2019九年级数学上册 专题突破讲练 四点共圆问题大盘点试题 （新版）青岛版.doc

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1、1四点共圆问题大盘点四点共圆问题大盘点1.1. 四点共圆的性质：四点共圆的性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。2.2. 四点共圆常用的判定方法：四点共圆常用的判定方法： 判定判定 1 1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。 2如果：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。 判定判定 2 2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直 径。 如果：ABD和BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。 判定判定 3 3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，

2、则四个顶点共圆。 如果：A、D在公共边BC同侧，且A=D，则A、B、C、D四点共圆。 判定判定 4 4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则 A、B、C、D四点共圆。 3如果：1+2=180或1=3，则A、B、C、D四点共圆。 判定判定 5 5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PAPC=PBPD，则 A、B、C、D四点共圆。 （相交弦定理的逆定理）例题例题 （郑州模拟）如图，在正ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE 相交于点 F。31 32（1）求证：A、E、F、D四点共圆； （2）若正ABC的边

3、长为 2，求A、E、F、D所在圆的半径。解析：解析：（1）依题意，可证得BADCBE，从而得到ADB=BECADF+AEF=180，即可证得A，E，F，D四点共圆；（2）取AE的中点G，连接GD，可证得AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是32AED外接圆的圆心，且圆G的半径为。324答案：答案：（1）证明：AE=AB，32BE=AB，31在正ABC中，AD=AC，31AD=BE， 又AB=BC，BAD=CBE， BADCBE， ADB=BEC， 即ADF+AEF=180，所以A，E，F，D四点共圆。 （2）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，1 2AE=AB，32

4、AG=GE=AB=，1 332AD=AC=，DAE=60，AB=AC1 332AGD为正三角形，GD=AG=AD=，即 GA=GE=GD=，32 32所以点 G 是AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为，32由于 A，E，F，D 四点共圆，即 A，E，F，D 四点共圆 G，其半径为。32点拨：点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算 能力的考查，属于难题。【方法定位方法定位】 将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现， 适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。也就是说，四 点共圆有时在解（证）题中起着“

5、搭桥铺路”的作用。5例题例题 （河南模拟）如图：AB是O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是O的 割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作O的切线， 切点为H。 （1）求证：C，D，E，F四点共圆； （2）若GH=6，GE=4，求EF的长。解析：解析：（1）连接 DB，利用 AB 是O 的直径，可得ADB=90，在 RtABD 和 Rt AFG 中，ABD=AFE，又同弧所对的圆周角相等可得ACD=ABD，进而得到ACD=AFE 即可证明四点共圆； （2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GEGF=GCGD。由GH是O的 切线，利用切割线定理可得GH2

6、=GCGD，进而得到GH2=GEGF。即可 答案：答案： 证明：（1）连接 DB，AB 是O 的直径，ADB=90， 在 RtABD 和 RtAFG 中，ABD=AFE， 又ABD=ACD，ACD=AFE。 C，D，E，F四点共圆； （2）C，D，E，F四点共圆，GEGF=GCGD。 GH是O的切线，GH2=GCGD，GH2=GEGF。 又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。 EF=GFGE=94=5。点拨：点拨：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切 割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及知识点较全面。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟） 一、

7、选择题一、选择题 1. 锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成 四点共圆的组数是（ ）A. 4 组 B. 5 组C. 6 组D. 7 组 2. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD 边的中点，下列说法： 当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。6当ACBD时，M、E、N、F四点共圆。 当AC=BD且ACBD时，M、E、N、F四点共圆。 其中正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100、40，则P的度数为（

8、）A. 40B. 35 C. 60D. 30 4. （高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，CM切O于点 C，BCM=60，则B的正切值是（ ）A. B. C. D. 1 23 32 235. 已知Pi（i=1，2，3，4）是抛物线y=x2+bx+1 上共圆的四点，它们的横坐标分别为 xi（i=1，2，3，4） ，又xi（i=1，2，3，4）是方程（x24x+m） （x24x+n）=0 的根，则 二次函数y=x2+bx+1 的最小值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4二、填空题二、填空题 6. 如图，在ABC中，AD，BE分别是A，B的角平分线，O是AD与BE的交点

9、，若 C，D，O，E四点共圆，DE=3，则ODE的内切圆半径为 。77. （济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76，则CBD= 度。8. 已知ABC的中线AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四点共圆，则CK= 3。*9. 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB 与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆。若DB=BE=EA，则过 B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 。三、解答题三、解答题 10. （太原模拟）如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分 别为B、C，

10、DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。ADDC，D为垂足。 （1）求证：A、D、F、B四点共圆； （2）求证：EF=FB。8*11. （贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，ADOP于D点，过点P作圆O 的割线与圆O相交于B，C两点。 （1）证明：O、D、B、C四点共圆。 （2）设OPC=30，ODC=40，求DBC的大小。*12. （长春模拟）如图，在ABC中，C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K 和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。 （1）求证：E、H、M、K四点共圆； （2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。9一、选

