2013年福建省高考数学试卷（理科）.doc

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1、第 1 页（共 29 页）2013 年福建省高考数学试卷（理科）年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的项中，只有一项符合题目的要求的.1 （5 分）已知复数 z 的共轭复数（i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 （5 分）已知集合 A=1，a，B=1，2，3，则“a=3”是“AB“的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3 （5 分）双曲

2、线的顶点到渐近线的距离等于（ ）ABCD4 （5 分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（ ）A588 B480 C450 D1205 （5 分）满足 a，b1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对的个数为（ ）A14B13C12D106 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若输入的 k=10，则该算法的功能是

3、（ ）第 2 页（共 29 页）A计算数列2n1的前 10 项和 B计算数列2n1的前 9 项和C计算数列2n1的前 10 项和 D计算数列2n1的前 9 项和7 （5 分）在四边形 ABCD 中，=（1，2） ，=（4，2） ，则该四边形的面积为（ ）ABC5D108 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，x0（x00）是 f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）AxR，f（x）f（x0） Bx0是 f（x）的极小值点Cx0是f（x）的极小值点 Dx0是f（x）的极小值点9 （5 分）已知等比数列an的公比为 q，记 bn=am（n1）+1+am（n1）+2+am（n1）+m，cn

4、=am（n1）+1am（n1）+2am（n1）+m， （m，nN*） ，则以下结论一定正确的是（ ）A数列bn为等差数列，公差为 qmB数列bn为等比数列，公比为 q2mC数列cn为等比数列，公比为第 3 页（共 29 页）D数列cn为等比数列，公比为10 （5 分）设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数y=f（x）满足：（i）T=f（x）|xS；（ii）对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）AA=N*，B=NBA=x|1x3，B=x|x=8 或 0x10CA=x|0

5、x1，B=RDA=Z，B=Q二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分把答案填写在答题卡的分把答案填写在答题卡的相应位置相应位置.11 （4 分）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为 12 （4 分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 13 （4 分）如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则 BD 的长为 14 （4 分）椭圆 ：=1（ab0）

6、的左右焦点分别为 F1，F2，焦距为第 4 页（共 29 页）2c，若直线 y=与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于 15 （4 分）当 xR，|x|1 时，有如下表达式：1+x+x2+xn+=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+xndx+=dx从而得到如下等式：1+（）2+（）3+（）n+1+=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：+（）2+（）3+（）n+1= 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.16 （13 分）某联欢晚会

7、举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 x，求 x3 的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17 （13 分）已知函数 f（x）=xalnx（aR）（1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点 A（1，f（1） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）的极值18 （13 分）如

8、图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（10，0） ，点 C 的坐标为（0，10） ，分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为A1，A2，A9和 B1，B2，B9，连接 OBi，过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi，交于点（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线 E 的方第 5 页（共 29 页）程；（2）过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M，N，若OCM 与OCN 的面积之比为 4：1，求直线 l 的方程19 （13 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面ABCD，ABDC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=

9、5k，DC=6k， （k0）（1）求证：CD平面 ADD1A1（2）若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为，求 k 的值（3）现将与四棱柱 ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f（k） ，写出 f（k）的解析式 （直接写出答案，不必说明理由）20 （14 分）已知函数 f（x）=sin（wx+） （w0，0）的周期为 ，图象的一个对称中心为（，0） ，将函数 f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵

10、坐标不变） ，再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象（1）求函数 f（x）与 g（x）的解析式第 6 页（共 29 页）（2）是否存在 x0（） ，使得 f（x0） ，g（x0） ，f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数 a 与正整数 n，使得 F（x）=f（x）+ag（x）在（0，n）内恰有2013 个零点本题设有（本题设有（21） 、 （22） 、 （23）三个选考题，每题）三个选考题，每题 7 分，请考生任选分，请考生任选 2 题作答，题作答，满分满分 14 分分.如果多做，则按所做的前两题计分如果多做，

