2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决仰角、俯角问题试题 （新版）青岛版.doc

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1、1解决仰角、俯角问题解决仰角、俯角问题仰角、俯角仰角、俯角1. 铅垂线：重力线方向的直线；2. 水平线：垂直于铅垂线的直线；3. 仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角；4. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。AOBCD铅 垂 线仰角 俯角水平线视线视线方法归纳：（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯” ；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。总结：1. 能够分清仰角和俯角，正确解答与仰角和俯角有关的三角函数问题。2. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。例题例题 我国为了维护

2、对钓鱼岛（点 P）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航。在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（APBD） ，当轮船航行到距钓鱼岛 20km 的 A 处时，飞机在 B 处测得轮船的俯角是 45；当轮船航行到 C 处时，飞机在轮船正上方的 E 处，此时 EC5000m。轮船到达钓鱼岛 P 时，测得 D 处的飞机的仰角为 30。试求飞机的飞行距离 BD（结果保留根号） 。解解析析：作 AFBD，PGBD，在 RtABF 和PDG 中分别求出 BF、GD 的值，由BFFGDG 求 BD 的长。答答案案：作 AFBD，PGBD，垂足分别为 F、G，由题意得：AFPGCE5000m，FGAP20km，在

3、 RtAFB 中，B45，则BAF45，BFAF5。APBD，DDPH30，在 RtPGD 中，tanD，即 tan30，GP GD5 GD2GD5，则 BDBFFGDG5205255（km） 。333答：飞机的飞行距离 BD 为 255km。3点拨：点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，虽然难度一般，但非常具有代表性。用三角函数测量建筑物的高度，常见类型如下：（1）l，hltan；h tan（2）l，hl；h tanh tantantan tantan（3）l，hl。h tanh tantantan tantanABC hlABC

4、 hlD ABC hlD 图1图2图3满分训练满分训练 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（）sincoscossin；tan（）。tan tan 1tantan利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值。例：tan15tan（4530）2。tan45tan30 1tan45tan3013311 3333333根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题：（1）计算：sin15；（2）乌蒙铁塔是六盘水市的标志性建筑物之一（图 1） ，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图 2，小华站在离塔底 A 距离 7 米的 C 处，测得塔顶的仰角为 75，小华的

5、眼睛离地面的距离 DC 为 1.62 米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度。 （精确到 0.1 米，参考数据：1.732，1.414） 。323解解析析：（1）把 15化为 4530以后，再利用公式 sin（）sincoscossin 计算，即可求出 sin15的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出 BE 的长，再根据 ABAEBE 计算塔高。答答案案：（1）sin15sin（4530）sin45cos30cos45sin30 ；2232221 26424624（2）在 RtBDE 中，BED90，BDE75，DEAC7 米，BEDEtanBDEDEtan75。tan75tan（4530）2ta

6、n45tan30 1tan45tan3013311 333333，3BE7（2）147，ABAEBE1.6214727.7（米） 。333答：乌蒙铁塔的高度约为 27.7 米。点拨：点拨：本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，以及特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30，看这栋高楼底部 C 的俯角为 60，热气球 A 与高楼的水平距离为 210m，这栋高楼 BC 的高度为（ ）A. 70

7、mB. 210mC. 280mD. 160m33334*2. 如图，测量队为了测量某地区山顶 P 的海拔高度，选 M 点作为观测点，从 M 点测量山顶 P 的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为 30，在比例尺为 1：50000的该地区的等高线地形图上，量得这两点的图上距离为 6 厘米，则山顶 P 的海拔高度为（ ）A. 1732 米B. 1982 米C. 3000 米D. 3250 米*3. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角 为 60，又从 A 点测得 D 点的俯角 为 30，若旗杆底点 G 为BC 的中点，则矮

8、建筑物的高 CD 为（ ）A. 20 米B. 10米C. 15米D. 5米336*4. 如图，在一个房间内，有一把梯子 MC 斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA为a米，此时梯子的倾斜角为 75，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离 NB 为b米，梯子的倾斜角为 45，则这间房子的宽 AB 为（ ）A. 米B. 米C. b米D. a米a + b 2ab 2二、填空题5. 九年级三班的小亮同学学习了“测量物体的高度”这节课后，他为了测得如图所放风5筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点 A 处安置测倾器，测得风筝 C 的仰角CBD60；（2）根据手中剩

9、余的线的长度求出风筝线 BC 的长度为 70 米；（3）量出测倾器的高度 AB1.5 米。根据测量数据，计算出风筝的高度 CE 约为_米。（精确到 0.1 米，1.73）36. 如图 1 所示，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，另一端系一个小重物，制成简单的测角仪，若细线正好和 60重合，则此时的仰角 是_，若细线所在位置刻度模糊，请在图 2 中添加一条直线，就能求出此时的仰角 。*7. 某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度，如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60，在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为 3

10、 米，则旗杆 AB 的高度为_米。*8. 如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30，则小山东西两侧 A、B 两点间的距离为_米。6三、解答题9. 国家海洋局将中国钓鱼岛的最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图 1，在一次巡航过程中，巡航飞机的飞行高度为 2001 米，在点 A 测得高华峰顶 F点的俯角为 30，保持方向不变前进 1200 米到达 B 点后测得 F 点的俯角为 45，如图2。请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（

