2015年天津市高考数学试卷(文科)(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5.00分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，5，集合B=1，3，4，6，则集合AUB=（）A3B2，5C1，4，6D2，3，52（5.00分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A7B8C9D143（5.00分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A2B3C4D54（5.00分）设xR，则“1x2”是“|x2|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5.00分）

2、已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A=1B=1Cy2=1Dx2=16（5.00分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）AB3CD7（5.00分）已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba8（5.00分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的

3、零点个数为（）A2B3C4D5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5.00分）i是虚数单位，计算的结果为 10（5.00分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m311（5.00分）已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为 12（5.00分）已知a0，b0，ab=8，则当a的值为 时，log2alog2（2b）取得最大值13（5.00分）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则的值为 14（5.00分）已知函数

4、f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13.00分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中

5、至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率16（13.00分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值17（13.00分）如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点（）求证：EF平面A1B1BA；（）求证：平面AEA1平面BCB1；（）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小18（13.00分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项

6、公式；（）设cn=anbn，nN*，求数列cn的前n项和19（14.00分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为（）求直线BF的斜率（）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=|MQ|（i）求的值（ii）若|PM|sinBQP=，求椭圆的方程20（14.00分）已知函数f（x）=4xx4，xR（）求f（x）的单调区间；（）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）g（x）；（）若方程f（x）=a（a为实数）有两个

7、实数根x1，x2，且x1x2，求证：x2x1+42015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5.00分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，5，集合B=1，3，4，6，则集合AUB=（）A3B2，5C1，4，6D2，3，5【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，集合B=1，3，4，6，UB=2，5，又集合A=2，3，5，则集合AUB=2，5故选：B【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查2（5.00分）若实数x，y满足条件，则z=

8、3x+y的最大值为（）A7B8C9D14【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z经过点A时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=32+3=9即目标函数z=3x+y的最大值为9故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3（5.00分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A2B3C4D5

9、【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S1，退出循环，输出i的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S1，i=2，S=7不满足条件S1，i=3，S=4不满足条件S1，i=4，S=0满足条件S1，退出循环，输出i的值为4故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题4（5.00分）设xR，则“1x2”是“|x2|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求解：|x2|1，得出“1x2”，根据充分必要条件的定义判断

10、即可【解答】解：|x2|1，1x3，“1x2”根据充分必要条件的定义可得出：“1x2”是“|x2|1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题5（5.00分）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A=1B=1Cy2=1Dx2=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为bxay=0，双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，

11、b=a，焦点为F（2，0），a2+b2=4，a=1，b=，双曲线的方程为x2=1故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键6（5.00分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）AB3CD【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可【解答】解：由相交弦定理可得CMMD=AMMB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又CNNE=ANNB，3NE=42，NE=故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基

12、础7（5.00分）已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；

13、|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8（5.00分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）A2B3C4D5【分析】求出函数y=f（x）g（x）的表达

14、式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=3f（2x），y=f（x）g（x）=f（x）3+f（2x），由f（x）3+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=3，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x0，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个

15、交点，故函数y=f（x）g（x）的零点个数为2个，故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5.00分）i是虚数单位，计算的结果为i【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：i是虚数单位，=i故答案为：i【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查10（5.00分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相

16、同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；该几何体的体积为V几何体=2121+122=故答案为：【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11（5.00分）已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为3【分析】由题意求出f（x），利用f（1）=3，求a【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f（x）=alnx+ax=alnx+a，又f（1）=3，所以a=3；故答案为：3【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键12（5.00分）已知a0，

17、b0，ab=8，则当a的值为4时，log2alog2（2b）取得最大值【分析】由条件可得a1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a1再利用基本不等式可得log2alog2（2b）=4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：4【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题13（5.00分）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC

18、=60，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则的值为【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可【解答】解：AB=2，BC=1，ABC=60，BG=，CD=21=1，BCD=120，=，=，=（+）（+）=（+）（+）=+=21cos60+21cos0+11cos60+11cos120=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键14（5.00分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可

19、得f（x）=sin（x+），由2kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：，kZ，从而解得k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，结合已知可得：2=，从而可求的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），函数f（x）在区间（，）内单调递增，02kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间为：，kZ，可得：，kZ，解得：02且022k，kZ，解得：，kZ，可解得：k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，由函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，可得：2=，可解得：=故答案为：【点评】本题主要考查了由

20、y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13.00分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求

21、事件A发生的概率【分析】（）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得【解答】解：（）由题意可得抽取比例为=，27=3，9=1，18=2，应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种；（i

