函数(三轮).pdf

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1、1/17 一、函 数 1、函数的值域（首先要挖掘隐含的定义域）转化为基本函数，特别是二次函数；练习：1、（C97.10）函数3cos3sin2xxy的 最小值；2、已知：sin5sin2sin322，、R,求22coscosu范围.有理分式型：;)2(),()1(),0(的一切实数值域为渐近线为双曲线中心为caycaycdxcacdbcadcdcxbaxy 练习：(C95)作函数1231xxy的图象 )0(22prqxpxcbxaxy用法，注意 的取得二次项系数的讨论)2()1(无理型：,0,cos(;121:)2()413(;413332:)1(22xxxxytxxxy可设的值域为练习求三角

2、换元可设值域练习求代数换元 2、函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）为偶函数为奇)()()(;)()()(xfyxfxfxfyxfxf 奇函数;0)0()(fxy在原点处有定义 任一个定义域关于原点对称的函数)(xf一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即 偶奇2)()()(2)()()(xfxfxfxfxf 练习：(C93)()1221()(xfxFx是偶函数，且)(,0)(xfxf则不恒为（）A、奇 B、偶 C、既奇又偶 D、非奇非偶 (C94)定义在),(上的函数)(xf可以表示成奇函数 g(x)与偶函数 h(x)之和，若)110lg()(xxf，那么（）A、)21010lg(

3、)(,)(xxxhxxg 2/17 B、)110lg(21)(,)110lg(21)(xxhxxgxx C、2)110lg()(,2)(xxhxxgx D、2)110lg()(,2)(xxhxxgx 3、函数的单调性（注：先确定定义域；单调性证明一定要用定义）1、定义：区间 D 上任意两个值21,xx，若21xx 时有)()(21xfxf，称)(xf为 D 上增 函数，若21xx 时有)()(21xfxf，称)(xf为 D 上减函数。练习：C91，用单调性定义证明 1)(3xxf在),(上为减函数 2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。练习：设)(

4、xf为奇函数，且在区间a,b(0a1,0a()max 或()min(C90)设nannxfxxxx)1(321lg)(，其中 a 为实数，n 是任意 给定的自然数，且2n，若)(xf当 1,(x时有意义，求 a 的范围。（等 价于0)1(21annxxx在0,(x上恒成立，变量分离 )1()1(xxnnna在 1,(x上恒成立）（2000 会考题）已知不等式：)1(1log311log61112121111aaaannnn对一切自然数 n 都成立，求实数 a 取值范围（先证na为减，611)(naxna，由max)(解关于 a 的不等式得2511 a或2532 a）方法三：数形结合 不等式xa

5、xlog2在)21,0(x上恒成立，求 a 的范围；函数)log(log22xxyaa在)21,0(x上均有意义，求 a 的范围。二、三角函数 1、概念 、是第一象限的角，是 sinsin的什么条件？A、B 为ABC 的内角，AB 是 sinAsinB 的什么条件？A、B 为ABC 的内角，Acos2B 的什么条件？0)(tg是0tgtg的什么条件？当)2,0(x时，sinXXB 是 sinA sinB 充要条件）若、为锐角，21coscos21sinsin，求)(tg及2tg的值；设20，且0coscoscossinsinsin，求的值。9/17 例 9，三角形中的恒等式 2cos2cos2

6、cos4sinsinsinCBACBA（书 P233 例 10，从中小结证法）CBACBACBACBACBACBAcoscoscos412cos2cos2cos)4(sinsinsin42sin2sin2sin)3(2sin2sin2sin41coscoscos)2()6,238(),1(习题书自己练习证法同P CBACBACBACBAcoscoscos21coscoscos)6(coscoscos22sinsinsin)5(222222 （降幂后转化为 4）tgCtgBtgAtgCtgBtgA （P264，22 由CBA两边取正切）1222222AtgCtgCtgBtgBtgAtg 由222

7、CBA两边取正切 应用举例 ABC 中，若2sinsinsin222CBA，判定ABC 的形状；ABC 中，求BACCABCBAsinsincossinsincossinsincos的值。(书 P264，22）例 10，ABC 中，a,b,c 成CABcabAPsinsinsin22 求证：60,0(B法一：余弦 Th 化为边：2182)(32)2(2cos2222222acaccaaccacaacbcaB 法二：化为函数：212cos212sinCAB 设BBkcossin2，求 k 的范围，用 求证：31222cos22cosCtgAtgCACA 求CACACAsinsin31coscos

