2015年天津市高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 24 页）2015 年天津市高考数学试卷（文科）年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题一、选择题：每题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=2，3，5，集合B=1，3，4，6，则集合 AUB=（ ）A3 B2，5 C1，4，6D2，3，52 （5 分）若实数 x，y 满足条件，则 z=3x+y 的最大值为（ ）A7B8C9D143 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A2B3C4D54 （5 分）设

2、 xR，则“1x2”是“|x2|1”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为 F（2，0） ，且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3 相切，则双曲线的方程为（ ）第 2 页（共 24 页）A=1B=1Cy2=1 Dx2=16 （5 分）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为（ ）AB3CD7 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53）

3、，b=f（log25） ，c=f（2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Ccab Dcba8 （5 分）已知函数 f（x）=，函数 g（x）=3f（2x） ，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（ ）A2B3C4D5二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分9 （5 分）i 是虚数单位，计算的结果为 10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m3第 3 页（共 24 页）11 （5 分）已知函数 f（x）=axlnx，x（0，+） ，其中 a 为实数，f（x）为f（x）的导

4、函数，若 f（1）=3，则 a 的值为 12 （5 分）已知 a0，b0，ab=8，则当 a 的值为 时，log2alog2（2b）取得最大值13 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且=，=，则的值为 14 （5 分）已知函数 f（x）=sinx+cosx（0） ，xR，若函数 f（x）在区间（，）内单调递增，且函数 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，则 的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演分，解答应写出文字说明，

5、证明过程或演算步骤算步骤15 （13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件A 发生的概率16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC的面积为 3，bc=2，c

6、osA=（）求 a 和 sinC 的值；（）求 cos（2A+）的值17 （13 分）如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点（）求证：EF平面 A1B1BA；第 4 页（共 24 页）（）求证：平面 AEA1平面 BCB1；（）求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小18 （13 分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项公式；（）设 cn=anbn，nN*，求数列cn的前 n 项和19 （14 分）已

7、知椭圆+=1（ab0）的上顶点为 B，左焦点为 F，离心率为（）求直线 BF 的斜率（）设直线 BF 与椭圆交于点 P（P 异于点 B） ，过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q（Q 异于点 B） ，直线 PQ 与 y 轴交于点 M，|PM|=|MQ|（i）求 的值（ii）若|PM|sinBQP=，求椭圆的方程20 （14 分）已知函数 f（x）=4xx4，xR（）求 f（x）的单调区间；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（x） ，求证：对于任意的实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）若方程 f（x）=a（a 为实数）有两个实数

8、根 x1，x2，且 x1x2，求证：第 5 页（共 24 页）x2x1+4第 6 页（共 24 页）2015 年天津市高考数学试卷（文科）年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：每题一、选择题：每题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=2，3，5，集合B=1，3，4，6，则集合 AUB=（ ）A3 B2，5 C1，4，6D2，3，5【分析】求出集合 B 的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，

9、集合 B=1，3，4，6，UB=2，5，又集合 A=2，3，5，则集合 AUB=2，5故选：B【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查2 （5 分）若实数 x，y 满足条件，则 z=3x+y 的最大值为（ ）A7B8C9D14【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=3x+y 得 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，由图象可知当直线 y=3x+z 经过点 A 时，直线 y=3x+z 的截距最大，此时 z 最大由，解得，即 A（2，3） ，代入目标函数 z=3x+y 得 z=32+3=

10、9第 7 页（共 24 页）即目标函数 z=3x+y 的最大值为 9故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A2B3C4D5【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 S=0 时满足条件 S1，退出循环，输出 i 的值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0第 8 页（共 24 页）i=1，S=9不满足条件 S1，i=2，S=7不满足条件 S1，i=3，S=4不满足条件 S1，i=4，S=0满足条件 S1

11、，退出循环，输出 i 的值为 4故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S的值是解题的关键，属于基础题4 （5 分）设 xR，则“1x2”是“|x2|1”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求解：|x2|1，得出“1x2”，根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：|x2|1，1x3，“1x2”根据充分必要条件的定义可得出：“1x2”是“|x2|1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题第 9 页（共 24 页）5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的