11、则按所做的前两题计分.21 （7 分）选修 42：矩阵与变换已知直线 l：ax+y=1 在矩阵对应的变换作用下变为直线 l：x+by=1（I）求实数 a，b 的值（II）若点 P（x0，y0）在直线 l 上，且，求点 P 的坐标22 （7 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为，直线 l 的极坐标方程为，且点 A 在直线 l 上（）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；（）圆 C 的参数方程为，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系23设不等式|x2|a（aN*）的解集为 A，且（）求 a 的值（）求函数

12、f（x）=|x+a|+|x2|的最小值第 7 页（共 29 页）2013 年福建省高考数学试卷（理科）年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的项中，只有一项符合题目的要求的.1 （5 分）已知复数 z 的共轭复数（i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】求出复数 z，复数 z 的对应点的坐标，即可得到选项【解答】解：因为复数 z 的共轭复数，

13、所以 z=12i，对应的点的坐标为（1，2） z 在复平面内对应的点位于第四象限故选：D【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查2 （5 分）已知集合 A=1，a，B=1，2，3，则“a=3”是“AB“的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先有 a=3 成立判断是否能推出 AB 成立，反之判断“AB”成立是否能推出 a=3 成立；利用充要条件的题意得到结论【解答】解：当 a=3 时，A=1，3所以 AB，即 a=3 能推出 AB；反之当 AB 时，所以 a=3 或 a=2，所以 AB 成立，推不出 a=3故“a=3”是“AB”

14、的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件3 （5 分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ）第 8 页（共 29 页）ABCD【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0） ，渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0） ，渐近线，则顶点到渐近线的距离 d=故选：C【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键4 （5 分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，9

15、0） ，90，100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（ ）A588 B480 C450 D120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于 60 分的频率，然后根据频数=频率总数可求出所求【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于 60（分）的频率为 110（0.005+0.015）=0.8 由于该校高一年级共有学生 600 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于 60（分）的人数为 6000.8=480 人故选：B【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、

16、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力第 9 页（共 29 页）5 （5 分）满足 a，b1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对的个数为（ ）A14B13C12D10【分析】由于关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数根，所以分两种情况：（1）当a0 时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于 0，由此即可求出a 的取值范围；（2）当 a=0 时，方程为 2x+b=0，此时一定有解【解答】解：（1）当 a=0 时，方程为 2x+b=0，此时一定有解；此时 b=1，0，1，2；即（0，1） ， （0，0） ， （0，1） ， （0，2）四种（

17、2）当 a0 时，方程为一元二次方程，=44ab0，ab1所以 a=1，1，2，此时 a，b 的对数为（1，0） ， （1，2） ， （1，1） ，（1，1） ， （1，1） ， （1，0） ， （1，1） ， （2，1） ， （2，0） ，共 9 种，关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对的个数为 13 种，故选：B【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用考查分类讨论思想6 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若输入的 k=10，则该算法的

18、功能是（ ）第 10 页（共 29 页）A计算数列2n1的前 10 项和 B计算数列2n1的前 9 项和C计算数列2n1的前 10 项和 D计算数列2n1的前 9 项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能【解答】解：框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值，S=0，i=1；判断 i10 不成立，执行 S=1+20=1，i=1+1=2；判断 i10 不成立，执行 S=1+21=1+2，i=2+1=3；判断 i10 不成立，执行 S=1+2（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；判断 i10 不成立，执行 S=1+2+22+2

19、9，i=10+1=11；判断 i10 成立，输出 S=1+2+22+29算法结束故则该算法的功能是计算数列2n1的前 10 项和故选：A【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律第 11 页（共 29 页）7 （5 分）在四边形 ABCD 中，=（1，2） ，=（4，2） ，则该四边形的面积为（ ）ABC5D10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可【解答】解：因为在四边形 ABCD 中，=0，所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又，该四边形的面积：=5故选：C【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是

