；4例 16、已知直线 AB是过抛物线 y 22 px p 0 焦点 F,求证：1 1 为定值；AF BF2例 17、已知 AB是抛物线 y 2 px p 0 的过焦点 F 的弦,求证：1以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切；名师归纳总结 2 分别过 A、B 做准线的垂线, 垂足为 M、N,求证：以 MN为直径的圆与直线AB相切；Ax与准线 l 相切yMPOQ FNB第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 18、假设抛物线方程为y 2 2 pxp0

13、,过 2 p ,0的直线与之交于A、 B两点,就 OAOB；稳固练习：1、假设直线axy10经过抛物线y24x的焦点,就实数aA 1, B 1,2、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B, 假设 A、B 在抛物线准线上的射影为就A 1FB 1 A. 45 B. 60 C. 90 D. 120题型、中点弦问题：例 19、过点 A 0, 1 ,作直线 l 交抛物线 y 24 x 于 B、 C两点,求 BC中点 P 的轨迹方程；例 20、假设抛物线 y x 上存在两点 2PQ关于直线 l : y m x 3 对称,求 m的取值范畴；稳固练习：21、在抛物线 y 4 x 上求一点,使该点到直线 y

14、 4 x 5 的距离为最短,求该点的坐标22、已知抛物线 C : y axa 为非零常数的焦点为 F,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l1求 F 的坐标；2当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小？3、设抛物线 y 22 pxp 0的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点点C在抛物线的准线上,且 BC X 轴证明直线 AC经过原点 O2 24、椭圆 x2 y2 1 上有一点 M -4 ,9在抛物线 y 22 px p0的准线 l 上,抛物a b 5线的焦点也是椭圆焦点 . 1求椭圆方程；2假设点 N在抛物线上,过 N作准线

15、l 的垂线,垂足为 Q距离,求 |MN|+|NQ| 的最小值 . 5、已知抛物线 C的一个焦点为 F1,0,对应于这个焦点的准线方程为 x=-1 . 2 21写出抛物线 C的方程；2过 F 点的直线与曲线 C交于 A、B 两点, O点为坐标原点,求AOB重心 G的轨迹方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3点 P 是抛物线 C上的动点,过点P 作圆 x-3 2+y 2=2 的切线,切点分别是M,N.当 P 点在何处时, | MN| 的值最小？求出 | MN| 的最小值 . 课后作业：名师归纳总结 一、挑选题本大题

16、共10 小题,每题 5 分,共 50 分第 7 页,共 13 页1假如抛物线y 2=ax 的准线是直线x=-1 ,那么它的焦点坐标为A1, 0 B2, 0 C3, 0 D 1, 0 2圆心在抛物线y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是Ax2+ y 2 - x-2 y -1=0 Bx2+ y 2 +x-2 y +1=04Cx2+ y 2 - x-2 y +1=0 Dx2+ y 2 - x-2 y +1=0 43抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是A1, 1B1,1 C 3,9D 2,424244一抛物线形拱桥, 当水面离桥顶2m时,水面宽 4m,

17、假设水面下降1m,就水面宽为 A6m B 26m C4.5m D9m 5平面内过点A-2 ,0,且与直线x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是A y 2 =2x B y 2 =4x Cy 2=8xDy 2=16x6抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上点-5 , m到焦点距离是6,就抛物线的方程是A y 2 =-2 xB y 2=-4 xC y 2 =2xD y 2=-4 x 或 y 2=-36 x 7过抛物线y2=4x 的焦点作直线,交抛物线于Ax1, y 1 ,Bx2, y 2 两点,假如x1+ x2=6,那么 |AB|= A8 B10 C 6 D 4 8把与抛物线y2=4x关于原点对称

18、的曲线按向量a,23 平移,所得的曲线的方程是 Ay324 x2 By3 24x2 Cy3 24 x2 Dy324x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9过点 M2,4作与抛物线y 2 =8x 只有一个公共点的直线l 有A0 条 B1 条 C 2 条 D3 条10过抛物线 y =ax 2 a0 的焦点 F 作始终线交抛物线于 P、Q两点,假设线段 PF 与 FQ的长分别是 p、q,就 1 1 等于p q1 4A2a BC 4a D 2 a a二、填空题本大题共 4 小题,每题 6 分,共 24 分11抛物线 y 2=4x的弦 AB垂直于 x 轴,假设