12、一个焦点为 F（2，0） ，且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3 相切，则双曲线的方程为（ ）A=1B=1Cy2=1 Dx2=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出 a，b 的关系，结合焦点为 F（2，0） ，求出 a，b 的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为 bxay=0，双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3 相切，b=a，焦点为 F（2，0） ，a2+b2=4，a=1，b=，双曲线的方程为 x2=1故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出 a，b 的值，是解题的关键6 （

13、5 分）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为（ ）第 10 页（共 24 页）AB3CD【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求 NE 即可【解答】解：由相交弦定理可得 CMMD=AMMB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又 CNNE=ANNB，3NE=42，NE=故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础7 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53） ，b=f（log25） ，c

14、=f（2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Ccab Dcba【分析】根据 f（x）为偶函数便可求出 m=0，从而 f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据 f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|） ，b=f（log25） ，c=f（0） ，然后再比较自变量的值，根据 f（x）在0，+）上的单调性即可比较出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x） ；2|xm|1=2|xm|1；第 11 页（共 24 页）|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）

15、=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 a=f（|log0.53|）=f（log23） ，b=f（log25） ，c=f（0） ；0log23log25；cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8 （5 分）已知函数 f（x）=，函数 g（x）=3f（2x） ，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（ ）A2B3C4D5【分析】求出函数 y=f（x）g（x）的表达式，构造函数 h（x）=f（x）+f（2x） ，作出函

16、数 h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=3f（2x） ，y=f（x）g（x）=f（x）3+f（2x） ，由 f（x）3+f（2x）=0，得 f（x）+f（2x）=3，设 h（x）=f（x）+f（2x） ，若 x0，则x0，2x2，第 12 页（共 24 页）则 h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若 0x2，则2x0，02x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若 x2，x0，2x0，则 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即 h（x）=，作出函数 h（x）的图象如图：当 y=3 时，两

17、个函数有 2 个交点，故函数 y=f（x）g（x）的零点个数为 2 个，故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分9 （5 分）i 是虚数单位，计算的结果为 i 【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：i 是虚数单位，第 13 页（共 24 页）=i故答案为：i【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m3【分析】根据几何体的三视图，得出

18、该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为 1，高为 2，圆锥底面圆的半径为 1，高为 1；该几何体的体积为V几何体=2121+122=故答案为：【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11 （5 分）已知函数 f（x）=axlnx，x（0，+） ，其中 a 为实数，f（x）为f（x）的导函数，若 f（1）=3，则 a 的值为 3 【分析】由题意求出 f（x） ，利用 f（1）=3，求 a第 14 页（共 24 页）【解答】解：因为 f（x）=axln

19、x，所以 f（x）=f（x）=lnaaxlnx+ax，又 f（1）=3，所以 a=3；故答案为：3【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键12 （5 分）已知 a0，b0，ab=8，则当 a 的值为 4 时，log2alog2（2b）取得最大值【分析】由条件可得 a1，再利用基本不等式，求得当 a=4 时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论【解答】解：由题意可得当 log2alog2（2b）最大时，log2a 和 log2（2b）都是正数，故有 a1再利用基本不等式可得 log2alog2（2b）=4，当且仅当 a=2b=4 时，取等号，即当 a=4 时，log

20、2alog2（2b）取得最大值，故答案为：4【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题13 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且=，=，则的值为 【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可【解答】解：AB=2，BC=1，ABC=60，BG=，CD=21=1，BCD=120，=，=，第 15 页（共 24 页）=（+）（+）=（+）（+）=+=21cos60+21cos0+11cos60+11cos120=1+=，故答案为：【点评】本题主要考

21、查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键14 （5 分）已知函数 f（x）=sinx+cosx（0） ，xR，若函数 f（x）在区间（，）内单调递增，且函数 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，则 的值为 【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f（x）=sin（x+） ，由2kx+2k+，kZ 可解得函数 f（x）的单调递增区间，结合已知可得：，kZ，从而解得 k=0，又由x+=k+，可解得函数 f（x）的对称轴为：x=，kZ，结合已知可得：2=，从而可求 的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+） ，函数 f（x）在区间（，）内单调递增，

