2014年福建省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 21 页）2014 年福建省高考数学试卷（文科）年福建省高考数学试卷（文科）一选择题一选择题:本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分1 （5 分）若集合 P=x|2x4，Q=x|x3，则 PQ 等于（ ）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x32 （5 分）复数（3+2i）i 等于（ ）A23i B2+3iC23i D2+3i3 （5 分）以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A2BC2D14 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 n 的值为（ ）A1B2

2、C3D45 （5 分）命题“x0，+） ，x3+x0”的否定是（ ）Ax（，0） ，x3+x0 Bx（，0） ，x3+x0Cx00，+） ，x03+x00Dx00，+） ，x03+x006 （5 分）已知直线 l 过圆 x2+（y3）2=4 的圆心，且与直线 x+y+1=0 垂直，则 l的方程是（ ）Ax+y2=0 Bxy+2=0 Cx+y3=0 Dxy+3=07 （5 分）将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数 y=f（x）的函数第 2 页（共 21 页）图象，则下列说法正确的是（ ）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为 Cy=f（x）的图象关于直线 x=对称Dy=f（

3、x）的图象关于点（，0）对称8 （5 分）若函数 y=logax（a0，且 a1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）ABCD9 （5 分）要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）A80 元B120 元C160 元D240 元10 （5 分）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于（ ）AB2C3D411 （5 分）已知圆 C：（xa）2+（yb）2=1，设平面区域 =，若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2

4、+b2的最大值为（ ）A49B37C29D5第 3 页（共 21 页）12 （5 分）在平面直角坐标系中，两点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）ABCD二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分13 （4 分）如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 14 （4 分）在ABC 中，A=60，AC

5、=2，BC=，则 AB 等于 15 （4 分）函数 f（x）=的零点个数是 16 （4 分）已知集合a，b，c=0，1，2，且下列三个关系：a2；b=2；c0 有且只有一个正确，则 100a+10b+c 等于 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分.17 （12 分）在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求 an；（）设 bn=log3an，求数列bn的前 n 项和 Sn18 （12 分）已知函数 f（x）=2cosx（sinx+cosx） 第 4 页（共 21 页）（）求 f（）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间19 （12 分）如图，三

6、棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CDBD（）求证：CD平面 ABD；（）若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥 AMBC 的体积20 （12 分）根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为 10354085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 408512616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家某城市有 5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均 GDP（单位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3

7、000E20%10000（）判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率21 （12 分）已知曲线 上的点到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=3 的距离小2（）求曲线 的方程；第 5 页（共 21 页）（）曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N，以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B，试探究：当点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度是否发生变化？证

8、明你的结论22 （14 分）已知函数 f（x）=exax（a 为常数）的图象与 y 轴交于点 A，曲线y=f（x）在点 A 处的切线斜率为1（1）求 a 的值及函数 f（x）的极值；（2）证明：当 x0 时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x（x0，+）时，恒有xcex第 6 页（共 21 页）2014 年福建省高考数学试卷（文科）年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题一选择题:本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分1 （5 分）若集合 P=x|2x4，Q=x|x3，则 PQ 等于（ ）

9、Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x3【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：P=x|2x4，Q=x|x3，PQ=x|3x4故选：A【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键2 （5 分）复数（3+2i）i 等于（ ）A23i B2+3iC23i D2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=2+3i故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题3 （5 分）以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A2BC2D1【分析

10、】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：121=2，故选：A第 7 页（共 21 页）【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力4 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 n 的值为（ ）A1B2C3D4【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件 2nn2，跳出循环，确定输出的 n 值【解答】解：由程序框图知：第一次循环 n=1，211；第二次循环 n=2，22=4不满足条件 2nn2，跳出循环，输

11、出 n=2故选：B【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法5 （5 分）命题“x0，+） ，x3+x0”的否定是（ ）Ax（，0） ，x3+x0 Bx（，0） ，x3+x0Cx00，+） ，x03+x00Dx00，+） ，x03+x00【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项【解答】解：命题“x0，+） ，x3+x0”是一个全称命题其否定命题为：x00，+） ，x03+x00故选：C第 8 页（共 21 页）【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键6 （5 分）已知直线 l 过圆 x

12、2+（y3）2=4 的圆心，且与直线 x+y+1=0 垂直，则 l的方程是（ ）Ax+y2=0 Bxy+2=0 Cx+y3=0 Dxy+3=0【分析】由题意可得所求直线 l 经过点（0，3） ，斜率为 1，再利用点斜式求直线 l 的方程【解答】解：由题意可得所求直线 l 经过点（0，3） ，斜率为 1，故 l 的方程是 y3=x0，即 xy+3=0，故选：D【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题7 （5 分）将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数 y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为 Cy=

