双曲线及其标准方程（第1课时）.ppt

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1、2.3.1 2.3.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程（第一课时）（第一课时）1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的实验探究实验探究两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距.F2F1M 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数 的点的轨迹叫做的点的

2、轨迹叫做双曲线双曲线.（小于（小于F1F2且大于零）且大于零）注意注意一、定义一、定义|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=2a(|=2a(02a|F1F2|)|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=2a(|=2a(02a|F1F2|)当当02a|F1F2|时时双曲线双曲线两条射线两条射线无轨迹无轨迹MM在右支上在右支上在右支上在右支上MM在左支上在左支上在左支上在左支上.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式|MF1|-|MF2|=2a双曲线冷却塔工程双曲线冷却塔工程F2F1MxOy二、求双曲线方程二、求双曲线方程 取过焦点取过焦点F1、F2的直线为的直线为x x轴，取轴，取线段

3、线段F1、F2的中垂线为的中垂线为y y轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系（如右图）。直角坐标系（如右图）。设曲线上任一点为设曲线上任一点为M M（x,yx,y），），|F1F2|=2c,|=2c,则则,F1(-c,0),(-c,0),F F2 2(c,0).(c,0).2 2、找等量关系（列式）找等量关系（列式）4 4、化简化简3 3、代换代换|MF1|-|MF2|=2a1 1、建系设点建系设点将方程移项再平方将方程移项再平方两边再平方得：两边再平方得：由双曲线定义知：由双曲线定义知：2c2a0即即ca0，c2 a20设设 c2 a2=b2 得：得：b2x2-a2y2=a2b2两边同两边同除

4、以除以a2b2得：得：这叫双曲线的这叫双曲线的标准方程。标准方程。焦点坐标：焦点坐标：F1(0,-c)，F2(0,c)思考：思考：若取过焦点若取过焦点F1、F2的直线为的直线为y y轴，取线段轴，取线段F1、F2的中垂线为的中垂线为x x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系,双曲线双曲线的方程会发生怎样的变化？的方程会发生怎样的变化？这叫双曲线的这叫双曲线的标准方程。标准方程。yxoF2F1F2F1MxOyOMF2F1xy三、双曲线的标准方程三、双曲线的标准方程c2=a2+b2判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。答案：答案：

5、回顾回顾2:2:已知一已知一椭圆椭圆的标准方程如何确定焦点位置？的标准方程如何确定焦点位置？焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上椭椭 圆圆 看看 分分 母母 大大 小小双双 曲曲 线线 看看 系系 数数 正正 负负思考思考:若已知若已知双曲线双曲线的标准方程如何确定焦点位置？的标准方程如何确定焦点位置？回顾回顾1 1：椭圆椭圆 的标准方程可以看作的标准方程可以看作双曲线双曲线的的标准方程可以看作两个分式的平方标准方程可以看作两个分式的平方差差等于等于1 1；两个分式的平方两个分式的平方和和等于等于1 1；(1)(1)焦点焦点 的坐标为的坐标为(2)(2)若点是双曲线上的一点，已

6、知若点是双曲线上的一点，已知则则(3)(3)若点是双曲线右支上的一点，已知若点是双曲线右支上的一点，已知则则(4)(4)点在双曲线的左支上，在点在双曲线的左支上，在 中，中，则三角形的周长为则三角形的周长为双曲线的标准方程为：双曲线的标准方程为：P|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=6=2a=6yxoP(5,0)4 4或或16162 2|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=6|=6|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=-2a=-6|=-2a=-6|PF|PF2 2|=9|=9|F|F1 1F F2 2|=2c=10|=2c=102222例例1:1:已知双曲

7、线的焦点为已知双曲线的焦点为F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0)(5,0)，双曲线上一，双曲线上一点点P P到到F F1 1、F F2 2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6 6，求双曲线的标准，求双曲线的标准方程方程.2 2a a=6,=6,c=5c=5 a a=3,c=5=3,c=5 b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=25-9=16=25-9=16所求双曲线的标准方程为：所求双曲线的标准方程为：所求双曲线的标准方程为：所求双曲线的标准方程为：由题可知双曲线的焦点在由题可知双曲线的焦点在由题可知双曲线的焦点在由题可知双曲线的焦点在 x x 轴上轴上轴

