中考压轴题汇编(三).doc

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1、中考压轴题汇编动态几何型压轴题1.（2001天津）已知：在RtABC中，B90，BC4cm，AB8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点若P为AB边上的一个动点，PQBC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y（1）如图，当AP3cm时，求y的值；（2）设APxcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；（3）当y2cm2时，试确定点P的位置解（1） PQBC， BC4，AB8，AP3， PQ D为AB的中点， ADAB4，PDADAP1 PQMN为正方形，DNPNPDPQPD， yMNDNcm2（2） APx， A

2、Nx当ox时，y0；当x4时，；当4x时，yx；当x8时，y2（8x）2x16（3）将y2代入y2x16（x8）时，得x7，即P点距A点7cm；将y2代入时，得，即P点距A点cm2.（2002上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q图5图6图7探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，P

3、CQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）解 图1 图2 图3（1）解：PQPB证明如下：过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形（如图1）NPNCMB BPQ90，QPNBPM90而BPMPBM90，QPNPBM 又QNPPMB90，QNPPMB PQPB（2）解法一由（1）QNPPMB得NQMPAPx，AMMPNQDN，BMPNCN1，CQCDDQ121

4、得SPBCBCBM1（1）x SPCQCQPN（1）（1）x2S四边形PBCQSPBCSPCQx21即yx21（0x）解法二作PTBC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形PTCBPN又PNQPTB90，PBPQ，PBTPQNS四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCNCN2（1）2x21yx21（0x）（3）PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时x0当点Q在边DC的延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）解法一：此时，QNPM，CPx，CNCP1 CQQNCN（1）1当x

5、1时，得x1 解法二：此时CPQPCN22.5，APB9022.567.5，ABP180（4567.5）67.5，得APBABP，APAB1，x1 ONPQMCC1B1A1AB图13.（2006河北课改）如图1和2，在2020的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，RtABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，RtABC停止移动.设运动时间为x秒，QAC的面积为y.（1）如图1，当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出RtA1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图

6、2，在RtABC向下平移的过程中，请你求出y与ONPQMCAB图2x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在RtABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？解 （1）如图1，A2B2C2是A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形. 2分ONPQMCABCAB图2ONPQMC1C2B1A1A2B2图1（2）当ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有： MA=x，MB=x+4，MQ=20， y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC = =2x+40(0x16).由一次函数的性

7、质可知：当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；当x=16时，y取得最大值，且y最大=216+40=72. （3）解法一： 当ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16x32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x, y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC =-2x+104(16x32). 由一次函数的性质可知： 当x=32时，y取得最小值，且y最小=-232+104=40； 当x=16时，y取得最大值，且y最大=-216+104=72. 解法二： 在ABC自左向右平移的过程中，QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关

8、于直线QN成轴对称.因此，根据轴对称的性质，只需考察ABC在自上至下平移过程中QAC面积的变化情况，便可以知道ABC在自左向右平移过程中QAC面积的变化情况. 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；当x=32时，y取得最小值，且y最小=40. 4. (2004山东枣庄)如图，在ABC中，AB17，AC5，CAB45，点O在BA上移动，以O为圆心作O，使O与边BC相切，切点为D，设O的半径为x，四边形AODC的面积为yABODC （1）求 y与x的函数关系式； （2）求x的取值范围； （3）当x为何值时，O与BC、AC都相切？解（1）如图，过点C作CEAB，垂足为E在RtACE中，AC=5

9、，CAB=45， AE=CE= ACsin45= BE=ABAE=175=12， tanB= CB切O于点D， ODBC又 =tanB=， BD= S四边形AODC= SABCSBOD， ABCDEFOABCDOG(2)过点C作CFCB交AB于F在RtBCF中， CF=BCtanB=13 x的取值范围是0x （3）当O与BC、AC都相切时，设O与AC的切点为G，连结OG、OC（如图），则OG=OD=xSAOC+SBOC= SABC， 5.（2004浙江宁波）已知是半圆的直径，AB16，P点是AB上的一动点(不与A、B重合) ，PQAB， 垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，O2与半圆