11、择题一、选择题1. C 解析：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E） ， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D） ， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E） ， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B） ， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C） ， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C） ， 共 6 组。 故选C。2. C 解析：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示， 点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，EMBDN

12、F，ENACMF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，1 21 2 四边形ENFM是平行四边形， 当AC=BD时， 则有EM=EN， 所以平行四边形ENFM是菱形， 而菱形的四个顶点不一定共圆， 故不一定正确； 当ACBD时， 由EMBD，ENAC可得：EMEN，即MEN=90， 所以平行四边形ENFM是矩形， 则有OE=ON=OF=OM。 所以M、E、N、F四点共圆， 故正确； 当AC=BD且ACBD时， 同理可得：四边形ENFM是正方形。 则有OE=ON=OF=OM。 所以M、E、N、F四点共圆， 故正确。 故选C。103. D 解：连接BD，=100，ABADB=100=50，1 2又=

13、40，CDB=20， 在DBP中，P=ADBB=5020=30。 故选D。4. B 解：连接BD， AB是直径，则ADB=90， CDB=BCM=60， CDA=CDB+ADB=150， CBA=180CDA=30，tanABC=tan30=，3 3 故选B。5. C 解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。 所以由（x24x+m） （x24x+n）=0 可知，该抛物线的对称轴为x=2。 则b=4。所以最小值为。24 1 1-4=-34 1 （）11二、填空题二、填空题 6. 解：作OFED于点F， AD，BE分别是A，B的角平分线，AOB=90+C，CO平分AC

14、B，1 2 又DOE=AOB，DOE+C=180， C=60，DOE=AOB=120，90+CC=18021在 AB 上截取 AM=AE，可得AOEAOM OE=OM， DOE=120， EOA=AOM=DOB=BOM =60，BOMBOD OD=OM， OD=OE， OED=ODE=30，FD=，3 2tan30=，3 2FOFO DFFO=，OD=OE=，3 23ODE的周长为：2+3，3ODE的面积为：3=，1 23 23 3 4ODE的内切圆半径为，3 3 3 32322 33故答案为：。3 3327. 解：AB=AC=AD， 点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个

15、点，12CBD是弧CD所对的圆周角，CAD是弧CD所对的圆心角； CAD=76，CBD=CAD=76=38。1 21 2 8. 解：作ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则K，D，C，E四点共圆，DEBABHC=BAC=DEC=DKC， AKHB， D为BC的中点 点K是CH的中点，即CK=KH， 又K是重心，FK=HF=CF，1 3 由相交弦定理，得BFFA=CFFH，=CF2，3 23 21 3CF=，3 2CK=1，2 3 3 2故答案为 1。 9. 解：如图所示， 连接EF。DC是ABC的外接圆的切线，DCB=EAF，BCAE=DCAF，BCDC AFAEBCDFAE， C

16、BD=AFE， B、E、F、C四点共圆， AFE=CBE， CBD=CBE， 又CBD+CBE=180，CBE=90， AC是ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径。 不妨设DB=1，则BE=EA=DB=1，由切割线定理可得：DC2=DBDA=13，3DC 13在DCE中，由DB=BE，CBDE。CE=DC=，3在RtCBE中，BC2=CE2BE2=， 22312在RtABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。 过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值=。2222()312 62()2CE CE ACAC故答案为。1 2三、解答题三、解答题 10. 证明：（

17、1）FB是半圆O的切线， ABF=90， 又ADDC， ADF=90， A，D，F，B四点共圆。 （2）解：连接BC，则BCAC， DF是半圆的切线， DCA=ABC， DCA=ECF， ECF=ABC， 在RtABE中，BCAE， ABC=E， ECF=E，EF=FC， FC，FB是半圆的切线， FC=FB， EF=FB。11. 解：（1）证明：AP是圆O的切线，A是切点， OAAP，14ADOP， AP2=PDPO， AP是圆O的切线，PBC是圆O的割线， AP2=PBPC， PDPO=PBPC，PDPB PCPODPB=CPO， DPBCPO， PDB=PCO， O，D，B，C四点共圆； （2）解：连接OB，则OBC=ODC=40， OCB=40， O，D，B，C四点共圆， PDB=OCB=40， DBC=30+40=70。 12. （1）证明：连接CH，AC=AH，AK=AE，四边形CHEK为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补， 故C，H，E，K四点共圆， 同理C，E，H，M四点共圆， 即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上。 （2）解：连接EM， 由（1）得E，H，M，C，K五点共圆， CEHM为等腰梯形，EM=HC， 故MKE=CEH， 由KE=EH可得KME=ECH， 故MKECEH， 即KM=EC=3。