19、AB的长为 4 3,就焦点到 AB的距离为12抛物线 y =2 x 2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是13 P是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,就这个圆肯定经过一个定点 Q,点 Q的坐标是2 2x y14 抛物线 的焦点 为椭圆 1 的 左焦点 ,顶点 在椭圆 中心,就 抛物线 方程9 4为三、解答题本大题共 6 小题,共 76 分15已知动圆 M与直线 y =2 相切,且与定圆 C：x 2 y 3 21 外切,求动圆圆心 M的轨迹方程 12 分 16已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M 3,m到焦点的距离等于 5,求

20、抛物线的方程和 m的值12 分2 117动直线 y = a,与抛物线 y x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 0 3, a ,求线段 AB 中2点 M的轨迹的方程12 分 18河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2米,载货后船露出水面上的部分高 小船开头不能通航？12 分 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,名师归纳总结 19如图,直线l1 和 l2 相交于点 M,l1l2,点 Nl1以 A、B 为端点的曲线段C上的任一第 8 页,共 13 页点到 l 2的距离与到点N的距离相等假设AMN为锐角三角形,|AM|=, |AN|

21、=3 ,且|BN|=6 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程 14 分 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20已知抛物线y22pxp0过动点 Ma,0且斜率为 1 的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|2px轴于点 N,求RtNAB面积的最大值14 分 求a的取值范畴；假设线段AB的垂直平分线交参考答案一挑选题本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C B A C C C 二填空题本大题共 4 小题,每题 6 分,共 24 分11 2 12x k 13 1,0 14y

22、 24 5 x4三、解答题本大题共 6 题,共 76 分1512 分 解析 ：设动圆圆心为 Mx,y,半径为 r ,就由题意可得 M到 C 0,-3 的距离与到直线 y=3 的距离相等, 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以 C0,-3 2为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为 x 12 y2 p16 12 分 解析 ：设抛物线方程为 x 2 py p 0 ,就焦点 F0,由题意可2得m226pp25,解之得m26或m26,又 B03, a得xa2xm3p4p42故所求的抛物线方程为x28y,m 的值为261712 分 解析 ：设 M的坐标为 x,y, A2a2,ay2 a消去a,

23、得轨迹方程为xy2,即y24xAyA4O1812 分 解析 ：如图建立直角坐标系,B名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设桥拱抛物线方程为x22pyp0,由题意可知,B 4,-5 在抛物线上,所以p16.,得x23 .2y,AA,就A2 ,yA,由当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为223.2yA得yA5,又知船面露出水面上部分高为075 米,所以h0 . 75y A4=2 米 19 14 分 解析 ：如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴, MN的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐 标原点由题意可知：

24、曲线 C是以点 N为焦点,以 l 2为准线的抛物线的一段,其中 A、B分别为 C的端点名师归纳总结 设曲线段 C的方程为y22pxp0,xAxx B,y0 ,第 10 页,共 13 页其中x , AxB分别为 A、B的横坐标,pMN所以,Mp,0,Np,0 由AM17,AN3得22xAp22pxA172xAp22pxA92联立解得xA4将其代入式并由p0 解得p4,或p2pxA1xA2由于 AMN为锐角三角形,所以pxA,故舍去p2p=4,x A12x A2由 点B 在 曲 线 段C 上 , 得xBBNp4 综 上 得 曲 线 段C 的 方 程 为22 y8x 1x,4y0 20 14 分 解

25、析 ：直线l的方程为yxa,将yxa代入y22px,得x22 apxa20设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A x1y 1、Bx 2 y 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4ap24a20,就x 1x22 ap ,又y 1x1a ,y2x2a,px 1x2a2.22 x 1x224x 1x 28pp2a|AB|x 1x22y 1y20|AB|2p,8pp2a0p 解得pa, 08pp2a224设 AB的垂直平分线交AB于点 Q,令坐标为x3y 3,就由中点坐标公式,得x 3 x 1 x 2 a p,y 3 y 1 y 2 x 1 a x 2 a

