2023年福建省高考数学试卷及解析(理科).docx

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1、2023 年福建省高考数学试卷理科1、5 分复数 z=32ii 的共轭复数 等于一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分、在每个题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的、A、23i B、2+3iC、23iD、2+3i2、5 分某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是A、圆柱B、圆锥C、四周体 D、三棱柱10 / 25n3、5 分等差数列a的前 n 项和为 S ，假设1=2，S3=12，则 a6等于anA、8B、10C、12D、14A、B、C、D、4、5 分假设函数 y=logaxa0，且 a1的图象如以下图，则以下函数图象正确的选项是5、5 分阅读如以下图的程

2、序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于A、18B、20C、21D、40的面积为 ”的6、5 分直线l：y=kx+1 与圆 O：x2+y2=1 相交于A，B 两点，则“k=1”是“OAB7、5 分函数 fx=，则以下结论正确的选项是A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件A、fx是偶函数 B、fx是增函数8、5 分在以下向量组中，可以把向量 =3，2表示出来的是A、=0，0，=1，2 B、=1，2，=5，2C、fx是周期函数 D、fx的值域为1，+C、=3，5，=6，10D、=2，3，=2，39、5 分设 P，Q 分别为圆 x2+y62=2 和椭

3、圆+y2=1 上的点，则 P，QA、5B、+C、7+D、6两点间的最大距离是10、5 分用 a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出假设干个球的全部取法可由1+a1+b的开放式 1+a+b+ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab” 则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，以下各式中，其开放式可用来表示从5 个无区分的红球、5 个无区分的蓝球、5 个有区分的黑球中取出假设干个球，且全部的蓝球都取出或都不取出的全部取法的是 A、1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5 B、1+a51+b+b2+b

4、3+b4+b51+c5 C、1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5 D、1+a51+b51+c+c2+c3+c4+c511、4 分假设变量 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最小值为、二、填空题：本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分、把答案填在答题卡的相应位置12、4 分在ABC 中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC 的面积等于、13、4 分要制作一个容器为4m3，高为1m 的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 单位：元14、4 分如图，在边长为ee 为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄豆

5、，则它落到阴影局部的概率为 、15、4 分假设集合a，b，c，d=1，2，3，4，且以下四个关系：a=1；b1；c=2；d4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组a，b，c，d的个数是 、三、解答题：本大题共 4 小题，共 80 分、解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤16、13 分函数fx=cosxsinx+cosx 、1假设 0，且 sin=，求 f的值；2求函数 fx的最小正周期及单调递增区间、17、13 分在平面四边形ABCD 中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图、（1） 求证：ABCD；（2） 假设 M 为

6、 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值、18、13 分为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进展嘉奖，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球， 球上所标的面值之和为该顾客所获的嘉奖额、（1） 假设袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元， 求：顾客所获的嘉奖额为 60 元的概率；顾客所获的嘉奖额的分布列及数学期望；（2） 商场对嘉奖总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值19、13 分双曲线E：=1a0，b0的两条渐近线分别为 l110 元和 50 元

7、的两种球组成，或标有面值20 元和 40 元的两种球组成、为了使顾客得到的嘉奖总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的嘉奖额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由、y=2x，l2：y=2x、（1） 求双曲线 E 的离心率；（2） 如图，O 点为坐标原点，动直线l 分别交直线 l1，l2 于 A，B 两点A，B 分别在第一、第四象限，且OAB 的面积恒为 8，摸索究：是否存在总与直线 l有且只有一个公共点的双曲线 E？假设存在，求出双曲线E 的方程，假设不存在，说明理由、在 2123 题中考生任选 2 题作答，总分值 21 分.假设多做，则按所做的前两题计分. 作答时

8、，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修 42 ：矩阵与变换20、14 分函数 fx=exaxa 为常数的图象与 y 轴交于点 A，曲线y=fx在点 A 处的切线斜率为1、（1） 求 a 的值及函数 fx的极值；（2） 证明：当 x0 时，x2ex；21、7 分矩阵A 的逆矩阵 A1=、（3） 证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 xx0，+时，恒有x2cex、（1） 求矩阵 A；（2） 求矩阵 A1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、22、7 分直线 l 的参数方程为t 为参数，圆 C 的参数方程为 为常数、五、选修 44

