2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决坡角、坡比问题试题 （新版）青岛版.doc

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1、1解决坡角、坡比问题解决坡角、坡比问题坡度、坡角坡度、坡角 1. 坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比） ，记作 ihl。2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 ，且i tan。h lABChl 方法归纳：方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角 越小，坡面越缓。 总结：总结： 1. 理解坡度、坡角的有关概念。 2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。例题例题 如图，某地计划在坡比为i1：4 的山坡 OP（OQ 为地面水平线）上逐排建造楼 房 AB、CD 等。已知楼高（AB、CD 等）均为 20 米，又

2、知该地在冬季正午时太阳光线（图示 箭头方向）与地面所成的角最小为 40。 （1）求斜坡 OP 的坡角的度数； （2）为使冬季正午时后面的楼（CD）完全不被前面一幢楼（AB）挡住阳光，问两楼间 的斜坡距离 BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到 0.1 米） （以下数据供选用：sin14300.25，tan140.25，cos75 300.25，cos140.97，tan400.84）解解析析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数（2）可过 D 作 OQ 的平行线，延长 AB 与平行线相交于点 H，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。答答案案：（1）坡比为i1：4，即 tanPOQ

3、 0.25，斜坡 OP的坡角的度数为1 4 14。 （2）如图，过 D 作 OQ 的平行线，交 AB 的延长线于点 H，设 BH 为x，则2AH20x，DHBHtanPOQ4x，由题意可知，（20x）：4x0.84，解得x8.47，即 BH8.47，DH4x33.9，BD35.0（米），即两楼间的斜DH cos1433.9 0.97 坡距离 BD 至少为 35.0 米。点拨：点拨：此题主要考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，比较复 杂，解题关键是构造直角三角形表示出坡度。利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：审题按题意画出正确的示意图，弄清已知和未知。转化将已知条件转化为示

4、意图中的边、角或它们之间的关系，把 实际问题转化为解直角三角形的问题。如果没有现成的直角 三角形，可通过作辅助线构造直角三角形。求解根据直角三角形元素之间的关系解有关的直角三角形。满分训练满分训练 如图，一人行天桥的高是 10 米，坡面 CA 的坡角为 30，为了方便行人推 车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 CD 的坡角为 18。 （1）求新坡长 CD；（精确到 0.01 米） （2）求原坡脚向外延伸后 DA 的长；（精确到 0.01 米） （3）若需留 DE 为 4 米的人行道，问离原坡脚 A 处 15 米的花坛 E 是否需要拆除？ （参考数据 sin180.309；cos180.95

5、1；tan180.325）解解析析：（1）根据所给角的正弦，可求出 CD。（2）先由三角函数求出 AB、DB，再利用 DADBAB 求出 AD 的长。（3）同（2）即可。答答案案：（1）在 RtDBC 中，sin18，CD32.36（米），CB CDCB sin1810 0.309 新坡长约为 32.36 米。（2）在 RtABC 中 tan30，AB1017.32（米）。在 RtCDBCB ABCB tan303中 tan18，DB30.77（米）。CB DBCB tan1810 0.325 DADBAB30.7717.3213.45（米），原坡脚向外延伸约 13.45 米。 （3）AE15

6、，DA13.45，DE4，DEDAAE，离原坡脚 15 米的花坛应拆除。3点拨：点拨：本题可借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到 0.01 米的要 求。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟） 一、选择题一、选择题 1. 河堤横断面如图所示，堤高 BC6 米，迎水坡 AB 的坡比为 1：，则 AB 的长为（ 3） A. 12 米B. 4米C. 5米D. 6米3332. 如图，将一个 RtABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木 桩向上运动。已知楔子斜面的倾斜角为 15，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示）， 则木桩上升了（ ）A. 6sin

7、15cmB. 6cos15cmC. 6tan15cmD. cm6 tan15*3. 如图，一网球从斜坡的点 O 抛出，网球的抛物线为y4xx2，斜坡 OA 的坡度1 2 i1：2，则网球在斜坡的落点 A 的垂直高度是（ ）A. 2B. 3.5C. 7D. 8*4. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时 测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米。已知斜坡的坡角为 30，同一时刻，一 根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（ ） A. （6）米B. 12 米3C. （42）米D. 10 米34二、填空题二、填空题 5

8、. 若一辆 QQ 车的最大爬坡度数为 45，有一段斜坡路的坡度为 1.3：1，则这辆车 _（填“能”或“不能”）在这段斜坡上行驶。 *6. 如图是某工厂货物传送带的平面示意图。为提高传送过程的安全性，工厂计划改造 传送带与地面的夹角，使其由原来的 45减小为 30。已知原传送带 AB 长为 6 米，那么 新传送带 AC 的长为_米。*7. 一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形 DEFH 的边长为 1 米， 坡角A30，B90，BC3 米，则：（1）AC 的长是_米；（2）当正方 体 DEFH 运动到什么位置，即当 AE_米时，有 DC2AE2BC2。*8. 九年级某班开展数学活