10、O、半圆O1及PQ都相切，切点分别为M、N、C （1）当P点与O点重合时(如图1) ，求O2的半径r；图图AO（P）NO2O1MCQBPAONO2O1MCQB （2）当P点在AB上移动时(如图2) ，设PQx，O2的半径r求R与x的函数关系式，并求出r取值范围解 (1)连结OO2、O1O2、O2C，作O2DAB于D O2与O、O1、PQ相切， OO28r，O1O24r 四边形ODO2C是矩形， ODr，O1D4r 根据勾股定理得: ， 即: ， r2 (2) AB是O直径，PQAB PQ2APPB设O1半径是a，则x22a（162a）4（8aa2） 连结OO2、O1O2、O2C，作O2DAB于

11、D ， ， ， 根据勾股定理得:， 即: ， 化简得: ， 即 为0x8， 0r8 AQB图O（P）NO2O1MCBD图PAONO2O1MCQD6.（2005河北）如图12，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ与

12、线段AB相交于点O，且2AOOB时，求BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。（1）如图3，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。PMDC12解ABMCDPQ图3QB16t，S12(16t)96t（2）由图可知：CMPD2t，CQt。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若PQBQ。在RtPMQ中，由PQ2BQ2 得 ，解得t；A若BPBQ。在RtPMB中，。由BP2BQ2 得： 即。由于7040无解，PBBQ若PBPQ。由PB2PQ2，得整理，得。解得（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t秒时，以

13、B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。PAEEDCQBO图4（3）如图4，由OAPOBQ，得AP2t21，BQ16t，2(2t21)16t。t。过点Q作QEAD，垂足为E，PD2t，EDQCt，PEt。在RTPEQ中，tanQPEPAEEDCQBO图5（4）设存在时刻t，使得PQBD。如图5，过点Q作QEADS，垂足为E。由RtBDCRtQPE，得，即。解得t9所以，当t9秒时，PQBD。7.（2005河南）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB2，DC2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PCx，四边形ABPD的面积为y。（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的

14、取值范围；（2）若以D为圆心、为半径作D，以P为圆心、以PC的长为半径作P，当x为何值时，D与P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。解（1）过点D作DEBC于E，ABC900，DEAB2，又DC2，EC2BCBEECADEC213S四边形ABPD4x，即yx4 (0x3）（2）当P与E重合时，P与D相交，不合题意；当点P与点E不重合时，在RtDEP中，DP2DE2EP222|2x|2x24x8P的半径为x，D的半径为，当P与D外切时，(x)2x24x8，解得x此时四边形ABPD的面积y4当P与D内切时，(x)2x24x8，解得x此时四边形ABPD的面积y4P与D相切时，四边形ABPD

15、的面积为或8.（2005江苏宿迁）已知：如图，ABC中，C90，AC3厘米，CB4厘米两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿ABC的边运动当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒） （1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化设PQ与ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由解 （1）SP

16、CQPCCQ2， 解得1，2 当时间为1秒或2秒时，SPCQ2厘米2； （2）当02时，S； 当23时，S； 当34.5时，S； （3）有； 在02时，当，S有最大值，S1； 在23时，当3，S有最大值，S2； 在34.5时，当，S有最大值，S3； S1S2S3时，S有最大值，S最大值 9.（2005江苏泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）.（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. （2）操作：将图2中的C

17、DE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围. （3）操作：图1中CDE固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设AC C=（3090（图4）；ED图2图3DE图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEM的值，如果有变化，请你说明理由. 解 （1）BE=AD 证明：ABC与DCE是等边三角形ACB=DCE=60 CA=CB，C