20、解题的关键，考查分析问题解决问题的能力8 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，x0（x00）是 f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）AxR，f（x）f（x0） Bx0是 f（x）的极小值点Cx0是f（x）的极小值点 Dx0是f（x）的极小值点【分析】A 项，x0（x00）是 f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 y 轴对称，因此，x0是 f（x）的极大值点；C 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 x 轴对称，因此，x0是f（x）的极小值点；D 项，f（x）是把 f（x）的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称，因此x0是f（x）

21、的极小值点【解答】解：对于 A 项，x0（x00）是 f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故 A 错误；第 12 页（共 29 页）对于 B 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 y 轴对称，因此，x0是 f（x）的极大值点，故 B 错误；对于 C 项，f（x）是把 f（x）的图象关于 x 轴对称，因此，x0是f（x）的极小值点，故 C 错误；对于 D 项，f（x）是把 f（x）的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称，因此x0是f（x）的极小值点，故 D 正确故选：D【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9 （

22、5 分）已知等比数列an的公比为 q，记 bn=am（n1）+1+am（n1）+2+am（n1）+m，cn=am（n1）+1am（n1）+2am（n1）+m， （m，nN*） ，则以下结论一定正确的是（ ）A数列bn为等差数列，公差为 qmB数列bn为等比数列，公比为 q2mC数列cn为等比数列，公比为D数列cn为等比数列，公比为【分析】，当 q=1 时，bn=mam（n1），bn+1=mam（n1）+m=mam（n1）=bn，此时是常数列，可判断 A，B 两个选项由于等比数列an的公比为 q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出 C，D 两个选项【解答】解：，当 q=1 时，bn=

23、mam（n1），bn+1=mam（n1）+m=mam（n1）=bn，此时是常数列，选项 A 不正确，选项 B 正确；第 13 页（共 29 页）当 q1 时，=，此时，选项 B 不正确，又 bn+1bn=，不是常数，故选项 A 不正确，等比数列an的公比为 q，=，=，故 C 正确 D 不正确综上可知：只有 C 正确故选：C【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前 n 项和公式是解题的关键10 （5 分）设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数y=f（x）满足：（i）T=f（x）|xS；（ii）对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f（x1）

24、f（x2） ，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）AA=N*，B=NBA=x|1x3，B=x|x=8 或 0x10CA=x|0x1，B=RDA=Z，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即 B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案第 14 页（共 29 页）【解答】解：对于 A=N*，B=N，存在函数 f（x）=x1，xN*，满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意 x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f

25、（x2） ，所以选项 A 是“保序同构”；对于 A=x|1x3，B=x|x=8 或 0x10，存在函数，满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意 x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，所以选项 B 是“保序同构”；对于 A=x|0x1，B=R，存在函数 f（x）=tan（） ，满足：（i）B=f（x）|xA；（ii）对任意x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，所以选项 C 是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D故选：D【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考

26、查了不同类型函数的基本性质，是基础题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分把答案填写在答题卡的分把答案填写在答题卡的相应位置相应位置.11 （4 分）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数 a 所对应图形的长度，及事件“3a10”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解【解答】解：3a10 即 a，第 15 页（共 29 页）则事件“3a10”发生的概率为 P=故答案为：【点评】几何概型的概率估算公式中的“几

27、何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关12 （4 分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 12 【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为 2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为 2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以 2r=，r=，所以球的表面积为：4r2=12故答案为：12【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空

28、间想象能力与计算能力第 16 页（共 29 页）13 （4 分）如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则 BD 的长为 【分析】由BAC=BAD+DAC，DAC=90，得到BAC=BAD+90，代入并利用诱导公式化简 sinBAC，求出 cosBAD 的值，在三角形 ABD 中，由AB，AD 及 cosBAD 的值，利用余弦定理即可求出 BD 的长【解答】解：ADAC，DAC=90，BAC=BAD+DAC=BAD+90，sinBAC=sin（BAD+90）=cosBAD=，在ABD 中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+