9、 ：极坐标与参数方程（1） 求直线 l 和圆 C 的一般方程；（2） 假设直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围、六、选修 45 ：不等式选讲23、定义域在 R 上的函数 fx=|x+1|+|x2|的最小值为 a、（1） 求 a 的值；（2） 假设 p，q，r 为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r23、参考答案与试题解析1、5 分复数 z=32ii 的共轭复数 等于一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分、在每个题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的、A、23i B、2+3iC、23iD、2+3i、分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简 z

10、，则其共轭可求、解答：解：z=32ii=2+3i，应选：C、点评：此题考察了复数代数形式的乘法运算，考察了复数的根本概念，是根底题、2、5 分某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是A、圆柱B、圆锥C、四周体 D、三棱柱分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图推断几何体的外形，即可、解答：解：圆柱的正视图为矩形， 应选：A、点评：此题考察简洁几何体的三视图，考察规律推理力气和空间想象力，是根底题、n3、5 分等差数列a的前 n 项和为 S ，假设1=2，S3=12，则 a6等于anA、8B、10C、12D、14分析：由等差数列的性质和可得 a2，进而可得公差，可得 a6解答：

11、解：由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12， 解得 a2=4，公差 d=a2a1=42=2，a6=a1+5d=2+52=12，应选：C、点评：此题考察等差数列的通项公式和求和公式，属根底题、A、B、C、D、4、5 分假设函数 y=logaxa0，且 a1的图象如以下图，则以下函数图象正确的选项是分析：由题意可得 a=3，由根本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可、解答：解：由题意可知图象过3，1，选项 A，y=ax=3x= x 单调递减，故错误；故有 1=loga3，解得 a=3，选项 B，y=x3，由幂函数的学问可知正确；a3选项 C，y=x3=x3，其图象应与 B 关于 x 轴对

12、称，故错误； 选项 D，y=log x=log x，当 x=3 时，y=1，但图象明显当 x=3 时，y=1，故错误、应选：B、点评：此题考察对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属根底题、5、5 分阅读如以下图的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于A、18B、20C、21D、40分析：算法的功能是求 S=21+22+2n+1+2+n 的值，计算满足条件的 S 值，可得答案、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求 S=21+22+2n+1+2+n 的值，S=21+22+1+2=2+4+1+2=915，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015、输出 S=20

13、、应选：B、点评：此题考察了直到型循环构造的程序框图，依据框图的流程推断算法的功能是解题的关键、的面积为 ”的6、5 分直线l：y=kx+1 与圆 O：x2+y2=1 相交于A，B 两点，则“k=1”是“OABA、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件分析：依据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进展推断即可得到结论、解答：解：假设直线 l：y=kx+1 与圆 O：x2+y2=1 相交于 A，B 两点，则圆心到直线距离 d=，|AB|=2，假设 k=1，则|AB|=，d=立，即充分性成立、，则OAB 的面积为=成假设OAB 的面积为 ，则

14、S=2=，即 k2+1=2|k|，即 k22|k|+1=0， 则|k|12=0，即|k|=1，故“k=1”是“OAB 的面积为 ”的充分不必要条件、解得 k=1，则 k=1 不成立，即必要性不成立、应选：A、点评：此题主要考察充分条件和必要条件的推断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键、7、5 分函数 fx=，则以下结论正确的选项是A、fx是偶函数 B、fx是增函数C、fx是周期函数 D、fx的值域为1，+分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项推断即可、解答：解：由解析式可知当 x0 时，fx=cosx 为周期函数， 当 x0 时，fx=x2+1，为二次函数

15、的一局部，故 fx不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性， 故可排解 A、B、C，对于 D，当 x0 时，函数的值域为1，1， 当 x0 时，函数的值域为1，+，故函数 fx的值域为1，+，故正确、应选：D、8、5 分在以下向量组中，可以把向量 =3，2表示出来的是C、=3，5，=6，10D、=2，3，=2，3A、=0，0，=1，2 B、=1，2，=5，2点评：此题考察分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属根底题、分析：依据向量的坐标运算，计算判别即可、解答：解：依据，选项 A：3，2=0，0+1，2，则 3=，2=2，无解，应选项 A 不能；选项 B：3，2=1，2+5，2，则 3=+5