26、p2 2 2| QM | 2 a p a 2 p 0 22 p 2又 MNQ 为等腰直角三角形,| QN | | QM | 2 p,S NAB 12 | AB | | QN |2 2p | AB |2 2p 2 p22 p即 NAB 面积最大值为 2 p 21、抛物线 x 2 8 y 的准线方程是；2、已知 P 是抛物线 y 2 4 x 上的动点,F 是抛物线的焦点,就线段 PF 的中点轨迹方程是；3 抛物线 y 2 2 x 关于直线 x y 1 0 对称的抛物线方程是；4、顶点在原点,以 x 轴为对称轴且经过点 M 2 , 3 的抛物线的标准方程为 _ 5、25、如图是一种加热水和食物的太阳

27、灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处,容器由假设干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑；已知镜口圆的直径为12 米, 镜深 2 米,假设把盛水和食名师归纳总结 物的容器近似地看作点,就每根铁筋的长度为_米. 6.5米第 11 页,共 13 页6、设 F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A、B、C为该抛物线上三点, 假设FAFBFC0就|FA|+|FB|+|FC|=B A9 B 6 C 4 D 3 7、已知点A 1,0,B1,0及抛物线y22x ,假设抛物线上点P 满意 PAm PB ,就 m的最大值为A 3 B 2C3 D28 已知：点

28、 P 与点 F2,0的距离比它到直线x 40 的距离小2,假设记点P 的轨迹为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 曲线 C；1求曲线 C的方程；2假设直线L 与曲线 C相交于 A、B 两点,且 OAOB；求证：直线L 过定点,并求出该定点的坐标；解：1解法 A：点 P 与点 F2,0的距离比它到直线 x 40 的距离小 2,所以点 P 与点 F2,0的距离与它到直线 x 20 的距离相等；- 由抛物线定义得：点 P 在以 F 为焦点直线 x 20 为准线的抛物线上,抛物线方程为 y 28 x ；- 解 法 B ： 设 动 点 P x y , 就 x 2

29、2y 2| x 4 | 2； 当 x 4 时 ,2 2 2 2 x 2 y x 6,化简得：y 8 x 2,明显 x 2,而 x 4,此时曲线不存在；当 x 4 时, x 2 2y 2 x 2 2,化简得：y 28 x ；2设直线 L：y=kx+b 与抛物线交予点 x y 1 , x y 2 , a 如L斜率存在,设为 k,就 y kx2 b, ky 28 y 8 b 0, k 0,-1 分y 8 x 64 32 kb 0所以 y y 2 8 , 又 y 1 22 8 x 1,得 x x 2 y y 22 2b 22,k y 2 8 x 2 64 k由 OA OB , 得 y y 2 1,即8

30、 k1,b 8 k ,-分x x 2 b直线为 y k x 8,所以 L过定点 8,0- 分b 直线 L与 轴垂直,就直线OA（或直线 OB）的斜率为 1,yyx得x8,直线 L过定点8 00,3,它们在x-分 28x由 ab得：直线恒过定点8,0 ；轴上有共同焦点,椭圆的对称轴9、已知抛物线y24x, 椭圆经过点M是坐标轴；1求椭圆的方程；2假设 P 是椭圆上的点,设T 的坐标为 ,0t是已知正实数 ,求 P 与 T 之间的最短距离；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ： 1 抛 物 线 的 焦 点 为 1

31、, 0 , 设 椭 圆 方 程 为x2y21ab0, 就a2b22 2a b 1, b 32 2所以椭圆方程为 x y1；4 322设 P x y , ,就 PT x t 2y 2 x t 231 x 42 2 x 4 12 12 t 2 x 2；4 当 0 t 12 时,x 4 t,即 P 4 , 3 3 t 2 时,PT min 3 3 t 2；1 当 t 时,x 2,即 P 2,0 时,PT min t 2；22 13 3 t ,0 t综上,PT min 1 2；t 2 , t210、1直线 l 过抛物线 y 2 2 px p 0 的焦点,且与抛物线相交于 A x 1 , y 1 , B

32、 x 2 , y 2 两点,证明：y 1 y 2 p 2；2直线 l 过抛物线 y 2 2 px p 0 的焦点,且与抛物线相交于 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC / x 轴,证明：直线 AC 经过原点；211、已知抛物线 y 4 x ,F 是焦点,直线 l 是经过点 F的任意直线1 假设直线 l 与抛物线交于两点 A、B,且 OM AB O 是坐标原点, M是垂足 ,求动点M的轨迹方程；名师归纳总结 2 假设 C、D两点在抛物线y24x 上,且满意OC OD4,求证直线CD必过定点,并第 13 页,共 13 页求出定点的坐标- - - - - - -