2013年天津市高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 22 页）2013 年天津市高考数学试卷（文科）年天津市高考数学试卷（文科）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共共 8 小小题题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.1 （5 分）已知集合 A=xR|x|2，B=xR|x1，则 AB=（ ）A （，2B1，2 C2，2 D2，12 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=y2x 的最小值为（ ）A7B4C1D23 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为（ ）A7B6C5D44 （5 分）设

2、a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知过点 P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5 相切，且与直线axy+1=0 垂直，则 a=（ ）第 2 页（共 22 页）AB1C2D6 （5 分）函数 f（x）=sin（2x）在区间0，上的最小值是（ ）A1BCD07 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数 a 满足 f（log2a）+f（）2f（1） ，则 a 的取值范围是（ ）AB1，2 CD （0，28 （5 分）设函数 f（x）=ex+x2，g（x

3、）=lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）=0，g（b）=0，则（ ）Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b）Df（b）g（a）0二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.9 （5 分）i 是虚数单位复数（3+i） （12i）= 10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为 11 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为 12 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AD=1，BAD=60，E 为 CD 的中点若

4、，则 AB 的长为 13 （5 分）如图，在圆内接梯形 ABCD 中，ABDC，过点 A 作圆的切线与 CB的延长线交于点 E若 AB=AD=5，BE=4，则弦 BD 的长为 第 3 页（共 22 页）14 （5 分）设 a+b=2，b0，则的最小值为 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤.15 （13 分）某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级若 S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10件产品作为样本，其质量指标列表如表：

5、产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 bsin A=3csin B，a=3

6、，cos B=（1）求 b 的值； （2）求 sin（2B）的值17 （13 分）如图，三棱锥 ABCA1B1C1中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相第 4 页（共 22 页）等，D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点（）证明 EF平面 A1CD；（）证明平面 A1CD平面 A1ABB1；（）求直线 B1C1与平面 A1CD 所成角的正弦值18 （13 分）设椭圆=1（ab0）的左焦点为 F，离心率为，过点F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设 A，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C，D 两点若=8，求 k 的

7、值19 （14 分）已知首项为的等比数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ，且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明20 （14 分）设 a2，0，已知函数（） 证明 f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（） 设曲线 y=f（x）在点 Pi（xi，f（xi） ） （i=1，2，3）处的切线相互平行，且 x1x2x30，证明第 5 页（共 22 页）2013 年天津市高考数学试卷（文科）年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四

8、个选项中，只有一项是符合题目要求的.共共 8 小小题题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.1 （5 分）已知集合 A=xR|x|2，B=xR|x1，则 AB=（ ）A （，2B1，2 C2，2 D2，1【分析】先化简集合 A，解绝对值不等式可求出集合 A，然后根据交集的定义求出 AB 即可【解答】解：A=x|x|2=x|2x2AB=x|2x2x|x1，xR=x|2x1故选：D【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=y2x 的最小值为（ ）A7B4C1D2【分析】先根据条件画出可

9、行域，设 z=y2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最小，只需求出直线 z=y2x，过可行域内的点 B（5，3）时的最小值，从而得到 z 最小值即可【解答】解：设变量 x、y 满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线 y2x=0 经过点 A（5，3）时，y2x 最小，最小值为：7，第 6 页（共 22 页）则目标函数 z=y2x 的最小值为7故选：A【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定3 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为（ ）A7B6C5

10、D4【分析】利用循环结构可知道需要循环 4 次方可得到 S2，因此输出的 n4【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（1）11+（1）22+（1）33+（1）44，第 7 页（共 22 页）因此当 n=4 时，S2，满足判断框的条件，故跳出循环程序故输出的 n 的值为 4故选：D【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键4 （5 分）设 a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（ab）a20，ab 成立，由 ab，则 ab0， “（ab）a20，

11、所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，bR，则“（ab）a20”是 ab 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题5 （5 分）已知过点 P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5 相切，且与直线axy+1=0 垂直，则 a=（ ）AB1C2D【分析】由题意判断点在圆上，求出 P 与圆心连线的斜率就是直线 axy+1=0 的斜率，然后求出 a 的值即可【解答】解：因为点 P（2，2）满足圆（x1）2+y2=5 的方程，所以 P 在圆上，又过点 P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5 相切，且与直线 axy+1=0 垂直，所以切点与圆心连线与直线

12、axy+1=0 平行，第 8 页（共 22 页）所以直线 axy+1=0 的斜率为：a=2故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力6 （5 分）函数 f（x）=sin（2x）在区间0，上的最小值是（ ）A1BCD0【分析】由题意，可先求出 2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值【解答】解：由题意 x，得 2x，1函数在区间的最小值为故选：B【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值7 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数 a 满足