16、，2=22，解得，=2， =1，应选项 B 能、选项 C：3，2=3，5+6，10，则 3=3+6，2=5+10，无解，应选项 C 不能、选项 D：3，2=2，3+2，3，则 3=22，2=3+3，无解，应选项 D 不能、应选：B、点评：此题主要考察了向量的坐标运算，依据列出方程解方程是关键，属于根底题、9、5 分设 P，Q 分别为圆 x2+y62=2 和椭圆+y2=1 上的点，则 P，QA、5B、+C、7+D、6两点间的最大距离是分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q 两点间的最大距离、圆 x2+y62=2 的圆心为0，6，半径为，解答：解：设椭圆上的点为x，y，则=

17、5， 椭 圆 上 的 点 x， y 到 圆 心 0， 6 的 距 离 为P，Q 两点间的最大距离是 5+=6、应选：D、点评：此题考察椭圆、圆的方程，考察学生分析解决问题的力气，属于根底题、10、5 分用 a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出假设干个球的全部取法可由1+a1+b的开放式 1+a+b+ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab” 则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，以下各式中，其开放式可用来表示从5 个无区分的红球、5 个无区分的蓝球、5 个有区分的黑球中取出假设干个球，且全部的蓝

18、球都取出或都不取出的全部取法的是 A、1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5 B、1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5 C、1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5 D、1+a51+b51+c+c2+c3+c4+c5分析：依据“1+a+b+ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，依据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决、球，共 6 种状况，则其全部取法为 1+c+c2+c3+c4+c5=1+c5，依据解答：解：从 5 个无区分的红球中取出假设干个球，可以 1 个球都不取

19、、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个球，共 6 种状况，则其全部取法为 1+a+a2+a3+a4+a5； 从 5 个无区分的蓝球中取出假设干个球，由全部的蓝球都取出或都不取出，得其全部取法为 1+b5；从 5 个有区分的黑球中取出假设干个球，可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个分步乘法计数原理得，适合要求的全部取法是1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5、应选：A、点评：此题主要考察了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例， 要遵循其规律，属于中档题、二、填空题：本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分、把答案填在答题卡的相应位

20、置11、4 分假设变量 x，y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最小值为 1、分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z 的最小值、解答：解：作出不等式对应的平面区域如图， 由 z=3x+y，得 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，由图象可知当直线 y=3x+z，经过点 A0，1时，直线y=3x+z 的截距最小，此时 z 最小、此时 z 的最小值为 z=03+1=1， 故答案为：1点评：此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、12、4 分在ABC 中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC 的面积等于 2、分析：利用三角形中的正弦定理

21、求出角 B，再利用三角形的面积公式求出ABC解答：解：ABC 中，A=60，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，的面积、，解得 sinB=1，ABC 的面积=、B=90，C=30，故答案为：、点评：此题着重考察了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积、正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等学问，属于根底题、13、4 分要制作一个容器为4m3，高为1m 的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 160 单位：元分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为 a，b， 本钱为 y，建立函数关系式，然后利

22、用根本不等式求出最值即可求出所求、解答：解：设池底长和宽分别为 a，b，本钱为 y， 则长方形容器的容器为 4m3，高为 1m，故底面面积 S=ab=4，y=20S+102a+b=20a+b+80，a+b2=4，故当 a=b=2 时，y 取最小值 160， 即该容器的最低总造价是 160 元， 故答案为：160点评：此题以棱柱的体积为载体，考察了根本不等式，难度不大，属于根底题、豆，则它落到阴影局部的概率为、14、4 分如图，在边长为ee 为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄分析：利用定积分计算阴影局部的面积，利用几何概型的概率公式求出概率、解答：解：由题意，y=lnx 与 y=ex 关于

23、y=x 对称，阴影局部的面积为 2eexdx=2exex=2，落到阴影局部的概率为、故答案为：、边长为 ee 为自然对数的底数的正方形的面积为 e2，点评：此题考察几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到、15、4 分假设集合a，b，c，d=1，2，3，4，且以下四个关系：a=1；b1；c=2；d4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组a，b，c，d的个数是 6、分析：利用集合的相等关系，结合a=1；b1；c=2；d4 有且只有一个是正确的，即可得出结论、解答：解：由题意，a=2 时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4； a=3 时，b=1，c=4，d=

24、2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4； a=4 时，b=1，c=3，d=2；符合条件的有序数组a，b，c，d的个数是 6 个、点评：此题考察集合的相等关系，考察分类争论的数学思想，正确分类是关键、16、13 分函数fx=cosxsinx+cosx 、三、解答题：本大题共 4 小题，共 80 分、解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤1假设 0，且 sin=，求 f的值；2求函数 fx的最小正周期及单调递增区间、分析：1依据题意，利用 sin 求出 cos 的值，再计算f的值；解答：解：10，且 sin=，2化简函数 fx，求出 fx的最小正周期与单调增区间即可、cos=，f=co

