BI第三十三讲 椭圆.doc

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1、 高考数学一轮第三十三讲 第 1 页共 13 页 第三十三讲 椭圆考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、椭圆及其标准方程1椭圆的定义平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭1F2F12|FF圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距12|FF2椭圆的标准方程焦点在轴上的椭圆的标准方程是，焦点坐标，x22221(0)xyabab1(,0)Fc，其中2( ,0)F c222bac焦点在轴上的椭圆的标准方程是，焦点坐标，y22221(0)yxabab1(0,)Fc，其中2(0, )Fc222bac【提示】焦点在轴上标准方程中项的分母较大，焦点在轴上标准方

2、程x2xy中项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判2y断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑” 二、椭圆的几何性质标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab图形xyOA1A2B1F1F2B2xyOB1A1A2 F2F1B2范围，|xa|yb，|ya|xb顶点，1(,0)Aa2( ,0)A a，1(0,)Aa2(0, )Aa高考数学一轮第三十三讲 第 2 页共 13 页 ，1(0,)Bb2(0, )Bb，1(,0)Bb2( ,0)B b对称轴，0x 0y 对称中心(0,0)离心率，cea(0,1)e【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综

3、合】一、椭圆定义的理解椭圆定义中的“常数” ，即常数，即对椭圆上任一点都有122|aFFM12|MFMF这是个必要条件，否则轨迹不为椭圆事实上，若，轨迹是线122|aFF122|aFF段；若，轨迹不存在12FF122|aFF二、椭圆的标准方程的求法求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时可根据条件用代入法，用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：1作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有xy可能2设方程：根据上述判断设方程或22221(0)xyabab22221(0)yxabab或22 1xy mn(0,0,)mnmn3找关系：根据已知条件，建立关于、或、的方程组

4、abcmn4得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求【提示】当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设椭圆方程为22 1xy mn，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为(0,0,)mnmn221AxBy，这种形式在解题时更简便(0,0,)ABAB高考数学一轮第三十三讲 第 3 页共 13 页 三、点与椭圆的位置关系00(,)P xy22221(0)xyabab1在椭圆上；22 00 221xy ab00(,)P xy2在椭圆外；22 00 221xy ab00(,)P xy3在椭圆内22 00 221xy ab00(,)P xy四、直线与椭圆的位置关系1代数法：把椭圆方程与直线方程

5、联立消去，整理成形如22221(0)xyababykxby的形式，对此一元二次方程有：20AxBxc，直线与椭圆有两个公共点、：0 PQ，直线与椭圆有一个公共点；0 ，直线与椭圆无公共点0 2几何法：判断直线与椭圆相交，除了上面介绍的代数法外，还可以使用几何法，即通过判断直线经过椭圆内的某一点，来证明直线与椭圆相交，但需注意不能用类似的方法来判断相切或相离，即不能通过判断直线经过椭圆上的某一点，来证明直线与椭圆相切；也不能通过判断直线经过椭圆外的某一点或几点，来证明直线与椭圆相离3直线与椭圆相交的弦长问题的求法直线斜率不存在时的弦长问题若直线斜率不存在，可以直接将直线方程（一般方程中带有字母参

6、数）代入椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意直线斜率存在时的弦长公式设直线与双曲线相交于，两点，则可结合一元二次方程根与系数11( ,)M x y22(,)N xy关系得到如下弦长公式：222 212121|()()1|MNxxyykxx高考数学一轮第三十三讲 第 4 页共 13 页 （其中为的系数） 2 12211|1|yykkA(0)k A2x考点分类精讲考点考点 1 椭圆的定义椭圆的定义1依据椭圆的定义判定所求的轨迹椭圆2把椭圆定义作为性质来运用【例 1】已知是椭圆

7、的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定F225945xyP(1,1)A点(1)求的最小值，并求此时点的坐标；3|2PAPFP(2)求的最大值和最小值|PAPF【解析】此题与椭圆的焦点有关，两小题很相近，仅差一个常数，考虑到椭圆的离心率为因此第一问可以转化到点到左准线的问题，而第二问不能转化到左准线，我2 3P们试一下右焦点由于椭圆方程为，22 195xy，3a 5b 2c 2 3e 26a (1)如图(1)所示，过向椭圆左准线作垂线，垂足为，则由椭圆定义知：PQ,从而=|2 |3PF PQ3|2PQPF3|2PAPF|PAPQxy(1)OFAPQxyF1FAPO(2)可见，当、共线时，最小，最小值