22、02kx+2k+，kZ 可解得函数 f（x）的单调递增区间为：第 16 页（共 24 页），kZ，可得：，kZ，解得：02且 022k，kZ，解得：，kZ，可解得：k=0，又由 x+=k+，可解得函数 f（x）的对称轴为：x=，kZ，由函数 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，可得：2=，可解得：=故答案为：【点评】本题主要考查了由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定 k 的值是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步

23、骤算步骤15 （13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件A 发生的概率【分析】 （）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（） （i）列举可得从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果共 15 种；（

24、ii）事件 A 包含上述 9 个，由概率公式可得第 17 页（共 24 页）【解答】解：（）由题意可得抽取比例为=，27=3，9=1，18=2，应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为 3、1、2；（） （i）从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果为：（A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，A4） ， （A1，A5） ， （A1，A6） ，（A2，A3） ， （A2，A4） ， （A2，A5） ， （A2，A6） ， （A3，A4） ，（A3，A5） ， （A3，A6） ， （A4，A5） ， （A4，A6） ， （A5，A6） ，共 15 种；（ii）设 A 为事件“编号

25、为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，则事件 A 包含：（A1，A5） ， （A1，A6） ， （A2，A5） ， （A2，A6） ，（A3，A5） ， （A3，A6） ， （A4，A5） ， （A4，A6） ， （A5，A6）共 9 个基本事件，事件 A 发生的概率 P=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC的面积为 3，bc=2，cosA=（）求 a 和 sinC 的值；（）求 cos（2A+）的值【分析】 （）通过三角形的面积以及已知条件求出 b，c，利用正弦定理

26、求解sinC 的值；（）利用两角和的余弦函数化简 cos（2A+） ，然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形 ABC 中，由 cosA=，可得 sinA=，ABC 的面积为 3，可得：，可得 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4，由 a2=b2+c22bccosA，可得 a=8，解得 sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=第 18 页（共 24 页）【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力17 （13 分）如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点 E 和

27、F 分别为 BC 和 A1C 的中点（）求证：EF平面 A1B1BA；（）求证：平面 AEA1平面 BCB1；（）求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小【分析】 （）连接 A1B，易证 EFA1B，由线面平行的判定定理可得；（）易证 AEBC，BB1AE，可证 AE平面 BCB1，进而可得面面垂直；（）取 BB1中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A1M，A1N，NE，易证A1B1N 即为直线 A1B1与平面 BCB1所成角，解三角形可得【解答】 （）证明：连接 A1B，在A1BC 中，E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，EFA1B，又A1B平面 A1B1BA，EF平面 A1

28、B1BA，EF平面 A1B1BA；（）证明：AB=AC，E 为 BC 中点，AEBC，AA1平面 ABC，BB1AA1，BB1平面 ABC，BB1AE，又BCBB1=B，AE平面 BCB1，第 19 页（共 24 页）又AE平面 AEA1，平面 AEA1平面 BCB1；（）取 BB1中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A1M，A1N，NE，N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点，NE 平行且等于B1B，NE 平行且等于 A1A，四边形 A1AEN 是平行四边形，A1N 平行且等于 AE，又AE平面 BCB1，A1N平面 BCB1，A1B1N 即为直线 A1B1与平面 BCB1所成角，在

29、ABC 中，可得 AE=2，A1N=AE=2，BMAA1，BM=AA1，A1MAB 且 A1M=AB，又由 ABBB1，A1MBB1，在 RTA1MB1中，A1B1=4，在 RTA1NB1中，sinA1B1N=，A1B1N=30，即直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小为 30【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题18 （13 分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7第 20 页（共 24 页）（）求an和bn的通项公式；（）设 cn=anbn，nN*，求数列cn的前 n 项和【分析】 （

30、）设出数列an的公比和数列bn的公差，由题意列出关于 q，d的方程组，求解方程组得到 q，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列cn的前 n项和【解答】解：（）设数列an的公比为 q，数列bn的公差为 d，由题意，q0，由已知有，消去 d 整理得：q42q28=0q0，解得 q=2，d=2，数列an的通项公式为，nN*；数列bn的通项公式为 bn=2n1，nN*（）由（）有，设cn的前 n 项和为 Sn，则，两式作差得：=2n+13（2n1）2n=（2n3）2n3【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前 n 项和，考查数列求和的基本方法和运