18、E=CD BCE=ACD BCEACD BE=AD TS（也可用旋转方法证明BE=AD）（2）如图在CQT中 TCQ=30 RQT=60QTC=30 QTC=TCQQT=QC=x RT=3x RTSR=90 RST=90y=32 (3x)2=(3x)2(0x3) （3）CNEM的值不变 证明：ACC=60MCENCC=120CNCNCC=120 MCE=CNC E=C EMCCCN CNEM=CCEC= 10.（2005江苏南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，6），O为坐标原点，OAB沿AB翻折得到PAB将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m0）个单位

19、长度，得到四边形O1A1P1B1设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围解 （1）过点B作BQOA于点Q（如图1）O3yBxAPQ图1 点A坐标是（10，0），点A1坐标为（10m，3），OA10又 点B坐标是（8，6）， BQ6，OQ8在RtOQB中， OAOB10， 由翻折的性质可知，PAOA10，PBOB10， 四边形OAPB是菱形，PBAO，P点坐标为（18，6）， P1点坐标为（18m，3） （2）当0m4时，（如图2）, 过点B1作B1Q1x轴于点Q1，则B

20、1 Q16-33，xOyBAP1A1O1B1Q1FQ图2P设O1B1 交x轴于点F，O1B1BO，在RtFQ1B1中，Q1F4，B1F5，AQOAOQ1082，xOBAP1A1O1B1图3PSHFyAFAQ+QQ1+ Q1F2+m+46+m，周长l2（B1FAF）2（56m）2 m22； 当4m14时，（如图3）设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H，OSyBSxA由平移性质，得 OHB1F5，此时ASm4，OSOAAS10（m4）14m，周长l2（OHOS）2（514m）2 m38 11.（2005新疆乌鲁木齐）四边形OABC是等腰梯形，OABC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，

21、0），B（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ。（1）写出C点的坐标；（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示（3）其AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。（4）当t取何值时，AMQ的面积最大；（5）当t为何值时，AMQ为等腰三角形。解 （1）C（1，2）（2）过C作CEx轴于E，则CE2当动点N运动t秒时，NBt点Q的横坐标为3t设Q点的纵坐标为yQ由PQCE得 点Q（）（3）点M以每秒2个单位运动，OM2t，AM42tSAMQ

22、当t2时，M运动到A点，AMQ存在，t2t的取值范围是0t2（4）由SAMQ。当（5）、若QMQAQPOAMPAP而MP4（1t2t）33t即1t33tt当t时，QMA为等腰三角形。若AQAMAQ2AP2PQ2AQ=AM42t42t当t时，QMA为等腰三角形。若MQMAMQ2MP2PQ2解得t或t1（舍去）02当t时，QMA为等腰三角形。综上所述：当t 、t或 tQMA都为等腰三角形。12. (2005浙江温州)如图，在RtABC中，已知ABBCCA4cm，ADBC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/

23、s，设它们运动的时间为x(s)。 求x为何值时，PQAC； 设PQD的面积为y(cm2)，当0x2时，求y与x的函数关系式； 当0x2时，求证：AD平分PQD的面积； 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)解 （1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。当，由题意得：BPx，CQ2x，PC4x，ABBCCA4，C600，若PQAC，则有QPC300，PC2CQ4x22x，x，当x(Q在AC上)时，PQAC；（2）当0x2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QHBC于H，C600，QC2x，QHQCsin600xABAC，ADBC，BDCDBC2

24、DP2x，yPDQH(2x)x（3）当0x2时，在RtQHC中，QC2x，C600，HCx，BPHCBDCD，DPDH，ADBC，QHBC，ADQH，OPOQSPDOSDQO，AD平分PQD的面积；（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离当x或时，以PQ为直径的圆与AC相切。当0x或x或x4时，以PQ为直径的圆与AC相交。13. （2005上海静安）如图4，已知O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E（1）求的值；（2）设AC=，OE=，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点C在AB上运动时，C是否可能与O相切？如果可

