2022年高中数学专题讲解之抛物线 .docx

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1、精品_精品资料_高中数学专题讲解之考点 1 抛物线的定义：抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面上与一个定点F 和一条直线 l F 不在 l 上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.抛物线的定义中条件“F 不在 l 上”不行遗漏,否就,假如F 在 l 上,就轨迹为过 F 且与l 垂直的直线.题型： 利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换22例 1、1已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q2, 1的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

2、资料_2抛物线 y=4 x上的一点 M到焦点的距离为 1,就点 M的纵坐标是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17157A.B.C.D. 016168例 2、求平面内到原点与直线xy20 距离相等的点的轨迹方程,并指出轨迹所表示的曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、求到点 A2,0 的距离比到直线l : x3 的距离小 1 的点的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_稳固练习：1. 已知抛物线y22 px p0 的焦点为F ,点P x, y, Px , y , P x , y 在抛可编

3、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_物线上,且| P1F|、 | P2F| 、 | P3 F111222|成等差数列,就有333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x1x2x3By1y2y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C x1x32 x2D.y1y32 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知点A3,4, F是抛物线 y 28 x 的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当 MAMF 最小时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M点坐标是 可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品_精品资料_A.0,0 B.3,26 C. 2,4D.3,26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 已知方程x2py p0 的抛物线上有一点Mm,3,点 M到焦点 F 的距离为 5,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m的值.4、在正方体ABCDA1 B1C1D1 的侧面ABB1A1 内有一动点 P 到直线A1B1 与直线 BC 的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离相等 , 就动点 P 所在的曲线的外形为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

5、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1B1A1B1A1B1A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PPPPABABABAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 2抛物线的标准方程题型：求抛物线的标准方程例 4、求满意以下条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 过点 -3,22焦点在直线 x2 y40 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_稳固练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、假设抛物线2y2

6、 px的焦点与双曲线x2y21 的右焦点重合 , 就3p 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件：焦点在 y 轴上.焦点在 x 轴上.抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6.抛物线的通径的长为5.由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为2,1.能使这抛物线方程为y2x 的条件是. 要求填写合适条件的序号=103、 假设抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点, M为准线与 Y 轴的交点, A 为抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上一点 , 且 | AM |17 ,| AF |3 ,求此抛物线的方程可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点 3抛物线的几何性质抛物线的几何性质p0 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程图形2y2 pxyy 22 px yx 22 pyyx22 pyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxOxOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点pF 2,0pF ,02pF 0, 2pF 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线范畴 对称轴x pxp2222x0, yRx0, yRxR, y0xR, y0x 轴

8、y pypy 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点0, 0题型：抛物线中的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5、求抛物线标.y24x 上的点 P 到直线 3x4 y150 的距离的最小值, 并求出 P 点的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、给定抛物线y22 x ,设 Aa,0 , aR,P 是抛物线上的一点,且PAd ,求 d 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、长度等于 3 的线段的两个端点在抛物线

9、的最小值.题型：抛物线与直线的位置关系问题：yx 上运动,求 AB的中点 M到 y 轴的距离2210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、设 A、B 是抛物线y2 px, 上的点, 且满意AOB90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8O为坐标原点 ,求证：直线AB过定点,并求出此定点.B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、已知正方形 ABCD的两个顶点 A、B 在抛物线6yx2 上,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另两个顶点 C、D 在直线 yx长.4 上,如图,求此正方形的边

10、AC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O52D4例 10、已知抛物线C 的顶点在原点,焦点F 在 x 轴的正半轴上,设 A、B 是抛物线 C上的两个动点 AB不垂直于 x 轴但AFBF8 ,线段 AB的垂直平分线经过定点Q 6,0,求抛物线的方程.例 11、设点 O 为抛物线的顶点,F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦,假设OFa ,PQb ,求 OPQ 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 12、 如下图,抛物线 y =4x 的顶点为 O,点 A的坐标为 5 ,0 ,倾可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜角为的直线 l 与线段 OA相交

11、 不经过点 O或点 A 且交抛物线于 M、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_N两点,求 AMN面积最大时直线 l 的方程,并求 AMN的最大面积 .2例 13、已知抛物线 y =2px p 0, 过动点 M a,0 且斜率为 1 的直线 l与该抛物线交于不同的两点A、B,且 | AB| 2p.(1) 求 a 的取值范畴 .(2) 假设线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 NAB面积的最大值 .22. 解： 1 设直 线 l的方程为 ： y=x a, 代入抛物线方程得 x a =2px, 即 x 2222 a+p x+a2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