8、为，此时APQ|PAPQ911122 6(5,1)5P 高考数学一轮第三十三讲 第 5 页共 13 页 (2)如图(2)所示，设椭圆右焦点为，则，1F1| 6PFPF1| | 6PAPFPAPF利用（当、共线时等号成立） ，1|AF1|PAPF1|AFPA1F，|62PAPF|62PAPF故的最大值为，最小值为|PAPF6262点拨：一般地，遇到有关焦点（或准线）问题时，首先应考虑用定义来解题，椭圆上的点到两焦点的距离考虑第一定义，椭圆上的点到焦点及到准线的距离考虑第二定义，即：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦

9、点，定直线叫椭圆的准线【例 2】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当22 143xyFxmAB的周长最大时，的面积是_FABFAB【解析】如图，设椭圆右焦点为，直线与轴相交于点由椭圆的定义，得FxmxC| | 24AFAFBFBFayxBACFF O而，所以当且仅当过点时，的| | |ABACBCAFBFABFABF周长最大此时，由，得，即1c 3(1, )2A3(1,)2B| 3AB 所以1| 32ABFSABFF【例 3】设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线1F2FE22221(0)xyabab1F交椭圆于两点，E,A B11| 3|AFBF高考数学一轮第三十三讲 第 6 页共 1

10、3 页 (1)若，的周长为 16，求；| 4AB 2ABF2|AF(2)若，求椭圆的离心率23cos5AF BE【解析】(1)由得11| 3|, | 4AFFBAB11| 3, | 1AFFB因为的周长为 16，所以由椭圆定义可得2ABF12416, | 28aAFAFa故21| 2| 835AFaAF(2)设，则且，由椭圆定义可得1|FBk0k 1| 3 , | 4AFkABk，2| 23AFak2| 2BFak在中，由余弦定理可得2ABF，222 22222|2| | cosABAFBFAFBFAF B即，2226(4 )(23 )(2)(23 ) (2)5kakakakak化简可得，而，

11、故() (3 )0akak0ak3ak于是有，212| 3|, | 5AFkAFBFk因此，可得 222 22|BFAFAB12AFAF故为等腰直角三角形从而，12AFF2 2ca所以椭圆的离心率2 2cea考点考点 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程1求椭圆的标准方程2由椭圆的标准方程读出有关信息【例 4】已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆E22221(0)xyabab(3,0)FF于、两点若的中点坐标为，则的方程为 ( )ABAB(1, 1)EA B C D22 14536xy22 13627xy22 12718xy22 1189xy高考数学一轮第三十三讲 第 7 页共 13 页 【解析

12、】由题意可知直线的方程为，代入，消去，AB1(3)2yx22221xy aby得，2 22222239()0424abxa xaa b所以的中点的横坐标为，即，又，AB223 21 2()4aab 222ab222abc所以故选 D3bc【例 5】已知，椭圆过点，两个焦点为，C3(1, )2A( 1,0)(1,0)(1)求椭圆的方程；C(2)，是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，EFCAEAF证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值EF【解析】(1)由题意，可设椭圆方程为，1c 2219114bb解得，（舍去）23b 23 4b 所以椭圆方程为22 143xy(2)设直线方程为

13、：，代入得AE3(1)2yk x22 143xy2223(34)4 (32 )4()1202kxkk xk设,因为点在椭圆上，所以(,)EEE xy(,)FFF xy3(1, )2A，2234()122 34Fk xk 3 2EEykxk又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得AFAEkk，2234()122 34Fk xk 3 2EEykxk 所以直线的斜率EF()21 2FEFE EF FEFEyyk xxkkxxxx即直线的斜率为定值，其值为EF1 2高考数学一轮第三十三讲 第 8 页共 13 页 点拨：求椭圆的标准方程首先考虑焦点的位置，若不确定，则需要讨论，即定类型，设方程

14、，求参数、当焦点的位置不确定时，也可直接设椭圆的方程为ab22 1xy mn(0,0,)mnmn考点考点 3 椭圆的几何性质椭圆的几何性质1探求椭圆的某些几何性质2将椭圆的几何性质作为已知条件给出【例 6】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线xOyF222210xyabab与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 2by ,B C90BFCFCBOyx【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，,0F c2by 3(, )22a bB 3(, )22a bC由可得，90BFC0BF CF 3(,)22abBFc 3(,)22abCFc ，所以，0BF CF 233()()()0222bc