13、f（x）的图象关于直线 x=对称Dy=f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】利用函数图象的平移法则得到函数 y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项 A，B，再由cos=cos（）=0 即可得到正确选项【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位，得 y=sin（x+）=cosx即 f（x）=cosxf（x）是周期为 2 的偶函数，选项 A，B 错误；第 9 页（共 21 页）cos=cos（）=0，y=f（x）的图象关于点（，0） 、 （，0）成中心对称故选：D【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题8 （5 分）若函数 y=loga

14、x（a0，且 a1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）ABCD【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出 a 的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1） ，故有y=loga3=1，解得 a=3，对于 A，由于 y=ax是一个减函数故图象与函数不对应，A 错；对于 B，由于幂函数 y=xa是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故 B 正确；对于 C，由于 a=3，所以 y=（x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C 错；对于 D，由于 y=loga（x）与 y=logax

15、的图象关于 y 轴对称，所给的图象不满足这一特征，故 D 错第 10 页（共 21 页）故选：B【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键9 （5 分）要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）A80 元B120 元C160 元D240 元【分析】设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求【解答】解：设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，则长方形容器的容器为 4m3，高为 1m，

16、底面面积 S=ab=4，y=20S+102（a+b）=20（a+b）+80，a+b2=4，当 a=b=2 时，y 取最小值 160，即该容器的最低总造价是 160 元，故选：C【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键10 （5 分）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于（ ）AB2C3D4【分析】虑用特殊值法去做，因为 O 为任意一点，不妨把 O 看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个【解答】解：O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点，则=，M 是平

17、行四边形 ABCD 的对角线的交点，=2=4故选：D第 11 页（共 21 页）【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答11 （5 分）已知圆 C：（xa）2+（yb）2=1，设平面区域 =，若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2+b2的最大值为（ ）A49B37C29D5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆 C 与 x 轴相切，得到 b=1 为定值，此时利用数形结合确定 a 的取值即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b） ，半径为 1圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，b=1，则 a2+b2=a2+1，要使 a2+b2的取得最

18、大值，则只需 a 最大即可，由图象可知当圆心 C 位于 B 点时，a 取值最大，由，解得，即 B（6，1） ，当 a=6，b=1 时，a2+b2=36+1=37，即最大值为 37，故选：B第 12 页（共 21 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法12 （5 分）在平面直角坐标系中，两点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）间的“L距离”定义为|P1P2|=|x1x2|+|y1y2|则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（ ）ABCD【分析】设出 F1，F2的坐标，在设出动点 M

19、 的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案【解答】解：设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，再设动点 M（x，y） ，动点到定点 F1，F2的“L距离”之和等于 m（m2c0） ，由题意可得：|x+c|+|y|+|xc|+|y|=m，即|x+c|+|xc|+2|y|=m第 13 页（共 21 页）当 xc，y0 时，方程化为 2x2y+m=0；当 xc，y0 时，方程化为 2x+2y+m=0；当cxc，y0 时，方程化为 y=；当cxc，y0 时，方程化为 y=c；当 xc，y0 时，方程化为 2x+2ym=0；当 xc，y0 时，方程化为 2x2ym=0结合题目中给出的四

20、个选项可知，选项 A 中的图象符合要求故选：A【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分13 （4 分）如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 0.18 【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论【解答】解：正方形的面积 S=1，设阴影部分的面积为 S，随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，几何槪型的概率公式进行估计得，即 S=0.18，故答案为：0.18【点评

21、】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础14 （4 分）在ABC 中，A=60，AC=2，BC=，则 AB 等于 1 第 14 页（共 21 页）【分析】利用余弦定理列出关系式，将 AC，BC，以及 cosA 的值代入即可求出AB 的长【解答】解：在ABC 中，A=60，AC=b=2，BC=a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 3=4+c22c，解得：c=1，则 AB=c=1，故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键15 （4 分）函数 f（x）=的零点个数是 2 【分析】根

22、据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=0 得 x22=0，解得 x=或 x=（舍去） ，当 x0 时，由 f（x）=0 得 2x6+lnx=0，即 lnx=62x，作出函数 y=lnx 和 y=62x 在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 1个交点，故 x0 时，函数有 1 个零点故函数 f（x）的零点个数为 2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方第 15 页（共 21 页）程 f（x）=0 即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解16 （4 分）已知集合a，b，c=0，1，2，且下列三个关

23、系：a2；b=2；c0 有且只有一个正确，则 100a+10b+c 等于 201 【分析】根据集合相等的条件，列出 a、b、c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出 a、b、c 的值后代入式子求值【解答】解：由a，b，c=0，1，2得，a、b、c 的取值有以下情况：当 a=0 时，b=1、c=2 或 b=2、c=1，此时不满足题意；当 a=1 时，b=0、c=2 或 b=2、c=0，此时不满足题意；当 a=2 时，b=1、c=0，此时不满足题意；当 a=2 时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入 100a+10b+c=201，故答案为：201【点评】本题考查