12、_ | AB|=24 ap 24a2 2p. 4ap+2p p , 即 4ap p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 p 0, a p .42 设 A x1, y1 、B x2, y2 , AB的中点 C x, y,由1 知, y1=x1 a, y2=x2 a, x1+x2=2a+2p,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 x= x1x22ap, yy1y2 2x1x222a =p.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线段 AB的垂直平分线的方程为y p= x a p, 从而 N点坐标为 a+2p,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、点 N到 AB的距离为 | a12 pa |2 p2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 S NAB=224 ap4a2 p2 p2app可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 有最大值 基础稳固训练p 时, S 有最大值为2 p2 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 过抛物线 y24 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点,它们的横坐标之和等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 22a4 aR ,就这样的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.

14、有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或 2 条D.不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在平面直角坐标系xOy 中,假设抛物线x24 y 上的点P 到该抛物线焦点的距离为5,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 的纵坐标为A. 3B. 4C. 5D. 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两个正数 a、b 的等差中项是的焦点坐标为 9,一个等比中项是225 ,且 ab, 就抛物线y2ba x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A 0, 41B 0,41C ,0 21D ,0

15、 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 假如P , P,P 是抛物线y24x 上的点 ,它们的横坐标依次为x , x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12812可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x8 , F 是抛物线的焦点,假设x1, x2, xnnN 成等差数列且x1x2x945 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 | P5F|=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 5B 6C 7D 9可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品_精品资料_5、抛物线 y24 x的焦点为F , 准线为 l ,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于60的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点A, ABl ,垂足为 B,就四边形 ABEF的面积等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 33B 43C 63D 8 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、设 O 是坐标原点,F 是抛物线y24 x的焦点,A是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的夹角为 60

17、 ,就 OA 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型、焦点弦问题例 14、已知抛物线2y2 px p0 ,过焦点 F 的弦 AB的直线倾斜角为,求 AB的弦长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15、假设 AB是抛物线 y22pxp0的焦点弦过焦点的弦 ,且Ax1, y1 , Bx2, y2,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2p2, y1y24p2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

18、资料_例 16、已知直线 AB是过抛物线2y2 px p0 焦点 F,求证：11AFBF为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17、已知 AB是抛物线y22 px p0 的过焦点 F 的弦,求证：1以 AB 为直径的圆与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线的准线相切.2 分别过 A、B 做准线的垂线, 垂足为 M、N,求证： 以 MN为直径的圆与直线AB相切.与准线 l 相切yMAOxPQFNB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18、假设抛物线方程为y22pxp0,过 2 p ,0的直线与之交于A、 B 两点,就 OA可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品_精品资料_OB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_稳固练习：1、假设直线axy10 经过抛物线y24 x的焦点,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、过抛物线焦点 F的直线与抛物线交于两点A、B, 假设 A、B 在抛物线准线上的射影为A1, B1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就A1FB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 45B.60C.90D.120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型

20、、中点弦问题：例 19、过点 A 0,1 ,作直线 l 交抛物线y 24 x 于 B、 C两点,求 BC中点 P 的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 20、假设抛物线yx2 上存在两点 PQ关于直线l : ym x3 对称,求 m的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_稳固练习：1、在抛物线 y4x2 上求一点,使该点到直线y4x5 的距离为最短,求该点的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

21、_2、已知抛物线C : yax 2 a 为非零常数的焦点为F ,点P 为抛物线c 上一个动点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求F 的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当点P 在何处时,点F 到直线l 的距离最小？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、设抛物线y22 px p0 的焦点为F,经过点 F 的直线交抛物线于A、B 两点点可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_C在抛物线的准线上,且BCX 轴证明直线 AC经过原点 O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24、椭圆2ay29221 上有一点 M -4 ,在抛物线 y b52 px p0的准线 l 上,抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线的焦点也是椭圆焦点.1求椭圆方程.2假设点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q距离,求 |MN|+|NQ| 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知抛物线 C的一个焦点为F1写出抛物线C的方程.1 , 0,对应于这个焦点的准线方程为x=- 1 .22可编辑资料 -