8、上轴上解解:焦距为焦距为1010它的标准方程应为：它的标准方程应为：它的标准方程应为：它的标准方程应为：“先定位后定量，若不能定位则有两种先定位后定量，若不能定位则有两种可能可能”1、写出适合下列条件的双曲线的标准方程写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1)1)焦点在焦点在x x轴上轴上a=4 ，b=3；解：双曲线的标准方程为解：双曲线的标准方程为:双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:解：解：补充题：补充题：2)2)焦点在焦点在x x轴上，经过点轴上，经过点 ，解：解：设方程为：设方程为：把已知两点代入方程得：把已知两点代入方程得：解得：解得：双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:(教材教材

9、5555页页)定义定义图形图形标准方程标准方程焦点焦点a a、b b、c c之之间的关系间的关系如何判断双如何判断双曲线位置？曲线位置？(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)c2=a2+b2|MF1|-|MF2|=2aF2F1MxOyOMF2F1xy看系数的正负看系数的正负1 1、2.3A2.3A组组(课本第课本第6161页页)1)1，2 22 2、课后思考、课后思考1、写出适合下列条件的双曲线的标准方程写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1)1)焦点在焦点在x x轴上轴上a=4 ，b=3；解：双曲线的标准方程为解：双曲线的标准方程为:双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:解：解：补充题

10、：补充题：2)2)焦点在焦点在x x轴上，经过点轴上，经过点 ，解：解：设方程为：设方程为：把已知两点代入方程得：把已知两点代入方程得：解得：解得：双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为:时间时间时间时间数学家数学家数学家数学家著作及成就著作及成就著作及成就著作及成就双双曲曲线线发发展展史史公元前公元前公元前公元前4 4世纪世纪世纪世纪钝角圆锥曲线钝角圆锥曲线钝角圆锥曲线钝角圆锥曲线（双曲线雏形）（双曲线雏形）（双曲线雏形）（双曲线雏形）门内马斯门内马斯门内马斯门内马斯公元前公元前公元前公元前3 3世纪世纪世纪世纪后半叶后半叶后半叶后半叶16371637年年年年16291629年年年年阿波罗尼斯

11、阿波罗尼斯阿波罗尼斯阿波罗尼斯圆锥曲线论圆锥曲线论圆锥曲线论圆锥曲线论一书中，系一书中，系一书中，系一书中，系统地阐述了双曲线的定义，统地阐述了双曲线的定义，统地阐述了双曲线的定义，统地阐述了双曲线的定义，几乎将全部性质网罗殆尽而几乎将全部性质网罗殆尽而几乎将全部性质网罗殆尽而几乎将全部性质网罗殆尽而永垂史册。永垂史册。永垂史册。永垂史册。方法论方法论方法论方法论 附录三：附录三：附录三：附录三：几何几何几何几何学学学学中，提出了坐标法。中，提出了坐标法。中，提出了坐标法。中，提出了坐标法。笛卡儿笛卡儿笛卡儿笛卡儿费马费马费马费马平面与立体轨迹引论平面与立体轨迹引论平面与立体轨迹引论平面与立体

12、轨迹引论（16791679年出版）得到了相当年出版）得到了相当年出版）得到了相当年出版）得到了相当于今天形式的方程。于今天形式的方程。于今天形式的方程。于今天形式的方程。定定 义义标标 准准方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关系的关系x x2 2a a2 2-y y2 2b b2 2=1 1x x2 2y y2 2a a2 2+b b2 2=1=1F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，c2=a2-b2双曲线双曲线与与椭圆椭圆之间的区别与联系：之间的区别与联系：M|MF1|-|MF2|=2a M|MF1|+|MF2|=2ax x2 2a a2

13、 2+y y2 2b b2 2=1 1椭椭 圆圆双曲线双曲线y y2 2x x2 2a a2 2-b b2 2=1 1F（0，c）F（0，c）(ab0)(a0,b0)2、求证、求证:双曲线双曲线 与椭圆与椭圆 的焦点相同的焦点相同.证明：证明：由方程由方程 ，即，即 可得：可得：a a2 2=15,b=15,b2 2=1=1c c c c2 2 2 2=a a a a2 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2 =15+1=16 =15+1=16 =15+1=16 =15+1=16 即即即即 c=4c=4c=4c=4由方由方程可知程可知两个两个曲线的焦点都在曲线的焦点都在x轴上轴上又由方程又由方程 可得：可得：a a2 2=25,b=25,b2 2=9=9c c c c2 2 2 2=a a a a2 2 2 2-b-b-b-b2 2 2 2 =25-9=16 =25-9=16 =25-9=16 =25-9=16 即即即即 c=4c=4c=4c=4又又 c 相同，因此焦点相同。相同，因此焦点相同。