13、 f（log2a）+f（）2f（1） ，则 a 的取值范围是（ ）AB1，2 CD （0，2【分析】由偶函数的性质将 f（log2a）+f（）2f（1）化为：f（log2a）f（1） ，再由 f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出 a 的取值范围【解答】解：因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，第 9 页（共 22 页）所以 f（）=f（log2a）=f（log2a） ，则 f（log2a）+f（）2f（1）为：f（log2a）f（1） ，因为函数 f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|log2a|1，解得a2，则 a 的取值范围是，2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性

14、、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题8 （5 分）设函数 f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）=0，g（b）=0，则（ ）Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b）Df（b）g（a）0【分析】先判断函数 f（x） ，g（x）在 R 上的单调性，再利用 f（a）=0，g（b）=0 判断 a，b 的取值范围即可【解答】解：由于 y=ex及 y=x2 关于 x 是单调递增函数，函数 f（x）=ex+x2 在 R 上单调递增，分别作出 y=ex，y=2x 的图象，f（0）=1+020，f（1）=e10，f（a）=0，0a1同理 g

15、（x）=lnx+x23 在 R+上单调递增，g（1）=ln1+13=20，g（）=，g（b）=0，g（a）=lna+a23g（1）=ln1+13=20，f（b）=eb+b2f（1）=e+12=e10g（a）0f（b） 第 10 页（共 22 页）故选：A【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.9 （5 分）i 是虚数单位复数（3+i） （12i）= 55i 【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：（3+i） （12i）=36i+i2i2=55i故答案为 55i【点评】熟练

16、掌握导数的运算法则是解题的关键10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为 【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为 a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得 a=故答案为：【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的第 11 页（共 22 页）直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力11 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该

17、双曲线的方程为 【分析】利用抛物线的标准方程 y2=8x，可得，故其准线方程为 x=2由题意可得双曲线的一个焦点为（2，0） ，即可得到c=2再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到 a=1，再利用 b2=c2a2可得 b2进而得到双曲线的方程【解答】解：由抛物线 y2=8x，可得，故其准线方程为 x=2由题意可得双曲线的一个焦点为（2，0） ，c=2又双曲线的离心率为 2，=2，得到 a=1，b2=c2a2=3双曲线的方程为故答案为【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键12 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AD=1，BAD=60，E 为 CD 的中点若，则 AB

18、 的长为 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出【解答】解：，=+=1，第 12 页（共 22 页）化为，故答案为【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键13 （5 分）如图，在圆内接梯形 ABCD 中，ABDC，过点 A 作圆的切线与 CB的延长线交于点 E若 AB=AD=5，BE=4，则弦 BD 的长为 【分析】连结圆心 O 与 A，说明 OAAE，利用切割线定理求出 AE，通过余弦定理求出BAE 的余弦值，然后求解 BD 即可【解答】解：如图连结圆心 O 与 A，因为过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E所以 OAA

19、E，因为 AB=AD=5，BE=4，梯形 ABCD 中，ABDC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EBEC，所以 AE=6，在ABE 中，BE2=AE2+AB22ABAEcos，即 16=25+3660cos，所以 cos=，AB=AD=5，所以 BD=2ABcos=故答案为：第 13 页（共 22 页）【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力14 （5 分）设 a+b=2，b0，则的最小值为 【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由 a 的范围求出式子的最小值【解答】解：a+b=2，=，b0，|a|

20、0，1（当且仅当 b2=4a2时取等号） ，1，故当 a0 时，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤.15 （13 分）某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级若 S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（1，1，（2

21、，1，（2，2，（1，1，（1，2，第 14 页（共 22 页）（x，y，z）2）1）2）1）1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率【分析】 （）用综合指标 S=x+y+z 计算出 10 件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（） （i）直接用列举法列出在该样

22、品的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4 的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（）计算 10 件产品的综合指标 S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中 S4 的有 A1，A2，A4，A5，A7，A9共 6 件，故样本的一等品率为从而可估计该批产品的一等品率为 0.6；（） （i）在该样本的一等品种，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4

23、，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9共 15 种（ii）在该样本的一等品种，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为第 15 页（共 22 页）A1，A2，A5，A7则事件 B 发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共 6 种所以 p（B）=【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题16 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 bsin A=3csin B，a=3，cos B=（1）求 b 的值； （2）求

24、sin（2B）的值【分析】 （） 直接利用正弦定理推出 bsinA=asinB，结合已知条件求出 c，利用余弦定理直接求 b 的值；（） 利用（）求出 B 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值【解答】解：（）在ABC 中，有正弦定理，可得 bsinA=asinB，又 bsinA=3csinB，可得 a=3c，又 a=3，所以 c=1由余弦定理可知：b2=a2+c22accosB，即 b2=32+1223cosB，可得 b=（）由，可得 sinB=，所以 cos2B=2cos2B1=，sin2B=2sinBcosB=，所以=第 16 页（共 22