9、动，活动内容为测量如图所示的电杆 AB 的高度。在太阳光 的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平 面上的小明的影子为 DG，已知斜坡的倾角FEH30， CD1.6m，DG0.8m，BE2.1m，EF1.7m，则电杆的高约为_m。（精确到 0.1，参考数据：1.41，1.73）23三、解答题三、解答题 9. 某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由 1：1.8 改为 1：2.4（如图）。如果改动后电梯的坡面长为 13 米，求改动后电梯水平宽度增加部分 BC 的长。5*10. 我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大

10、坝进行混 凝土加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位。如图是某一段坝体加 高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡角BAE68，新坝体的高为 DE，背水坡坡角DCE60。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC（结果精 确到 0.1 米。参考数据：sin680.93，cos680.37，tan682.50，1.73）。3*11. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡 的坡度，即 tan 的值。测量员在山坡 P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔， 测得塔尖 C 的仰角为 37，塔底 B 的仰角为 26.6

11、。已知塔高 BC80 米，塔所在的山高 OB220 米，OA200 米，图中的点 O、B、C、A、P 在同一平面内，求山坡的坡度。 （参考 数据 sin26.60.45，tan26.60.50；sin370.60，tan370.75）*12. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60。沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度i1：，AB10 米，AE15 米。（i1：是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽33度 AH 的比） （1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； （2）求广告牌 CD

12、 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据： 1.414，1.732）23671. A 解析：RtABC 中，BC6 米，BC：AC1：，则3ACBC6，AB12（米）。33AC2 + BC262 + （63）22. C 解析：tan15。木桩上升了 6tan15cm。故选 C。木桩上升的高度 水平移动的距离 3. B 解析：斜坡 OA 的坡度i1：2，设 A 的坐标是（2x，x），把 A 的坐标代入抛物线y4xx2得：x8x （2x）2，解得：x3.5，x0（舍去），即网球在斜坡1 21 2 的落点 A 的垂直高度是 3.5，故选 B。 4. A 解析：延长 AC 交 B

13、F 延长线于 D 点，则CFE30，作 CEBD 于 E，在 RtCFE 中，CFE30，CF4m，CE2（米），EF4cos302（米），在 RtCED 中，3同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米， CE：DE1：2，DE4（米），BDBFEFED122（米），在 RtABD 中，3AB BD （122）（6）米。1 21 2335. 不能 解析：斜坡路的坡度为 1.3：1，坡角的正切值 tan1.3tan45，即 坡角大于 45，所以这辆车不能在这段斜坡上行驶。 6. 6 解析：如图，过点 A 作 ADCB，交 CB 的延长线于点 D。ABD45，2AC

14、D30，AB6 米，在 RtABD 中，ADABsinABD63米，在 Rt222ACD 中，AC6米。AD sinACD27. （1）6（2） 解析：（1）坡角A30，B90，BC3 米，7 3 AC2BC6 米；（2）如图，连接 CD，假设 AEx，可得 EC6x，正方形 DEFH 的 边长为 1 米，即 DE1 米，DC2DE2EC21（6x）2，AE2BC2x29，DC2AE2BC2，1（6x）2x29，解得：x 米。7 38. 8.0 解析：延长 AF 交 BH 于点 N，过点 F 作 FMBH 于点 M，FEH30， EF1.7m，FM0.85m，EMEFcos301.47m，由题

15、意可得8ABFM，CD1.6m，DG0.8m，MN0.425m，BE2.1m，FM MNCD DG0.85 MN1.6 0.8BN2.11.470.4253.995（m），解得：AB8.0（m）。AB BNCD DGAB 3.9951.6 0.89. 解：在 RtADC 中，AD：DC1：2.4，AC13，由 AD2DC2AC2，得 AD2（2.4AD）2132。AD5（负值不合题意，舍去）。DC12在 RtABD 中， AD：BD1：1.8，BD51.89。BCDCBD1293（米）。答：改动后电梯 水平宽度增加部分 BC 的长为 3 米。 10. 解：在 RtBAE 中，BE162 米，B

16、AE68，AE64.8（米），在 RtDCE 中，DE176.6 米，DCE60，BE tan68162 2.50CE102.1（米），则 ACCEAE102.164.837.3（米）DE tan60176.63176.6 1.73 。答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC约为 37.3 米。 11. 解：如图，过点 P 作 PDOC 于 D，PEOA 于 E，则四边形 ODPE 为 矩形。在 Rt PBD 中，BDP90，BPD26.6，BDPDtanBPDPDtan26.6；在 Rt CPD 中，CDP90，CPD37，CDPDtanCPDPDtan37； CDBDBC，PDta

17、n37PDtan26.680，0.75PD0.50PD80，解得 PD320，BDPDtan26.6 3200.50160，OB220，PEODOBBD60，OEPD320，AEOEOA320200120，tan0.5，坡度为 1：2PE AE60 12012. 解：（1）过 B 作 BGDE 于 G，RtABH 中，itanBAH，BAH30，BH AB5；（2）由（1）得：13331 2 BH5，AH5，BGAHAE515，RtBGC 中，CBG45，CGBG53315。RtADE 中，DAE60，3AE15，DEAE15CDCGGEDE51551520102.333337m。 答：广告牌 CD 约高 2.7 米。9