2014年天津市高考数学试卷（理科）.doc

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1、第 1 页（共 28 页）2014 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）i 是虚数单位，复数=（ ）A1iB1+i C+i D+i2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2B3C4D53 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（ ）A15B105 C245 D9454 （5 分）函数 f（x）=log（x24）的单调递增区间为（ ）A （0，+）B （，0）C （2，+）D （，2）5 （5 分）已知双曲线=1（a0，

2、b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ）第 2 页（共 28 页）A=1B=1C=1 D=16 （5 分）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（ ）ABC D7 （5 分）设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8 （5 分）已知菱形 ABC

3、D 的边长为 2，BAD=120，点 E、F 分别在边 BC、DC上，=，=，若=1，=，则 +=（ ）ABCD二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）第 3 页（共 28 页）9 （5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m311 （5 分）设an是首项为

4、a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和，若S1，S2，S4成等比数列，则 a1的值为 12 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则 cosA 的值为 13 （5 分）在以 O 为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于A、B 两点，若AOB 是等边三角形，则 a 的值为 14 （5 分）已知函数 f（x）=|x2+3x|，xR，若方程 f（x）a|x1|=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15 （13 分）

5、已知函数 f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xR（）求 f（x）的最小正周期；第 4 页（共 28 页）（）求 f（x）在闭区间，上的最大值和最小值16 （13 分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 （13 分）如图，在四棱锥 PABC

6、D 中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点（）证明：BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值18 （13 分）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率19 （14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合

7、M=0，1，2，q1，集合 A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当 q=2，n=3 时，用列举法表示集合 A；第 5 页（共 28 页）（）设 s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若 anbn，则 st20 （14 分）设 f（x）=xaex（aR） ，xR，已知函数 y=f（x）有两个零点x1，x2，且 x1x2（）求 a 的取值范围；（）证明：随着 a 的减小而增大；（）证明 x1+x2随着 a 的减小而增大第 6 页（共 28 页）2014 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷

8、（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）i 是虚数单位，复数=（ ）A1iB1+i C+i D+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数 34i，即求出值【解答】解：复数=，故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2B3C4D5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y=，平移直线

9、y=，由图象可知当直线 y=经过点 B（1，1）时，直线 y=的截距最小，此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3，故选：B第 7 页（共 28 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（ ）A15B105 C245 D945【分析】算法的功能是求 S=135（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的 i 值，计算输出 S 的值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求 S=135（2i+1）的值，跳出循环的 i 值为 4，输出 S=1357=105故选：B【点评】本题考查了直到型

10、循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的第 8 页（共 28 页）功能是解答本题的关键4 （5 分）函数 f（x）=log（x24）的单调递增区间为（ ）A （0，+）B （，0）C （2，+）D （，2）【分析】令 t=x240，求得函数 f（x）的定义域为（，2）（2，+） ，且函数 f（x）=g（t）=logt根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在（，2）（2，+） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数 t 在（，2）（2，+） 上的减区间【解答】解：令 t=x240，可得 x2，或 x2，故函数 f（x）的定义域为（，2）（2，+） ，当 x（，2）时，t 随 x 的增大而

11、减小，y=logt 随 t 的减小而增大，所以 y=log（x24）随 x 的增大而增大，即 f（x）在（，2）上单调递增故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题5 （5 分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ）A=1B=1C=1 D=1第 9 页（共 28 页）【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，可得=2，结合 c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个焦点在

12、直线 l 上，令 y=0，可得 x=5，即焦点坐标为（5，0） ，c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题6 （5 分）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（ ）第 10 页（共 28 页）ABC D【分析】

13、本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】解：圆周角DBC 对应劣弧 CD，圆周角DAC 对应劣弧 CD，DBC=DAC弦切角FBD 对应劣弧 BD，圆周角BAD 对应劣弧 BD，FBD=BAFAD 是BAC 的平分线，BAF=DACDBC=FBD即 BD 平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，FB2=FDFA即结论成立由，得 AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故选：D【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题7 （5 分）设 a，bR，

