2013年福建省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 26 页）2013 年福建省高考数学试卷（文科）年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数的 Z=12i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分）设点 P（x，y） ，则“x=2 且 y=1”是“点 P 在直线 l：x+y1=0 上”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3

2、 （5 分）若集合 A=1，2，3，B=1，3，4，则 AB 的子集个数为（ ）A2B3C4D164 （5 分）双曲线 x2y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）ABC1D5 （5 分）函数 f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）ABCD6 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为（ ）A4 和 3B4 和 2C3 和 2D2 和 07 （5 分）若 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围是（ ）第 2 页（共 26 页）A0，2 B2，0 C2，+） D （，28 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输

3、出的 S（10，20） ，那么 n 的值为（ ）A3B4C5D69 （5 分）将函数 f（x）=sin（2x+） （）的图象向右平移（1）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点 P（） ，则 的值可以是（ ）ABCD10 （5 分）在四边形 ABCD 中，=（1，2） ，=（4，2） ，则该四边形的面积为（ ）ABC5D1011 （5 分）已知 x 与 y 之间的几组数据如表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ ，若某同学根据上表中的前第 3 页（共 26 页）两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为 y=b

4、x+a，则以下结论正确的是（ ）A b， aB b， aC b， aD b， a12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，x0（x00）是 f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）AxR，f（x）f（x0） Bx0是 f（x）的极小值点Cx0是f（x）的极小值点 Dx0是f（x）的极小值点二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分分.13 （4 分）已知函数 f（x）=，则 f（f（） ）= 14 （4 分）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为 15 （4 分）椭圆 ：=1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F

5、2，焦距为2c，若直线 y=与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于 16 （4 分）设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数y=f（x）满足：（i）T=f（x）|xS；（ii）对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下 3 对集合：A=N，B=N*；A=x|1x3，B=x|8x10；A=x|0x1，B=R其中， “保序同构”的集合对的序号是 （写出“保序同构”的集合对的序号）第 4 页（共 26 页）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共

6、74 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （12 分）已知等差数列an的公差 d=1，前 n 项和为 Sn（）若 1，a1，a3成等比数列，求 a1；（）若 S5a1a9，求 a1的取值范围18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC=5，DC=3，AD=4，PAD=60（）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥 PABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程） ；（）若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC；（）求三棱锥 DPBC 的体积19 （12 分）某工厂有 25 周岁以上（

7、含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁） ”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 P（x2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828第 5 页（共 26 页）（）从样本中日平均生产件数不足 60 件的

8、工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率；（）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成 k2=）20 （12 分）如图，抛物线 E：y2=4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A点C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M，N（）若点 C 的纵坐标为 2，求|MN|；（）若|AF|2=|AM|AN|，求圆 C 的半径21 （12 分）如图，在等腰直角OPQ 中，POQ=

9、90，OP=2，点 M 在线段PQ 上，（）若 OM=，求 PM 的长；（）若点 N 在线段 MQ 上，且MON=30，问：当POM 取何值时，第 6 页（共 26 页）OMN 的面积最小？并求出面积的最小值22 （14 分）已知函数 f（x）=x1+（aR，e 为自然对数的底数） （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（）求函数 f（x）的极值；（）当 a=1 的值时，若直线 l：y=kx1 与曲线 y=f（x）没有公共点，求 k 的最大值第 7 页（共 26 页）2013 年福建省高考数学试卷（文科）年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解

10、析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数的 Z=12i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由 Z=12i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限【解答】解：Z=12i 在复平面内对应的点（1，2）位于第三象限故选：C【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系2 （5 分）设点 P（x，y） ，则“x=

11、2 且 y=1”是“点 P 在直线 l：x+y1=0 上”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】当 x=2 且 y=1”可以得到“点 P 在直线 l：x+y1=0 上”，当点 P 在直线l：x+y1=0 上时，不一定得到 x=2 且 y=1，得到 x=2 且 y=1”是“点 P 在直线l：x+y1=0 上”的充分不必要条件【解答】解：x=2 且 y=1”可以得到“点 P 在直线 l：x+y1=0 上”，当“点 P 在直线 l：x+y1=0 上”时，不一定得到 x=2 且 y=1，“x=2 且 y=1”是“点 P 在直线 l：x+y1=0 上”的

12、充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点 P 在直线 l：x+y1=0 上第 8 页（共 26 页）时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题3 （5 分）若集合 A=1，2，3，B=1，3，4，则 AB 的子集个数为（ ）A2B3C4D16【分析】找出 A 与 B 的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可【解答】解：A=1，2，3，B=1，3，4，AB=1，3，则 AB 的子集个数为 22=4故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键4 （5 分）双曲线 x2y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）ABC1D【