11、结果保留整数，参考数值：1.732，1.414）32*10. （舟山中考）某学校的校门是伸缩门（如图 1） ，伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为 30 厘米。校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60（如图 2） ；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60缩小为 10（如图 3）。问：校门打开了多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin50.0872，cos50.9962，sin100.1736，cos100.9848） 。*11. 小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼。为了测量点 P 到对面办公大楼上部AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45，测得办公大楼底

12、部点 B 的俯角为60，已知办公大楼高 46 米，CD10 米。求点 P 到 AD 的距离（用含根号的式子表示） 。*12. 小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在 A 处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角ACE。第二步：小红量得测点 D 处到树底部 B的水平距离 BDa。7第三步：量出测角仪的高度 CDb。之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图。请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：ab第一次第二次第三次平均值（2）根

13、据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度 AB（参考数据：1.732，31.414，结果保留 3 个有效数字）。281. C 解析：过 A 作 ADBC，垂足为 D。在 RtABD 中，BAD30，AD210m，BDADtan3021070m。在 RtACD 中，CAD60，333AD210m，CDADtan60210210m，BCBDCD702102803333m，故选 C。32. B 解析：两点的图上距离为 6 厘米，比例尺为 1：50000，两点间的实际距离为：63000 米，从 M 点测量山顶 P 的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）1 50000为 30，MP3000tan30

14、30001732 米，点 M 的海拔为 250 米，山顶 P33的海拔高度为17322501982 米。故选 B。3. A 解析：根据题意可知：GEABCD，BC2GC，GE15 米，AB2GE30 米。过点D 作DF 垂直于过 A 点的水平线于点 F，则 AFBCABtanACB3010米，33DFAFtan301010 米，CDABDF301020 米。3334. D 解析：过 N 点作 MA 的垂线，垂足为点 D，连接 NM。MCN180MCANCB180754560，MCNC，MNC 是等边三角形，MNMC，MNC60。MNDMNCDNC，而DNCNCB45，MND604515。在 R

15、tMND 中，DNMNcosMNDMNcos15。在 RtMCA 中，MCA75，AMC15，AMMCcos15。ABDNAMa（米）。本题也可证明MNDCMA。5. 62.1 解析：在 RtCBD 中，DCBCsin607060.55。AB1.5，CE60.551.562.1（米）。326. 30，如图所示：作线段 BA 关于 BC 的对称线段，对称线段所在的直线即是需要添加的直线，读出ABF 的度数，90 ABF。 （也可过点 B 作 AC 的平行线）1 297. 9 解析：过 B 作 BECD 于点 E，设旗杆 AB 的高度为x，在 RtABC 中，tanACB，所以 ACx，在 RtB

16、DE 中，AB ACAB tanACBx tan60x333BEACx，BDE60，tanBDE，所以 DEx，因为 CEABx，33BE DEBE tanBDE1 3所以 DCCEDExx6，所以x9，故旗杆的高度为 9 米。1 38. 750 解析：如图（略），过点 A 作 ADBC，垂足为 D，在 RtACD 中，2ACD753045，AC3025750（米），ADACsin45375（米）。2在 RtABD 中，B30，AB2AD750（米）。29. 解：设 CFx，在 RtACF 和 RtBCF 中，BAF30，CBF45，BCCFx，tan30，即 ACx，ACBC1200，xx1

17、200，解得：CF AC33x600（1），则 DFhx2001600（1）362（米）。答：钓鱼岛的最高33海拔高度约 362 米。10. 解：如题图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD。根据题意，得BAD60，AB0.3 米。在菱形 ABCD 中，ABAD，BAD 是等边三角形，BDAB0.3 米，大门的宽是 0.3206（米） ；校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1。根据题意，得B1A1D110，A1B10.3 米。在菱形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1，设 A1C1与 B1D1相交于点O1，则B1A1O15，在 RtA1B1O1中，B1O1sinB1A1O1A1B1si

18、n50.30.02616（米） ，B1D12B1O10.05232 米，伸缩门的宽是：0.05232201.0464 米。校门打开的宽度为：61.04644.95365（米） 。故校门打开了 5 米。11. 解：延长 BC 交 PM 于点 E，在 RtBEP 中，BPE60BEPEtan60PE。在 RtAMP 中，APM45，AMPMPEEMPECDPE10。又楼高3AMBE，PE10PE46，PE18（1） ，PMPEEM18（1）33310188，即点 P 到 AD 的距离为（188）米。3312. 解：（1）填写表格如图：ab第一次15.711.3129.5第二次15.831.3330.8第三次15.891.3229.7平均值15.811.3230（2）过 C 作 CEAB 于 E，则四边形 EBDC 是矩形，CEBDa，BECDb，在 RtAEC中，30，a15.81，AEBEtan3015.819.128（米），则3310ABAEEB9.1281.3210.44810.4（米）。答：风筝的高度 AB 为 10.4 米。