25、ssin+cos=+=；2函数 fx=cosxsinx+cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin2x+cos2x=sin2x+，fx的最小正周期为 T=；令 2k2x+2k+，kZ，解得 kxk+，kZ；fx的单调增区间为k，k+，kZ、点评：此题考察了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是根底题目、17、13 分在平面四边形ABCD 中，AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图、（1） 求证：ABCD；（2） 假设 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值、分析：1利用面面垂直的性质

26、定理即可得出；2建立如以下图的空间直角坐标系、设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，利用线面角的计算公式 sin=|cos|=即可得出、解答：1证明：平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，AB 平面ABD，ABBD，AB平面 BCD，又 CD 平面 BCD，ABCD、2解：建立如以下图的空间直角坐标系、B0，0，0，C1，1，0，A0，0，1，D0，1，0，M、=0，1，1，=1，1，0，=、AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD，设平面 BCM 的法向量 =x，y，z，则，令 y=1，则 x=1，z=1、 =1，1，1、设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 、则

27、sin=|cos|=、sin=|cos|=，考察了推理力气和空间想象力气，属于中档点评： 此题综合考察了面 面垂直的性 质定理、 线面角的计算公式题、18、13 分为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进展嘉奖，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球， 球上所标的面值之和为该顾客所获的嘉奖额、（1） 假设袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元， 求：顾客所获的嘉奖额为 60 元的概率；顾客所获的嘉奖额的分布列及数学期望；（2） 商场对嘉奖总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由

28、标有面值10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值20 元和 40 元的两种球组成、为了使顾客得到的嘉奖总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的嘉奖额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由、分析：1依据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的嘉奖额为 60 元的概率，依题意得 X 得全部可能取值为 20，60，分别求出 PX=60，PX=20，画出顾客所获的嘉奖额的分布列求出数学期望；2先争论，查找期望为60 元的方案，找到10，10，50，50，20，20，40，依题意，得 PX=60=，40两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决、解答：解：1设

29、顾客所猎取的嘉奖额为 X，即顾客所获得嘉奖额为 60 元的概率为 ，PX=60=，PX=20=，依题意得 X 得全部可能取值为 20，60，即 X 的分布列为PX6020所以这位顾客所获的嘉奖额的数学期望为 EX=20 +60 =402依据商场的预算，每个顾客的平均嘉奖额为 60 元，所以先查找期望为 60元的可能方案、对于面值由 10 元和 50 元组成的状况，假设选择10，10，10，50的方案，由于 60 元是面值之和的最大值，所以数学期望不行能为 60 元，假设选择50，50，50，10的方案，由于 60 元是面值之和的最小值，所以数学期望也不行能为 60 元，因此可能的方案是10，1

30、0，50，50记为方案 1，对于面值由 20 元和 40 元的组成的状况，同理可排解20，20，20，40和40， 40，40，20的方案，所以可能的方案是20，20，40，40，记为方案 2，以下是对这两个方案的分析：11对于方案 1，即方案10，10，50，50设顾客所猎取的嘉奖额为 X ，则 X 的分布列为PX1 的数学期望为 EX1=、X16020100X1 的方差 DX1=，22对于方案 2，即方案20，20，40，40设顾客所猎取的嘉奖额为 X ，则 X 的分布列为PX2 的数学期望为 EX2=60，X2406080X2 的方差 DX2=差 DX1=、由于两种方案的嘉奖额的数学期望

31、都符合要求，但方案 2 嘉奖额的方差比方案 1小，所以应中选择方案 2、点评：此题主要考察了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等根底学问，考察了数据处理力气，运算求解力气，应用意识，考察了必定与或然思想与整合思想、故 c=a，19、13 分双曲线E：=1a0，b0的两条渐近线分别为 l1y=2x，l2：y=2x、（1） 求双曲线 E 的离心率；分析：1依题意，可知 =2，易知 c=a，从而可求双曲线 E 的离心率；（2） 如图，O 点为坐标原点，动直线l 分别交直线 l1，l2 于 A，B 两点A，B 分别在第一、第四象限，且OAB 的面积恒为 8，摸索究：是否存在总与直线 l有