29、AD22ABADcosBAD=18+924=3，则 BD=故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14 （4 分）椭圆 ：=1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，焦距为2c，若直线 y=与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1，则该椭圆的离心率等于 【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角 =60又直线与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F2=2MF2F1，可得，进而设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得第 17 页（共 29 页），解出 a，c 即可【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角

30、 与斜率有关系=tan，=60又椭圆 的一个交点满足MF1F2=2MF2F1，设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得该椭圆的离心率 e=故答案为【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含 30角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法15 （4 分）当 xR，|x|1 时，有如下表达式：1+x+x2+xn+=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+xndx+=dx从而得到如下等式：1+（）2+（）3+（）n+1+=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：第 18 页（共 29 页）+（）2+（）3+（）n+

31、1= 【分析】根据二项式定理得 Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论【解答】解：二项式定理得 Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，对 Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用是道好题，解决问题的关键在于对Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明

32、、证明过程或演算步骤算步骤.16 （13 分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 x，求 x3 的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】 （1）记“他们的累计得分 X3”的事事件为 A，则事件 A 的对立事件是第 19 页（共 29 页）“X=5”，由题意知

33、，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分 x3 的概率（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为 X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为 E（2X1） ，都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为 E（3X2） 根据题意知 X1B（2，） ，X2B（2，） ，利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）E（3X2） ，从而得出答案【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否

34、互不影响，记“他们的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件是“X=5”，因为 P（X=5）=，P（A）=1P（X=5）=；即他们的累计得分 x3 的概率为（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为 X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为 E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为 E（3X2）由已知可得，X1B（2，） ，X2B（2，） ，E（X1）=2=，E（X2）=2=，从而 E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于 E（2X1）E（3X2） ，他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期

35、望较大【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定 X 服从的分布是解题的关键17 （13 分）已知函数 f（x）=xalnx（aR）第 20 页（共 29 页）（1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点 A（1，f（1） ）处的切线方程；（2）求函数 f（x）的极值【分析】 （1）把 a=2 代入原函数解析式中，求出函数在 x=1 时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当 a0 时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当 a0 时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分

36、段，利用原函数的单调性得到函数的极值【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ，（1）当 a=2 时，f（x）=x2lnx，因而 f（1）=1，f（1）=1，所以曲线 y=f（x）在点 A（1，f（1） ）处的切线方程为 y1=（x1） ，即 x+y2=0（2）由，x0 知：当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）为（0，+）上的增函数，函数 f（x）无极值；当 a0 时，由 f（x）=0，解得 x=a又当 x（0，a）时，f（x）0，当 x（a，+）时，f（x）0从而函数 f（x）在 x=a 处取得极小值，且极小值为 f（a）=aalna，无极大值综上，当 a0 时，函数 f（x）无极

37、值；当 a0 时，函数 f（x）在 x=a 处取得极小值 aalna，无极大值【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题18 （13 分）如图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（10，0） ，点 C 的坐标为（0，10） ，分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为A1，A2，A9和 B1，B2，B9，连接 OBi，过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi，交于点第 21 页（共 29 页）（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线 E 的方程；（2）过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不

38、同的两点 M，N，若OCM 与OCN 的面积之比为 4：1，求直线 l 的方程【分析】 （I）由题意，求出过且与 x 轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i） ，即可得到直线 OBi的方程为联立方程，即可得到 Pi满足的方程；（II）由题意，设直线 l 的方程为 y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式 SOCM=SOCN，可得|x1|=4|x2|即 x1=4x2联立即可得到 k，进而得到直线方程【解答】 （I）证明：由题意，过且与 x 轴垂直的直线方程为 x=i，Bi的坐标为（10，i） ，直线 OBi的方程为设 Pi（x，y） ，由，