13、分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线 x2y2=1 的顶点坐标（1，0） ，其渐近线方程为 y=x，所以所求的距离为=故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5 （5 分）函数 f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）ABCD第 9 页（共 26 页）【分析】x2+11，又 y=lnx 在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在 x 轴的上方，在令 x 取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又 y=lnx 在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在 x 轴的上方，又

14、f（0）=ln（0+1）=ln1=0，图象过原点，综上只有 A 符合故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题6 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为（ ）A4 和 3B4 和 2C3 和 2D2 和 0【分析】先根据条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点 N（1，0）时的最小值，过点 M（2，0）时，2x+y 最大，从而得到选项【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线 2x+y=0，经过点 N

15、（1，0）时，2x+y 最小，最小值为：2，则目标函数 z=2x+y 的最小值为 2经过点 M（2，0）时，2x+y 最大，最大值为：4，则目标函数 z=2x+y 的最大值为：4第 10 页（共 26 页）故选：B【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定7 （5 分）若 2x+2y=1，则 x+y 的取值范围是（ ）A0，2 B2，0 C2，+） D （，2【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于 x+y 的不等关系式，进而可求出 x+y 的取值范围【解答】解：1=2x+2y2（2x2y），

16、变形为 2x+y，即 x+y2，当且仅当 x=y 时取等号则 x+y 的取值范围是（，2故选：D【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握8 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的 S（10，20） ，那么 n 的值为（ ）第 11 页（共 26 页）A3B4C5D6【分析】框图在输入 n 的值后，根据对 S 和 k 的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断 k 是否大于 n，不满足继续执行循环，满足跳出循环

17、，由题意，说明当算出的值 S（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的 n 值【解答】解：框图首先给累加变量 S 赋值 0，给循环变量 k 赋值 1，输入 n 的值后，执行 S=1+20=1，k=1+1=2；判断 2n 不成立，执行 S=1+21=3，k=2+1=3；判断 3n 不成立，执行 S=1+23=7，k=3+1=4；判断 4n 不成立，执行 S=1+27=15，k=4+1=5此时 S=15（10，20） ，是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即 5n 满足，所以正整数 n 的值应为 4故选：B【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，

18、即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题第 12 页（共 26 页）9 （5 分）将函数 f（x）=sin（2x+） （）的图象向右平移（1）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点 P（） ，则 的值可以是（ ）ABCD【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过 P（0，） ，解出，然后求出 即可【解答】解：函数向右平移 个单位，得到g（x）=sin（2x+2） ，因为两个函数都经过 P（0，） ，所以，所以 g（x）=sin（2x+2） ，sin（2）=，1，所以2=2k+，=k，与选项不符舍去，2=2k+

19、，kZ，当 k=1 时，=故选：B【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力10 （5 分）在四边形 ABCD 中，=（1，2） ，=（4，2） ，则该四边形的面积为（ ）ABC5D10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可【解答】解：因为在四边形 ABCD 中，=0，所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又，第 13 页（共 26 页）该四边形的面积：=5故选：C【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力11 （5 分）已知 x 与 y 之间的几组数据如表：x1

20、23456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 = x+ ，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为 y=bx+a，则以下结论正确的是（ ）A b， aB b， aC b， aD b， a【分析】由表格总的数据可得 n， ， ，进而可得，和，代入可得 ，进而可得 ，再由直线方程的求法可得 b和 a，比较可得答案【解答】解：由题意可知 n=6， =， =，故=916=22，=586=，故可得 =， =，而由直线方程的求解可得 b=2，把（1，0）代入可得 a=2，比较可得 b， a，故选：C【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中

21、档题第 14 页（共 26 页）12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，x0（x00）是 f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）AxR，f（x）f（x0） Bx0是 f（x）的极小值点Cx0是f（x）的极小值点 Dx0是f（x）的极小值点【分析】A 项，x0（x00）是 f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 y 轴对称，因此，x0是 f（x）的极大值点；C 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 x 轴对称，因此，x0是f（x）的极小值点；D 项，f（x）是把 f（x）的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称，因此x0是f（x）的极

22、小值点【解答】解：对于 A 项，x0（x00）是 f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故 A 错误；对于 B 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 y 轴对称，因此，x0是 f（x）的极大值点，故 B 错误；对于 C 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 x 轴对称，因此，x0是f（x）的极小值点，故 C 错误；对于 D 项，f（x）是把 f（x）的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称，因此x0是f（x）的极小值点，故 D 正确故选：D【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题