14、则“ab”是“a|a|b|b|”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件第 11 页（共 28 页）C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若 ab，ab0，不等式 a|a|b|b|等价为 aabb，此时成立0ab，不等式 a|a|b|b|等价为aabb，即 a2b2，此时成立a0b，不等式 a|a|b|b|等价为 aabb，即 a2b2，此时成立，即充分性成立若 a|a|b|b|，当 a0，b0 时，a|a|b|b|去掉绝对值得， （ab） （a+b）0，因为a+b0，所以 ab0，即 ab当 a0，b0 时，ab

15、当 a0，b0 时，a|a|b|b|去掉绝对值得， （ab） （a+b）0，因为a+b0，所以 ab0，即 ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键8 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=120，点 E、F 分别在边 BC、DC上，=，=，若=1，=，则 +=（ ）ABCD【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由=1，求得 4+42=3 ；再由=，求得+=结合求得 + 的值【解答】解：由题意可得若=（+）（+）=+第 1

16、2 页（共 28 页）+ =22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1） （1）22cos120=（1+） （2）=，即+=由求得 +=，故选：C【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9 （5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级

17、的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，第 13 页（共 28 页）故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300=60，故答案为：60【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m3【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积

18、公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为 4，底面直径为 2，圆锥的高为 2，底面直径为 4，几何体的体积 V=124+222=4+=故答案为：【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键11 （5 分）设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和，若第 14 页（共 28 页）S1，S2，S4成等比数列，则 a1的值为 【分析】由条件求得，Sn=，再根据 S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1S4，由此求得 a1的值【解答】解：由题意可得，an=a1+（n1） （1）=a1+1n，

19、Sn=，再根据若 S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1S4，即 =a1（4a16） ，解得 a1=，故答案为：【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题12 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则 cosA 的值为 【分析】由条件利用正弦定理求得 a=2c，b=，再由余弦定理求得 cosA=的值【解答】解：在ABC 中，bc=a ，2sinB=3sinC，2b=3c ，由可得 a=2c，b=再由余弦定理可得 cosA=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中

20、档题第 15 页（共 28 页）13 （5 分）在以 O 为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于A、B 两点，若AOB 是等边三角形，则 a 的值为 3 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出 B 的坐标的值，代入x2+（y2）2=4，可得 a 的值【解答】解：直线 sin=a 即 y=a， （a0） ，曲线 =4sin，即 2=4sin，即 x2+（y2）2=4，表示以 C（0，2）为圆心，以 2 为半径的圆，AOB 是等边三角形，B（a，a） ，代入 x2+（y2）2=4，可得（a）2+（a2）2=4，a0，a=3故答案为：3【点评】本题考查把极坐标方程化为直角

21、坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出 B 的坐标是解题的关键，属于基础题14 （5 分）已知函数 f（x）=|x2+3x|，xR，若方程 f（x）a|x1|=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 （0，1）（9，+） 【分析】由 y=f（x）a|x1|=0 得 f（x）=a|x1|，作出函数 y=f（x） ，y=a|x1|的图象利用数形结合即可得到结论【解答】解：由 y=f（x）a|x1|=0 得 f（x）=a|x1|，作出函数 y=f（x） ，y=g（x）=a|x1|的图象，当 a0，两个函数的图象不可能有 4 个交点，不满足条件，第 16 页（共 28 页）则 a0，

22、此时 g（x）=a|x1|=，当3x0 时，f（x）=x23x，g（x）=a（x1） ，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时x23x=a（x1） ，即 x2+（3a）x+a=0，则由=（3a）24a=0，即 a210a+9=0，解得 a=1 或 a=9，当 a=9 时，g（x）=9（x1） ，g（0）=9，此时不成立，此时 a=1，要使两个函数有四个零点，则此时 0a1，若 a1，此时 g（x）=a（x1）与 f（x） ，有两个交点，此时只需要当 x1 时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即 x2+3x=a（x1） ，整理得 x2+（3a）x+a=0，则由=（3a）24a0，即 a2