39、解得，即 x2=10y点都在同一条抛物线上，抛物线 E 的方程为 x2=10y（II）由题意，设直线 l 的方程为 y=kx+10，联立消去 y 得到 x210kx100=0，第 22 页（共 29 页）此时0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x2=10k，x1x2=100，SOCM=4SOCN，|x1|=4|x2|x1=4x2联立，解得直线 l 的方程为即为 3x+2y20=0 或 3x2y+20=0【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思

40、想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力19 （13 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面ABCD，ABDC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k， （k0）（1）求证：CD平面 ADD1A1（2）若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为，求 k 的值（3）现将与四棱柱 ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f（k） ，写出 f（k）的解析式 （直接写

41、出答案，不必说明理由）【分析】 （1）取 DC 得中点 E，连接 BE，可证明四边形 ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得 BECD，即 CDAD，又侧棱 AA1底面 ABCD，可得 AA1DC，利用线面垂直的判定定理即可证明 （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左第 23 页（共 29 页）右平面 ADD1A1，BCC1B1，上或下面 ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此 4 种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k） 【解答】 （1）证明：取 DC 的中点 E，连接 BE，ABED，AB

42、=ED=3k，四边形 ABED 是平行四边形，BEAD，且 BE=AD=4k，BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，BEC=90，BECD，又BEAD，CDAD侧棱 AA1底面 ABCD，AA1CD，AA1AD=A，CD平面 ADD1A1（2）解：以 D 为坐标原点，、的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（4k，0，0） ，C（0，6k，0） ，B1（4k，3k，1） ，A1（4k，0，1） ，设平面 AB1C 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则，取 y=2，则 z=6k，x=3设 AA1与平面 AB1C 所成角为 ，则=，解得 k=1，故所求

43、k=1（3）由题意可与左右平面 ADD1A1，BCC1B1，上或下面 ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此 4 种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出 f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考第 24 页（共 29 页）查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力20 （14 分）已知函数 f（x）=sin（wx+） （w0，0）的周期为 ，图象的一个对称中心为（，0） ，将函数 f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到

44、的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象（1）求函数 f（x）与 g（x）的解析式（2）是否存在 x0（） ，使得 f（x0） ，g（x0） ，f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数 a 与正整数 n，使得 F（x）=f（x）+ag（x）在（0，n）内恰有2013 个零点【分析】 （1）依题意，可求得 =2，=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当 x（，）时，sinx，0cosxsinxcos2xsinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x 在（，）内是否有解

45、通过 G（x）0，可知G（x）在（，）内单调递增，而 G（）0，G（）0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令 F（x）=asinx+cos2x=0，方程 F（x）=0等价于关于 x 的方程 a=，xk（kZ） 问题转化为研究直线 y=a 与曲线y=h（x） ，x（0，）（，2）的交点情况通过其导数，列表分析即可求得答案【解答】解：（1）函数 f（x）=sin（x+） （0，0）的周期为，=2，又曲线 y=f（x）的一个对称中心为，（0，） ，第 25 页（共 29 页）故 f（）=sin（2+）=0，得 =，所以 f（x）=cos2x将函数 f（x）图象上所有点的

46、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）后可得y=cosx 的图象，再将 y=cosx 的图象向右平移个单位长度后得到函数 g（x）=cos（x）的图象，g（x）=sinx（2）当 x（，）时，sinx，0cos2x，sinxcos2xsinxcos2x，问题转化为方程 2cos2x=sinx+sinxcos2x 在（，）内是否有解设 G（x）=sinx+sinxcos2x2cos2x，x（，） ，则 G（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2sinx） ，x（，） ，G（x）0，G（x）在（，）内单调递增，又 G（）=0，G（）=0，且 G（x）的图象连续不断，故可知函数 G（x）在（，）内存在唯一零点 x0，即存在唯一零点 x0（，）满足题意（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令 F（x）=asinx+cos2x=0，当 sinx=0，即 x=k（kZ）时，cos2x=1，从而 x=k（kZ）不是方程 F（x）=0的解，方程 F（x）=0 等价于关于 x 的方程 a=，xk（kZ） 现研究 x（0，）（