23、共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分分.第 15 页（共 26 页）13 （4 分）已知函数 f（x）=，则 f（f（） ）= 2 【分析】利用分段函数求出 f（）的值，然后求解即可【解答】解：因为，所以 f（）=1，所以=f（1）=2（1）3=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力14 （4 分）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数 a 所对应图形的长度，及事件“3a10”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解【解答】解：3

24、a10 即 a，则事件“3a10”发生的概率为 P=故答案为：【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关15 （4 分）椭圆 ：=1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，焦距为2c，若直线 y=与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1，则该椭第 16 页（共 26 页）圆的离心率等于 【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角 =60又直线与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1，可得，进而设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出 a，c

25、 即可【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角 与斜率有关系=tan，=60又椭圆 的一个交点满足MF1F2=2MF2F1，设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得该椭圆的离心率 e=故答案为【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含 30角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法第 17 页（共 26 页）16 （4 分）设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数y=f（x）满足：（i）T=f（x）|xS；（ii）对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，那么称这

26、两个集合“保序同构”，现给出以下 3 对集合：A=N，B=N*；A=x|1x3，B=x|8x10；A=x|0x1，B=R其中， “保序同构”的集合对的序号是 （写出“保序同构”的集合对的序号） 【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知 S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数 y=f（x）为单调增函数，对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数 y=f（x）即可【解答】解：对于命题中的两个集合，可取函数 f（x）=x+1，xN，满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意 x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，故 A 是“保序同构”；对于

27、命题中的两个集合，可取函数 （1x3） ，是“保序同构”；对于命题中的两个集合，可取函数 f（x）= （0x1） ，是“保序同构”故答案为【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （12 分）已知等差数列an的公差 d=1，前 n 项和为 Sn第 18 页（共 26 页）（）若 1，a1，a3成等比数列，求 a1；（）若 S5

28、a1a9，求 a1的取值范围【分析】 （I）利用等差数列an的公差 d=1，且 1，a1，a3成等比数列，建立方程，即可求 a1；（II）利用等差数列an的公差 d=1，且 S5a1a9，建立不等式，即可求 a1的取值范围【解答】解：（I）等差数列an的公差 d=1，且 1，a1，a3成等比数列，a1=1 或 a1=2；（II）等差数列an的公差 d=1，且 S5a1a9，5a12【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC=

29、5，DC=3，AD=4，PAD=60（）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥 PABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程） ；（）若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC；（）求三棱锥 DPBC 的体积第 19 页（共 26 页）【分析】 （）在梯形 ABCD 中，作 CEAB，E 为垂足，则四边形 ADCE 为矩形，可得 AE=CD=3由勾股定理求得 BE=3，可得 AB=6由直角三角形中的边角关系求得 PD=ADtan60的值，从而得到四棱锥 PABCD 的正视图（）取 PB 得中点为 N，证明 MNCD 为平行四边形，故 DMCN再由直线和平面平行的判定定理证得故 D

30、M平面 PBC（）根据三棱锥 DPBC 的体积 VDPBC=VPBCD=SBCDPD=（S梯形 ABCDSABD）PD，运算求得结果【解答】解：（）在梯形 ABCD 中，作 CEAB，E 为垂足，则四边形 ADCE 为矩形，AE=CD=3直角三角形 BCE 中，BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得 BE=3，AB=6在直角三角形 PAD 中，PAD=60，AD=4，PD=ADtan60=4，四棱锥 PABCD 的正视图如图所示：（）M 为 PA 的中点，取 PB 得中点为 N，则 MN 平行且等于AB，再由（）可得 CD 平行且等于AB，可得 MN 和 CD 平行且相等，故 MNCD 为平

31、行四边形，故 DMCN由于 DM 不在平面 PBC 内，而 CN 在平面 PBC 内，故 DM平面 PBC（）三棱锥 DPBC 的体积 VDPBC=VPBCD=SBCDPD=（S梯形 ABCDSABD）PD=4=8第 20 页（共 26 页）【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题19 （12 分）某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25

32、 周岁以上（含 25 周岁） ”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 P（x2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到第 21 页（共 26 页）一名“25 周岁以下组”工人的概率；（）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年

33、龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成 k2=）【分析】 （I）由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上、下组工人的人数分别为 3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得“25 周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25 周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得 22 列联表，可得 k21.79，由 1.792.706，可得结论【解答】解：（I）由已知可得，样本中有 25 周岁以上组工人100=60 名，25 周岁以下组工人 100=40 名，所以样本中日平均生产件数不足