23、- - 欢迎下载精品_精品资料_2过 F 点的直线与曲线 C交于 A、B 两点, O点为坐标原点,求 AOB重心 G的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+23点 P 是抛物线 C上的动点,过点 P 作圆 x-3 2y =2的切线,切点分别是M,N.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 P 点在何处时, | MN| 的值最小？求出 | MN| 的最小值 .课后作业：一、挑选题本大题共10 小题,每题 5 分,共 50 分21. 假如抛物线 y =ax 的准线是直线x=-1 ,那么它的焦点坐标为A1, 0 B2, 0 C3, 0 D 1, 0 22. 圆心在抛

24、物线 y =2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是22122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. x + y- x-2 y -=0B x + y4+x-2 y +1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2C x + y22- x-2 y +1=0D x + y21- x-2 y +=04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 抛物线 yx2 上一点到直线 2 xy40 的距离最短的点的坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

25、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1, 1B1 , 124 C 32, 9 4D 2, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 一抛物线形拱桥, 当水面离桥顶2m时,水面宽 4m,假设水面下降 1m,就水面宽为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 6m B 26 mC 4.5m D 9m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 平面内过点 A-2 , 0,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是A y 2 =2x B y 2 = 4x C y 2 = 8xD y 2 = 16x 6抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上

26、点 -5 , m到焦点距离是 6,就抛物线的方程是22A. y =-2 xB y =-4 x222C y =2xD y =-4 x 或 y =-36 x27. 过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于A x1, y 1, Bx2, y 2 两点,假如 x1+ x2=6,那么 |AB|=A 8B 10C 6D 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28. 把与抛物线 y=4x 关于原点对称的曲线按向量a 2,3) 平移,所得的曲线的方程是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. y324 x2B. y3 24 x2可

27、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. y3 24 x2D. y324 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29. 过点 M2, 4作与抛物线y =8x 只有一个公共点的直线l 有A 0 条B 1 条C 2 条 D 3 条10. 过抛物线 y =ax2 a0 的焦点 F 作始终线交抛物线于P、Q两点,假设线段 PF 与 FQ的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分别是 p、q,就 1p1 等于q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14A 2aBC 4aD 2aa二、填空题本大题共4 小题,每题

28、 6 分,共 24 分211. 抛物线 y =4x 的弦 AB垂直于 x 轴,假设 AB的长为 43 ,就焦点到 AB的距离为212. 抛物线 y =2 x 的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是213. P 是抛物线 y =4x 上一动点,以P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,就这个圆肯定经过一个定点 Q,点 Q的坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 抛物线 的焦点 为椭圆x 2y21 的 左焦点 ,顶点 在椭圆 中心,就 抛物线 方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题本大题共6 小题,共

29、 76 分15. 已知动圆 M与直线 y =2 相切,且与定圆 C： x2 y3 21 外切,求动圆圆心M的轨可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_迹方程 12 分16. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点 M 3,m到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和m的值12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 动直线 y = a,与抛物线 y21x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是20,3a,求线段 AB 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 M的轨迹的方程 12 分18. 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5 米时,水面宽为8 米,

30、一小船宽 4 米,高 2米,载货后船露出水面上的部分高0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时, 小船开头不能通航？ 12 分19. 如图,直线 l 1 和 l 2 相交于点 M, l 1 l 2,点 N l 1以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点N 的距离相等假设AMN为锐角三角形, |AM|=, |AN|=3 , 且|BN|=6 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程 14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20. 已知抛物线 y22 px p0 过动点 M a ,0且斜率为 1 的直线l

31、与该抛物线交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不同的两点 A、B, | AB |2 p 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设线段 AB的垂直平分线交x 轴于点 N,求 RtNAB 面积的最大值14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案一挑选题本大题共10 小题,每题 5 分,共 50 分题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题本大题共4 小题,每题 6 分,共 24 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

32、品资料_k11 212 x413 1, 0 14 y245x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题本大题共6 题,共 76 分15. 12 分 解析 ：设动圆圆心为 Mx,y,半径为 r ,就由题意可得 M到 C 0,-3 的距离与到直线 y=3 的距离相等, 由抛物线的定义可知： 动圆圆心的轨迹是以C0,-3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为x 212 y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16. 12分 解析 ：设抛物线方程为x22 py p0

33、,就焦点 Fp,0 ,由题意可2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m26 pm23p 22,解之得5m26 或 mp4p26 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的抛物线方程为x 28 y , m的值为26xa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 12 分 解析 ：设 M的坐标为 x, y, A 2a 2 , a ,又 B0,3a 得y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 a ,得轨迹方程为 xy,即 y24 xy24Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18. 12 分