23、10a+90，解得 a1（舍去）或 a9，综上 a 的取值范围是（0，1）（9，+） ，方法 2：由 f（x）a|x1|=0 得 f（x）=a|x1|，若 x=1，则 4=0 不成立，故 x1，则方程等价为 a=|=|x1+5|，设 g（x）=x1+5，当 x1 时，g（x）=x1+5，当且仅当 x1=，即 x=3 时取等号，当 x1 时，g（x）=x1+5=54=1，当且仅当（x1）=，即 x=1 时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程 f（x）a|x1|=0 恰有 4 个互异的实数根，第 17 页（共 28 页）则满足 a9 或 0a1，故答案为：（0，1）（9，+）【点评】本题主要考

24、查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大第 18 页（共 28 页）三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15 （13 分）已知函数 f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xR（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在闭区间，上的最大值和最小值【分析】 （）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（）由（）化简的函数解析式和条件中 x 的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值【解答】解：（）由题意得，f（x）=cosx（sinxc

25、osx）= =所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得 f（x）=，由 x，得，2x，则，当=时，即=1 时，函数 f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题16 （13 分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中，第 19 页（共 28 页）3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行

26、支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 （）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 3 名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（）随机变量 X 的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量 X 的分布列求出期望值【解答】 （）解：设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A，则，所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为（）解：随机变量 X 的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，

27、3）所以随机变量 X 的分布列是X0123P随机变量 X 的数学期望【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点第 20 页（共 28 页）（）证明：BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值【分析】 （I）以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出 BE，DC的方向向量，根据=

28、0，可得 BEDC；（II）求出平面 PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线 BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（）根据 BFAC，求出向量的坐标，进而求出平面 FAB 和平面 ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角 FABP 的余弦值【解答】证明：（I）PA底面 ABCD，ADAB，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点B（1，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ，E（1，1，1）=（0，1，1） ，=（2，0，0）=0，第 21 页（共 28 页）BEDC；（）=（1

29、，2，0） ，=（1，0，2） ，设平面 PBD 的法向量 =（x，y，z） ，由，得，令 y=1，则 =（2，1，1） ，则直线 BE 与平面 PBD 所成角 满足：sin=，故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为（）=（1，2，0） ，=（2，2，2） ，=（2，2，0） ，由 F 点在棱 PC 上，设=（2，2，2） （01） ，故=+=（12，22，2） （01） ，由 BFAC，得=2（12）+2（22）=0，解得 =，即=（，） ，设平面 FBA 的法向量为 =（a，b，c） ，由，得令 c=1，则 =（0，3，1） ，取平面 ABP 的法向量 =（0，1，0） ，则二面角

30、 FABP 的平面角 满足：cos=，故二面角 FABP 的余弦值为：第 22 页（共 28 页）【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键18 （13 分）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率【分析】 （）设椭圆的右焦点为 F2（c，0） ，由|AB|=|F1F2|可得，再利用 b2=a2c2，e=即可得出（

31、）由（）可得 b2=c2可设椭圆方程为，设 P（x0，y0） ，由F1（c，0） ，B（0，c） ，可得，利用圆的性质可得，于是=0，得到 x0+y0+c=0，由于点 P 在椭圆上，可得联立可得=0，解得 P设圆心为 T（x1，y1） ，利用中点坐标公式可得 T，利用两点间的距离公式可得圆的半径 r设直线 l 的方程为：y=kx利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：（）设椭圆的右焦点为 F2（c，0） ，由|AB|=|F1F2|，可得，化为 a2+b2=3c2又 b2=a2c2，a2=2c2e=（）由（）可得 b2=c2因此椭圆方程为设 P（x0，y0） ，由 F1（c，0） ，B（0，c

32、） ，可得=（x0+c，y0） ，第 23 页（共 28 页）=（c，c） ，=c（x0+c）+cy0=0，x0+y0+c=0，点 P 在椭圆上，联立，化为=0，x00，代入 x0+y0+c=0，可得P设圆心为 T（x1，y1） ，则=，=T，圆的半径 r=设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：y=kx直线 l 与圆相切，整理得 k28k+1=0，解得直线 l 的斜率为第 24 页（共 28 页）【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题19 （14