34、60 件的工人中，25 周岁以上组工人有600.05=3（人） ，25 周岁以下组工人有 400.05=2（人） ，故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共=10 种，其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共+=7 种，故所求的概率为：；（II）由频率分布直方图可知：在抽取的 100 名工人中， “25 周岁以上组”中的生产能手有 600.25=15（人） ，“25 周岁以下组”中的生产能手有 400.375=15（人） ，据此可得 22 列联表如下：生产能手 非生产能手 合计25 周岁以上组 15 45 60第 22 页（共 26 页）25 周岁以下组 15 25 40合计 30

35、70 100所以可得=1.79，因为 1.792.706，所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题20 （12 分）如图，抛物线 E：y2=4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A点C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M，N（）若点 C 的纵坐标为 2，求|MN|；（）若|AF|2=|AM|AN|，求圆 C 的半径【分析】 （I）由抛物线的方程表示出焦点 F 的坐标及准线方程，求出 C 到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求

36、出|MN|的长；（II）设 C（，y0） ，表示出圆 C 的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设 M（1，y1） ，N（1，y2） ，利用韦达定理表示出 y1y2，利用|AF|2=|AM|AN|，得|y1y2|=4，解得 C 的纵坐标，从而得到圆心 C 坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径【解答】解：（I）抛物线 E：y2=4x 的准线 l：x=1，由点 C 的纵坐标为 2，得 C（1，2） ，故 C 到准线的距离 d=2，又|OC|=，第 23 页（共 26 页）|MN|=2=2（II）设 C（，y0） ，则圆 C 的方程为（x）2+（yy0）2=，即 x2+y22y

37、0y=0，由 x=1 得 y22y0y+1+=0，设 M（1，y1） ，N（1，y2） ，则，由|AF|2=|AM|AN|，得|y1y2|=4，1+=4，解得 y0=，此时0圆心 C 的坐标为（，） ，|OC|2=，从而|OC|=即圆 C 的半径为【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键21 （12 分）如图，在等腰直角OPQ 中，POQ=90，OP=2，点 M 在线段PQ 上，（）若 OM=，求 PM 的长；（）若点 N 在线段 MQ 上，且MON=30，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出面积的最小值第

38、 24 页（共 26 页）【分析】 （）在OMP 中，利用OPM=45，OM=，OP=2，通过余弦定理，求 PM 的长；（）利用正弦定理求出 ON、OM，表示出OMN 的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角 的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值【解答】解：（）在OMP 中，OPM=45，OM=，OP=2，由余弦定理可得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45，解得 PM 的长为 1 或 3；（）设POM=，060，在OMP 中，由正弦定理可得：，OM=，同理，ON=，故=因为 060，所以 302+30

39、150，所以当 =30时，sin（2+30）的最大值为 1，此时，OMN 的面积最小，面积的最小值第 25 页（共 26 页）【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用22 （14 分）已知函数 f（x）=x1+（aR，e 为自然对数的底数） （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（）求函数 f（x）的极值；（）当 a=1 的值时，若直线 l：y=kx1 与曲线 y=f（x）没有公共点，求 k 的最大值【分析】 （）依题意，f（1）=0，从而可求得 a 的值；（）

40、f（x）=1，分a0 时a0 讨论，可知 f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，从而可求其极值；（）令 g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，则直线 l：y=kx1 与曲线y=f（x）没有公共点方程 g（x）=0 在 R 上没有实数解，分 k1 与 k1 讨论即可得答案【解答】解：（）由 f（x）=x1+，得 f（x）=1，又曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线平行于 x 轴，f（1）=0，即 1=0，解得 a=e（）f（x）=1，当 a0 时，f（x）0，f（x）为（，+）上的增函数，所以 f（x）无极值；当 a0 时，令 f（x）=0，得 ex=a

41、，x=lna，x（，lna） ，f（x）0；x（lna，+） ，f（x）0；第 26 页（共 26 页）f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，故 f（x）在 x=lna 处取到极小值，且极小值为 f（lna）=lna，无极大值综上，当 a0 时，f（x）无极值；当 a0 时，f（x）在 x=lna 处取到极小值lna，无极大值（）当 a=1 时，f（x）=x1+，令 g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，则直线 l：y=kx1 与曲线 y=f（x）没有公共点，等价于方程 g（x）=0 在 R 上没有实数解假设 k1，此时 g（0）=10，g（）=1+0，又函数 g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知 g（x）=0 在 R 上至少有一解，与“方程 g（x）=0 在 R 上没有实数解”矛盾，故 k1又 k=1 时，g（x）=0，知方程 g（x）=0 在 R 上没有实数解，所以 k 的最大值为 1【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题