25、能，请求出当C与O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由解 （1）过点O作ODAB，垂足为D， AB是O的弦，AD=AB=2， （2）过点C作CFOE，垂足为F，OE是C的弦， 在RtACF中，AF=AC=， AF+OF=OA，.函数解析式为函数定义域为 （3）C可能与O相切 在RtAOD中，OD= 当C与O相切时，OC=， CD=， C与OA相于点O，不符合题意 当C与O相切时的AC的长为14. （2005上海闵行）已知：如图，在梯形ABCD中，点E在AD边上，且，连结CE点P是AB边上的一个动点，过点P作，交BC于点Q设，ABCDPEQ(1) 求的值；(2) 求y与x的函数解析式，并写出

26、函数的定义域；(3) 当时，求x的值解 (1) 过点A作，垂足是点F ， 在RtABF中， (2) 分别延长BA、CE，交于点G ， ， ，即得 ， 即， 由，得 所以，y与x的函数解析式是， (3) 当时，得，解得 所以，当时， 16.（2006广东课改）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点P为x轴上的个动点，点P不与点0、点A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D (1)求点B的坐标； (2)当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点P的坐标。解

27、 (1)作BQx轴于Q. 四边形ABCD是等腰梯形,BAQCOA60在RtBQA中,BA=4,BQ=ABsinBAO=4sin60=AQ=ABcosBAO=4cos60=2,OQ=OA-AQ=7-2=5点B在第一象限内,点B的的坐标为(5, )(2)若OCP为等腰三角形,COP=60,此时OCP为等边三角形或是顶角为120的等腰三角形若OCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,点P的坐标为(4,0)若OCP是顶角为120的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4点P的坐标为(-4,0)点P的坐标为(4,0)或(-4,0)(2)若CPD=OABCPA=OCP+

28、COP而OAB=COP=60,OCP=DPA此时OCPADP,AD=AB-BD=4-=AP=OA-OP=7-OP得OP=1或6点P坐标为(1,0)或(6,0).17.（2006上海静安）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BCAB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E（1） 求证：AOBBDC；（2） 设大圆的半径为，CD的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域（3） BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由解 (1)大O与CD相切于点C，DCO=90.BCD+OBC=90,CBAD，

29、ABO+OCB=90,OC=OB,OBC=OCB, BCD=ABO.小O与AB相切于点A，BAO=90. CBD=BAO AOBBDC (2) 过点O作OHBC，垂足为H OAB=ABC=BHO=90，四边形OABH是矩形. BC是大O的弦，BC=2BH =2OA=2， 在RtOAB中，AB= AOBBDC， ，函数解析式为， 定义域为 (3) 当EB=EC时，ECB=EBC，而ECB=OBC，EBEC当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3 当BC=BE时，BEC=ECB=OBC，则BCEOCB 则设OC = x,则CE=,(负值舍去).OC=.综上所述，BCE能成为等腰三角

30、形，这时大圆半径为3或18. （2006山东青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O 是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC ?（2）求y与x 之间

31、的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）解 （1）RtEFGRtABC ，FG3cm 当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ，OPAC x 31.5（s）当x为1.5s时，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），FH（x5）过点O作ODFP ，垂足为 D 点O为EF中点，ODEG

32、2cmFP3x ，S四边形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3（0x3（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324则S四边形OAHPSABCx2x3686x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，当x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324 19.（2006河北）如图，在RtABC中，C90，AC12，BC16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动

33、在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ设运动时间为t（秒）（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；APCQBD（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，请简要说明理由 解 （1）由题意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =PCQ与PDQ关于直线PQ对称，y=2SPCQ （2）当时，有PQAB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2当t2秒时，四边形PQBA是梯形 （3）设存在时刻t，使得PDAB，延长PD交BC于点M，如图2，若PDAB，则QMD=B，又QDM=C=90，图2APCQBDMRtQMDRtABC，从而，QD=CQ=4t，AC12，AB=20，QM= 若PDAB，则，得，解得t当t秒时，PDAB （4）存在时刻t，使得PDAB 时间段为：2t3