32、且只有一个公共点的双曲线 E？假设存在，求出双曲线E 的方程，假设不存在，说明理由、2由1知，双曲线E 的方程为=1，设直线 l 与 x 轴相交于点 C，分 lx 轴与直线 l 不与 x 轴垂直争论，当 lx 轴时，易求双曲线 E 的方程为=1、当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为 y=kx+m，与双曲线 E 的方程联立，利用由 SOAB=|OC|y1y2|=8 可证得：双曲线 E 的方程为=1，从而可得答案、所以 =2、所以=2、解答：解：1由于双曲线 E 的渐近线分别为 l1：y=2x，l2：y=2x，| |=8，即 m2=4|4k2|=4k24、从而双曲线 E 的离心率

33、e=、2由1知，双曲线E 的方程为=1、设直线 l 与 x 轴相交于点 C，所以 |OC|AB|=8，因此 a4a=8，解得 a=2，此时双曲线 E 的方程为=1、当 lx 轴时，假设直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E 的方程为=1 也满足条件、则 C ，0，记 Ax1，y1，Bx2，y2，由得 y1=，同理得 y2=，由 SOAB=|OC|y1y2|得：设直线 l 的方程为 y=kx+m，依题意，得 k2 或 k2；由得：4k2x22kmxm216=0，由于 4k20，所以=4k2m2+44k2m2

34、+16=164k2m216，又由于 m2=4k24，因此，存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为=1、所以=0，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点、点评：此题考察双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等根底学问， 考察抽象概括力气、推理论证力气、运算求解力气，考察特别与一般思想、数形结合思想、分类争论思想、函数与方程思想、在 2123 题中考生任选 2 题作答，总分值 21 分.假设多做，则按所做的前两题计分. 作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修 42 ：矩阵与变换20、14 分函数 fx=

35、exaxa 为常数的图象与 y 轴交于点 A，曲线y=fx在点 A 处的切线斜率为1、（1） 求 a 的值及函数 fx的极值；（2） 证明：当 x0 时，x2ex；（3） 证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 xx0，+时，恒有x2cex、分析：1利用导数的几何意义求得 a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；3首先可将要证明的不等式变形为 x2ex，进而觉察当 x 时， x2 x3，2构造函数gx=exx2，求出导数，利用1问结论可得到函数的符号， 从而推断 gx的单调性，即可得出结论；因此问题转化为证明当 x0，+时，恒有 x3ex、解答：解：1由 fx=exax，得 fx=

36、exa、又 f0=1a=1，解得 a=2，fx=ex2x，fx=ex2、由 fx=0，得 x=ln2，当 xln2 时，fx0，fx单调递减；当 xln2 时，fx0，fx单调递增；当 x=ln2 时，fx有微小值为fln2=eln22ln2=2ln4、fx无极大值、2令 gx=exx2，则 gx=ex2x，由1得，gx=fxfln2=eln22ln2=2ln40，即 gx0，3首先证明当 x0，+时，恒有 x3ex、当 x0 时，gxg00，即 x2ex；令 hx=x3ex，则 hx=x2ex、证明如下：由2知，当 x0 时，x2ex，所以 hxh0=10，即 x3ex，从而 hx0，hx在

37、0，+单调递减，取 x0=，当 xx0 时，有x2 x3ex、因此，对任意给定的正数 c，总存在 x ，当 xx ，+时，恒有 x2cex、00点评：该题主要考察导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等根底学问，考察学生的运算求解力气、推理论证力气、抽象概括力气，考察函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、属难题、21、7 分矩阵A 的逆矩阵 A1=、（1） 求矩阵 A；（2） 求矩阵 A1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、分析：1利用 AA1=E，建立方程组，即可求矩阵 A；解答：解：1设 A=，则由 AA1=E 得=，2先依据特征值的定义列出特征多项式，令f=0 解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量、解得 a=，b= ，c= ，d=，所以 A=；2矩阵 A1 的特征多项式为f=221，令 f=221=0，可求得特征值为 =1， =3，设 1=1 对应的一个特征向量为 =，12则由 1=M，得 x+y=0所以矩阵 M 的一个特征值 1=1 对应的一个特征向量为，同理可得矩阵 M 的一个特征值 2=3 对应的一个特征向量为、得 x=y，可令 x=1，则 y=1，点评：此题考察逆变换与逆矩阵，考察矩阵特征值与特征向量的计算等根底学问，属于根底题、