24、了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分.17 （12 分）在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求 an；（）设 bn=log3an，求数列bn的前 n 项和 Sn【分析】 （）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（）把（）中求得的 an代入 bn=log3an，得到数列bn的通项公式，由此得到数列bn是以 0 为首项，以 1 为公差的等差数列，由等差数列的前 n 项和公式得答案【解答】解：（）设等比数列an的公比为 q，由 a2=3，a5=8

25、1，得，解得第 16 页（共 21 页）；（），bn=log3an，则数列bn的首项为 b1=0，由 bnbn1=n1（n2）=1（n2） ，可知数列bn是以 1 为公差的等差数列【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和公式，是基础的计算题18 （12 分）已知函数 f（x）=2cosx（sinx+cosx） （）求 f（）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间【分析】 （）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=sin（2x+）+1，从而求得 f（）的值（）根据函数 f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期令2k2x+2k+，kZ，求得

26、x 的范围，可得函数的单调递增区间【解答】解：（）函数 f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2（）函数 f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=令 2k2x+2k+，kZ，求得 kxk+，故函数的单调递增区间为k，k+，kZ【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属第 17 页（共 21 页）于中档题19 （12 分）如图，三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CDBD（）求证：CD平面 ABD；（）若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥

27、 AMBC 的体积【分析】 （）证明：CD平面 ABD，只需证明 ABCD；（）利用转换底面，VAMBC=VCABM=SABMCD，即可求出三棱锥 AMBC 的体积【解答】 （）证明：AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD，CDBD，ABBD=B，CD平面 ABD；（）解：AB平面 BCD，BD平面 BCD，ABBDAB=BD=1，SABD=，M 为 AD 中点，SABM=SABD=，CD平面 ABD，VAMBC=VCABM=SABMCD=第 18 页（共 21 页）【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥 AMBC 的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键20 （12 分）根据世行 201

28、3 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为 10354085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 408512616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家某城市有 5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均 GDP（单位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000（）判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP都达到中等偏上收入国

29、家标准的概率【分析】 （）利用所给数据，计算该城市人均 GDP，即可得出结论；（）利用古典概型概率公式，即可得出结论【解答】解：（）设该城市人口总数为 a，则该城市人均 GDP 为=6400该城市人均 GDP 达到中等偏上收入国家标准；（）从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，共有=10 种情况，GDP 都达到中等偏上收入国家标准的区域有 A，C，E，抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准，共有=3 种情况，抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、第 19 页（共 21 页

30、）应用意识，考查必然、或然思想21 （12 分）已知曲线 上的点到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=3 的距离小2（）求曲线 的方程；（）曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N，以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B，试探究：当点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论【分析】 （）设 S（x，y）曲线 上的任意一点，利用抛物线的定义，判断 S满足配额我想的定义，即可求曲线 的方程；（）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出 A、M 的坐标

31、，N的坐标，以 MN 为直径作圆 C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点 P在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不变【解答】解：（）设 S（x，y）曲线 上的任意一点，由题意可得：点 S 到 F（0，1）的距离与它到直线 y=1 的距离相等，曲线 是以 F 为焦点直线 y=1 为准线的抛物线，曲线 的方程为：x2=4y（）当点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不变，证明如下：由（）可知抛物线的方程为 y=，设 P（x0，y0） （x00）则 y0=，由 y得切线 l 的斜率 k=切线 l 的方程为：，即由得，由得，第 20 页（共 2

32、1 页）又 N（0，3） ，所以圆心 C（） ，半径 r=点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不变【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大22 （14 分）已知函数 f（x）=exax（a 为常数）的图象与 y 轴交于点 A，曲线y=f（x）在点 A 处的切线斜率为1（1）求 a 的值及函数 f（x）的极值；（2）证明：当 x0 时，x2ex；（3）证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x（x0，+）时，恒有xcex【分析】 （1）利用导数的几何意义求得 a，再利用导数法求得函数的极值；（

33、2）构造函数 g（x）=exx2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令 x0=，则 exx2x，即 xcex即得结论成立【解答】解：（1）由 f（x）=exax 得 f（x）=exa又 f（0）=1a=1，a=2，f（x）=ex2x，f（x）=ex2由 f（x）=0 得 x=ln2，第 21 页（共 21 页）当 xln2 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 xln2 时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x=ln2 时，f（x）有极小值为 f（ln2）=eln22ln2=2ln4f（x）无极大值（2）令 g（x）=exx2，则 g（x）=ex2x，由（1）得，g（x）=f（x）f（ln2）=eln22ln2=2ln40，即 g（x）0，当 x0 时，g（x）g（0）0，即 x2ex；（3）对任意给定的正数 c，总存在 x0=0当 x（x0，+）时，由（2）得 exx2x，即 xcex对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x（x0，+）时，恒有 xcex【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想属难题