22、i）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，事件A发生的概率P=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题16（13.00分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值【分析】（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（）利用两角和的余弦函数化简cos（

23、2A+），然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，解得sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力17（13.00分）如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点（）求证：EF平面A1B1BA；（）求证：平面AEA1平面BCB1；（）求直线A1B1与平面B

24、CB1所成角的大小【分析】（）连接A1B，易证EFA1B，由线面平行的判定定理可得；（）易证AEBC，BB1AE，可证AE平面BCB1，进而可得面面垂直；（）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得【解答】（）证明：连接A1B，在A1BC中，E和F分别是BC和A1C的中点，EFA1B，又A1B平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，EF平面A1B1BA；（）证明：AB=AC，E为BC中点，AEBC，AA1平面ABC，BB1AA1，BB1平面ABC，BB1AE，又BCBB1=B，AE平面BCB1，又AE平面AEA1，

25、平面AEA1平面BCB1；（）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，N和E分别为B1C和BC的中点，NE平行且等于B1B，NE平行且等于A1A，四边形A1AEN是平行四边形，A1N平行且等于AE，又AE平面BCB1，A1N平面BCB1，A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在ABC中，可得AE=2，A1N=AE=2，BMAA1，BM=AA1，A1MAB且A1M=AB，又由ABBB1，A1MBB1，在RTA1MB1中，A1B1=4，在RTA1NB1中，sinA1B1N=，A1B1N=30，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30【点评】本题考查线面垂直与平行关系

26、的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题18（13.00分）已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项公式；（）设cn=anbn，nN*，求数列cn的前n项和【分析】（）设出数列an的公比和数列bn的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列cn的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意，q0，由已知有，消去d整理得：q42q28=0q0，解得q=2，d=2，数列an的通项公式为，nN

27、*；数列bn的通项公式为bn=2n1，nN*（）由（）有，设cn的前n项和为Sn，则，两式作差得：=2n+13（2n1）2n=（2n3）2n3【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题19（14.00分）已知椭圆+=1（ab0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为（）求直线BF的斜率（）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=|MQ|（i）求的值（ii）若|PM|sinBQP=，求椭圆的方程【分析】（）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结

28、论；（）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=，利用BQBP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sinBQP=，可得|BP|=，通过yP=2xP+2c=c计算可得c=1，进而可得结论【解答】解：（）设左焦点F（c，0），离心率e=，a2=b2+c2，a=c，b=2c，又B（0，b），直线BF的斜率k=2；（）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）（i）由（I）知a=c，b=2c，kBF=2，椭圆方程为+=1，直线BF方程

29、为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=，BQBP，直线BQ的方程为：y=x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x240cx=0，解得xQ=，又=，及xM=0，=；（ii）=，=，即|PQ|=|PM|，又|PM|sinBQP=，|BP|=|PQ|sinBQP=|PM|sinBQP=，又yP=2xP+2c=c，|BP|=c，因此=c，即c=1，椭圆的方程为：+=1【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于

30、中档题20（14.00分）已知函数f（x）=4xx4，xR（）求f（x）的单调区间；（）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）g（x）；（）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1x2，求证：x2x1+4【分析】（）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f（x0）（xx0），构造辅助函数F（x）=f（x）g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）F（x0）=0，即对任意实数x

31、，都有f（x）g（x）；（）由（）知，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（，+）上单调递减，得到x2x2同理得到x1x1，则可证得【解答】（）解：由f（x）=4xx4，可得f（x）=44x3当f（x）0，即x1时，函数f（x）单调递增；当f（x）0，即x1时，函数f（x）单调递减f（x）的单调递增区间为（，1），单调递减区间为（1，+）（）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f（x0）=12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f（x0）（xx0），即g（x）=f（x0）（xx0），令函数F（x）=f（x）g（x），即F（x）=f（x）f（x0）（xx0），则F（x）=f（x）f（x

32、0）F（x0）=0，当x（，x0）时，F（x）0；当x（x0，+）时，F（x）0，F（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，对于任意实数x，F（x）F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）g（x）；（）证明：由（）知，设方程g（x）=a的根为x2，可得g（x）在（，+）上单调递减，又由（）知g（x2）f（x2）=a=g（x2），因此x2x2类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x（，+），有f（x）h（x）=x40，即f（x）h（x）设方程h（x）=a的根为x1，可得，h（x）=4x在（，+）上单调递增，且h（x1）=a=f（x1）h（x1），因此x1x1，由此可得【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题专心-专注-专业