31、算求解能力，是中档题19 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为 B，左焦点为 F，离心第 21 页（共 24 页）率为（）求直线 BF 的斜率（）设直线 BF 与椭圆交于点 P（P 异于点 B） ，过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q（Q 异于点 B） ，直线 PQ 与 y 轴交于点 M，|PM|=|MQ|（i）求 的值（ii）若|PM|sinBQP=，求椭圆的方程【分析】 （）通过 e=、a2=b2+c2、B（0，b） ，计算即得结论；（）设点 P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ） ，M（xM，yM） （i）通过（I） ，联立直线BF 与椭圆方程，利用韦达定理可得 xP

32、=，利用 BQBP，联立直线 BQ 与椭圆方程，通过韦达定理得 xQ=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sinBQP=，可得|BP|=，通过 yP=2xP+2c=c 计算可得 c=1，进而可得结论【解答】解：（）设左焦点 F（c，0） ，离心率 e=，a2=b2+c2，a=c，b=2c，又B（0，b） ，直线 BF 的斜率 k=2；（）设点 P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ） ，M（xM，yM） （i）由（I）知 a=c，b=2c，kBF=2，椭圆方程为+=1，直线 BF 方程为 y=2x+2c，联立直线 BF 与椭圆方程，消去 y 并整理得：3x2+5cx=

33、0，解得 xP=，BQBP，直线 BQ 的方程为：y=x+2c，联立直线 BQ 与椭圆方程，消去 y 并整理得：21x240cx=0，解得 xQ=，又=，及 xM=0，=；（ii）=，=，即|PQ|=|PM|，第 22 页（共 24 页）又|PM|sinBQP=，|BP|=|PQ|sinBQP=|PM|sinBQP=，又yP=2xP+2c=c，|BP|=c，因此=c，即 c=1，椭圆的方程为：+=1【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题20 （14 分）已

34、知函数 f（x）=4xx4，xR（）求 f（x）的单调区间；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（x） ，求证：对于任意的实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）若方程 f（x）=a（a 为实数）有两个实数根 x1，x2，且 x1x2，求证：x2x1+4【分析】 （）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（）设出点 p 的坐标，利用导数求出切线方程 g（x）=f（x0） （xx0） ，构造辅助函数 F（x）=f（x）g（x） ，利用导数得到对于任意实数 x，有 F（x）F（x

35、0）=0，即对任意实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）由（）知，求出方程 g（x）=a 的根，由 g（x）在（，+）上单调递减，得到 x2x2同理得到 x1x1，则可证得【解答】 （）解：由 f（x）=4xx4，可得 f（x）=44x3第 23 页（共 24 页）当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递增；当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递减f（x）的单调递增区间为（，1） ，单调递减区间为（1，+） （）证明：设点 p 的坐标为（x0，0） ，则，f（x0）=12，曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程为 y=f（x0） （xx0） ，即 g（x）=f（x0）

36、 （xx0） ，令函数 F（x）=f（x）g（x） ，即 F（x）=f（x）f（x0） （xx0） ，则 F（x）=f（x）f（x0） F（x0）=0，当 x（，x0）时，F（x）0；当 x（x0，+）时，F（x）0，F（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，对于任意实数 x，F（x）F（x0）=0，即对任意实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）证明：由（）知，设方程 g（x）=a 的根为 x2，可得g（x）在（，+）上单调递减，又由（）知 g（x2）f（x2）=a=g（x2） ，因此 x2x2类似地，设曲线 y=f（x）在原点处的切线方程为 y=h（x） ，可得 h（x）=4x，对于任意的 x（，+） ，有 f（x）h（x）=x40，即 f（x）h（x） 设方程 h（x）=a 的根为 x1，可得，h（x）=4x 在（，+）上单调递增，且 h（x1）=a=f（x1）h（x1） ，因此 x1x1，第 24 页（共 24 页）由此可得【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题