25、 页）【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力17 （13 分）如图，三棱锥 ABCA1B1C1中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等，D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点（）证明 EF平面 A1CD；（）证明平面 A1CD平面 A1ABB1；（）求直线 B1C1与平面 A1CD 所成角的正弦值【分析】 （I）连接 ED，要证明 EF平面平面 A1CD，只需证明 EFDA1即可；（II）欲证平面平面 A1CD平面 A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定

26、理证得 CD面 A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过 B 作 BGAD 交 A1D 于 G，利用（II）中结论得出 BG面 A1CD，从而BCG 为所求的角，最后在直角BGC 中，求出 sinBCG 即可得出直线 BC与平面 A1CD 所成角的正弦值【解答】证明：（I）三棱柱 ABCA1B1C1中，ACA1C1，AC=A1C1，连接 ED，可得 DEAC，DE=AC，又 F 为棱 A1C1的中点A1F=DE，A1FDE，所以 A1DEF 是平行四边形，所以 EFDA1，DA1平面 A1CD，EF平面 A1CD，EF平面 A1CD（II）D 是 AB 的中点，CDAB，又

27、AA1平面 ABC，CD平面 ABC，AA1CD，又 AA1AB=A，CD面 A1ABB1，又 CD面 A1CD，第 17 页（共 22 页）平面 A1CD平面 A1ABB1；（III）过 B 作 BGA1D 交 A1D 于 G，平面 A1CD平面 A1ABB1，且平面 A1CD平面 A1ABB1=A1D，BGA1D，BG面 A1CD，则BCG 为所求的角，设棱长为 a，可得 A1D=，由A1ADBGD，得 BG=，在直角BGC 中，sinBCG=，直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象

28、能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题18 （13 分）设椭圆=1（ab0）的左焦点为 F，离心率为，过点F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设 A，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C，D 两点若=8，求 k 的值【分析】 （）先根据椭圆方程的一般形式，令 x=c 代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出 a，b，c 的关系，进而得到椭圆的方程第 18 页（共 22 页）（）直线 CD：y=k（x+1） ，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，由消去 y得， （2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，再由韦达定理进

29、行求解求得，利用=8，即可求得 k 的值【解答】解：（）根据椭圆方程为过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为，当 x=c 时，得 y=，=，离心率为，=，解得 b=，c=1，a=椭圆的方程为；（）直线 CD：y=k（x+1） ，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，由消去 y 得， （2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又 A（，0） ，B（，0） ，=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1） ，=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得 k=【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查

30、方程思第 19 页（共 22 页）想在椭圆中一定要熟练掌握 a，b，c 之间的关系、离心率、准线方程等基本性质19 （14 分）已知首项为的等比数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ，且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明【分析】 （）由题意得 2S3=2S2+4S4，变形为 S4S3=S2S4，进而求出公比 q 的值，代入通项公式进行化简；（）根据（）求出，代入再对 n 分类进行化简，判断出 Sn随 n 的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值【解答】 （）解：设等比数列an的公比为 q，2S2，S3，4S4等差数列，2S3=2S2+4S4，即 S4S

31、3=S2S4，得 2a4=a3，q=，=；（）证明：由（）得，Sn=1，当 n 为奇数时，=，第 20 页（共 22 页）当 n 为偶数时，=，随着 n 的增大而减小，即，且，综上，有成立【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前 n 项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力20 （14 分）设 a2，0，已知函数（） 证明 f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（） 设曲线 y=f（x）在点 Pi（xi，f（xi） ） （i=1，2，3）处的切线相互平行，且 x1x2x30，证明【分析】 （）令，分别求导即

32、可得到其单调性；（）由（）可知：f（x）在区间（，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增已知曲线 y=f（x）在点 Pi（xi，f（xi） ） （i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得不妨 x10x2x3，根据以上等式可得，从而设 g（x）=3x2（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得第 21 页（共 22 页）由，解得，于是可得，通过换元设 t=，已知 a2，0，可得，故，即可证明【解答】解：（）令，由于 a2，0，从而当1x0 时，所以函数 f1（x）在区间（1，0）内单调递减，=（3xa） （x1） ，由于 a2，0，所以

33、0x1 时，；当 x1 时，即函数 f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+）上单调递增综合及 f1（0）=f2（0） ，可知：f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（）证明：由（）可知：f（x）在区间（，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增因为曲线 y=f（x）在点 Pi（xi，f（xi） ） （i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且不妨 x10x2x3，由+a=可得，解得，从而设 g（x）=3x2（a+3）x+a，则第 22 页（共 22 页）由，解得，所以，设 t=，则，a2，0，故，故【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力