15、a ca 即，由可得，则22231044cab222bac2231 42ca26 33cea【例 7】已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线:340lxy交椭圆E于,A B两点若4AFBF，点M到直线l的距离不小于4 5，则椭圆E的离心率的取值范围是A3(0,2B3(0, 4C3,1)2D3 ,1)4【解析】设椭圆的左焦点为，半焦距为，连结，则四边形为平行四1Fc1AF1BF1AFBF边形，所以11| | 4AFBFAFBF+=+=高考数学一轮第三十三讲 第 9 页共 13 页 根据椭圆定义，有，所以，解得11| 4AFAFBFBFa+=84a=2a =

16、因为点到直线 ：的距离不小于，Ml340xy+=4 5即，所以，所以，解得，44,155bb21b 2221,41acc-03c 所以，所以椭圆的离心率的取值范围为故选 A302c a3(0,2【例 8】在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆xOy( , )P a b(0)ab1F2F的左右焦点已知为等腰三角形22221xy ab12FPF(1)求椭圆的离心率；e(2)设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足2PFABM2PF，求点的轨迹方程2AM BM M【解析】(1)设，1(,0)Fc2( ,0)F c(0)c 由题意，可得，即212| |PFFF22()2 .acbc整理得（舍）

17、，22( )10,1ccc aaa 得或所以1.2c a1.2e (2)由(1)知2 ,3 ,ac bc可得椭圆方程为2223412,xyc直线方程为2PF3().yxc，两点的坐标满足方程组AB2223412,3().xycyxc消去并整理，得y2580.xcx解得1280,.5xxc高考数学一轮第三十三讲 第 10 页共 13 页 得方程组的解或，110,3 ,xyc 228,5 3 3.5xcyc 不妨设，83 3(,)55Acc(0,3 )Bc设点 M 的坐标为，则，( , )x y83 3(,)55AMxc yc ( ,3 )BMx yc 由，得3()yxc3 3cxy于是8 338

18、3 3(,),15555AMyxyx 由即，( , 3 ).BMxx 2,AM BM 8 3383 3()()3215555yxxyxx 化简得21816 3150.xxy将所以2218153105,0.31616 3xxycxycxx代入得0.x 因此，点的轨迹方程是M21816 3150(0).xxyx点拨：离心率问题几乎每年必考，因此必须熟练地掌握解决这类问题的思想方法，特别是求离心率的问题解决这类问题的关键是找到关于与的方程或不等式ac考点考点 4 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的综合问题1直线与椭圆的位置关系的判定2求椭圆的弦长问题【例 9】如图，设椭圆（1） 2 2 21xyaa(

19、1)求直线被椭圆截得的线段长（用、表示） ；1ykxak(2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范(0,1)A围高考数学一轮第三十三讲 第 11 页共 13 页 【解析】(1)设直线被椭圆截得的线段为，由，1ykx2 2 211ykxxya得，故，2222(1)20a kxa kx10x 22222 1a kxa k 因此2 22 12222111a kkxxka k(2)假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，4yP，满足QAPAQ记直线，的斜率分别为，且，APAQ1k2k1k20k 12kk由(1)知，22 11 22 121 1

20、a kkAPa k22 22 22 221 1a kkAQa k故，2222 1122 2222 122121 11a kka kk a ka k所以22222222 121212120kkkkaak k由于，得，12kk1k20k 222222 1212120kkaak k因此， 22 22 12111112aakk 因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以1k2k22121aa2a 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，(0,1)A312a由得，所求离心率的取值范围为21caeaa202e 高考数学一轮第三十三讲 第 12 页共 13 页 【例 10】设椭圆的左焦点为，

21、离心率为3 3，过点且与轴22221(0)xyababFFx垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 3 3(1)求椭圆的方程; (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两ABFkCD点. 若，求的值9AC DBAD CB k【解析】(1)设，由，知.过点且与轴垂直的直线为，(,0)Fc3 3c a3acFxxc 代入椭圆方程有，2222()1cy ab解得，于是，解得，6 3by 2 64 3 33b2b 又，从而，222acb3a 1c 所以椭圆的方程为.22 =132xy(2)设点，由得直线的方程为，11( ,)C x y22(,)D xy( 1,0)F CD(1)yk x由方程组消去，整理得221 ,132yk xxy y2222(23)6360kxk xk求解可得，.21226 23kxxk 212236 23kx xk因为，(3,0)A ( 3,0)B所以AC DBAD CB 11(3,)xy22( 3,)xy22(3,)xy11( 3,)xy2 12121212622622(1)(1)x xy yx xkxx222 12126(22)2()2kx xkxxk高考数学一轮第三十三讲 第 13 页共 13 页 .22212623k k由已知得8，解得.22212623k k2k 本专题试题训练详见试题精练