33、 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M=0，1，2，q1，集合 A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当 q=2，n=3 时，用列举法表示集合 A；（）设 s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若 anbn，则 st【分析】 （）当 q=2，n=3 时，M=0，1，A=x|x=x1+x22+x322，xiM，i=1，2，3即可得到集合 A（）由于 ai，biM，i=1，2，nanbn，可得 anbn1由题意可得 st=（a1b1）+（a2b2）q+（an1bn1）qn2+（a

34、nbn）qn1（q1）+（q1）q+（q1）qn2qn1再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】 （）解：当 q=2，n=3 时，M=0，1，A=x|x=x1+x22+x322，xiM，i=1，2，3可得 A=0，1，2，3，4，5，6，7（）证明：由设 s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，nanbn，st=（a1b1）+（a2b2）q+（an1bn1）第 25 页（共 28 页）qn2+（anbn）qn1（q1）+（q1）q+（q1）qn2qn1=（q1） （1+q+qn2）qn1=qn1=10st【点评】本题考查了考查

35、了集合的运算及其性质、等比数列的前 n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题20 （14 分）设 f（x）=xaex（aR） ，xR，已知函数 y=f（x）有两个零点x1，x2，且 x1x2（）求 a 的取值范围；（）证明：随着 a 的减小而增大；（）证明 x1+x2随着 a 的减小而增大【分析】 （）对 f（x）求导，讨论 f（x）的正负以及对应 f（x）的单调性，得出函数 y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出 a 的取值范围；（）由 f（x）=0，得 a=，设 g（x）=，判定 g（x）的单调性即得证；（）由于 x1=a，x2=a，则

36、 x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令 h（x）=，x（1，+） ，得到 h（x）在（1，+）上是增函数，故得到 x1+x2随着 t 的减小而增大再由（）知，t随着 a 的减小而增大，即得证【解答】解：（）f（x）=xaex，f（x）=1aex；第 26 页（共 28 页）下面分两种情况讨论：a0 时，f（x）0 在 R 上恒成立，f（x）在 R 上是增函数，不合题意；a0 时，由 f（x）=0，得 x=lna，当 x 变化时，f（x） 、f（x）的变化情况如下表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）+0f（x）递增极大值lna1递减f（x）的单调增区间是（

37、，lna） ，减区间是（lna，+） ；函数 y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：f（lna）0；存在 s1（，lna） ，满足 f（s1）0；存在 s2（lna，+） ，满足 f（s2）0；由 f（lna）0，即lna10，解得 0ae1；取 s1=0，满足 s1（，lna） ，且 f（s1）=a0，取 s2=+ln，满足 s2（lna，+） ，且 f（s2）=（）+（ln）0；a 的取值范围是（0，e1） （）证明：由 f（x）=xaex=0，得 a=，第 27 页（共 28 页）设 g（x）=，由 g（x）=，得 g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，并且当 x

38、（，0）时，g（x）0，当 x（0，+）时，g（x）0，x1、x2满足 a=g（x1） ，a=g（x2） ，a（0，e1）及 g（x）的单调性，可得x1（0，1） ，x2（1，+） ；对于任意的 a1、a2（0，e1） ，设 a1a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0X11X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中 0Y11Y2；g（x）在（0，1）上是增函数，由 a1a2，得 g（Xi）g（Yi） ，可得X1Y1；类似可得 X2Y2；又由 X、Y0，得；随着 a 的减小而增大；（）证明：x1=a，x2=a，lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；x2x1=lnx2lnx1=ln，设=t，则 t1，解得 x1=，x2=，x1+x2=；令 h（x）=，x（1，+） ，则 h（x）=；令 u（x）=2lnx+x，得 u（x）=，当 x（1，+）时，u（x）0，u（x）在（1，+）上是增函数，对任意的 x（1，+） ，u（x）u（1）=0，h（x）0，h（x）在（1，+）上是增函数；由得 x1+x2随着 t 的增大而增大第 28 页（共 28 页）由（）知，t 随着 a 的减小而增大，x1+x2随着 a 的减小而增大【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目