8、coscos的值。10/17 三、反三角函数 （一）概念（填写空白）反正弦xyarcsin 反余弦xyarccos 反正切arctgxy 反余弦arcctgxy 定义域 值域 图像 性质 （二）几组公式 第一组 )arcsin(xxarcsin )arccos(x )(xarctg )(xarcctg 第二组 xxarccosarcsin)1|(|2x arcctgxarctgx)(2Rx 第三组，反三角函数的三角运算（借助于Rt）1 1 21x x x 21x xarcsin xarccos 1|x 1|x 21 x 21 x x 1 1 x arctgx arcctgx Rx Rx 不等式

9、的解法 类型 I：整式不等式 1、设不等式0)32()(baxba的解集为31x，解不等式0)2()3(abxba 答案：3x 2、已知：02cbxax的解集为)0)(,(，试解下列不等式 02abxcx；02abxcx 答案：)1,1(),1()1,(3、0)1)(372)(23(222xxxxxxx（零点序轴法）4、（C87）若不等式04)1(log12log22)1(4log222222aaaaxax对Rx恒成立，求 a 范围 )1,0(a 11/17 类型：分式不等式 1、0)()(0)()(xgxfxgxf（化除为乘），0)(0)()(0)()(xgxgxfxgxf（化除为乘）2、0

10、)()()()()(xgxagxfaxgxf（移项通分）0)()()(xgxagxf（化除为乘）3、解不等式：1273310522xxxx 4、解关于 x 的不等式：12)1(xxk （k 为常数）类型：无理不等式 1、0)(0)()()(0)()(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或可去等价于 2、2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf 3、解关于 x 的不等式：5232xxx（用代数法）4、解关于 x 的不等式：132xx（用几何法）5、关于 x 的不等式：axxx24 若能集为（0，4），求 a 的范围；若能集为（0，2），求 a 的值；解关于 x 不等式。

11、类型：指数、对数不等式 1、)()(xgxfaa等价于：（自己填空）2、)(log)(logxgxfaa等价于：（自己填空）3、（C86）当02sinx时，解关于 x 的不等式：)13(5.0)152(5.0loglog2xxx 4、（C88）解不等式：0)1lg(xx 12/17 5、（C91）设 a1，解关于 x 的不等式 )(log3)2(1log)2(log12log4log2132axnanxanxaxaxan 6、（C96）解关于 x 的不等式：1)11(logxa 类型：绝对值不等式 不等式的证明 重要公式 1、222)2(,2baababba（可直接用）cabcabcba222

12、 2、),(1122222Rbabaabbaba（要会证明）3、0(3333cbaabccba即可）4、33abccba，3)3(cbaabc；),(Rcba 5、|bababa，),(Rcba 证明方法 方法一：作差比较法：已知：1cba，求证：31222cba。证：左右=)1333(31222cba)(3333122221cbacba的代换 0)()()(31222accbba 方法二：作上比较法，设 a、b、cR，且cba，求证：baaccbcbacbacba222 证：accbbabcacabcbcababaaccbcbaaccbbaccbbaacbacba)()()(222右左 13

13、/17 当 ab0 时1)(0,1babababa 当 0ab 还是 a0,b0，且 a+b=1，求证：8144ba 225)1()1(22bbaa 证由公式：22222)2(222BABABABA得：81161)2()2(2442222244babababa 证由2)()2(2222222BABABABA 左222)11(2121)1()1(21ababbababbaa （*）4141)2(2abbaab (*)225)41(212 方法四：放缩法：)1(loglog)2()1()1(nnnnn n1，0log)1(nn 只要证：1loglog)2()1()1(nnnn即可 左 2)2()1

14、(2)2(11log21)log(log21nnnnnnn 0，当11x时，)(xg的最大值为 2，求)(xf。4、（C97）设二次函数)0()(2acbxaxxf，方程0)(xxf两根为21,xx满足 axx1021 当),0(1xx时，证1)(xxfx；设函数)(xf的图像关于直线0 xx 对称，证明：210 xx 5、（C98）已知：nb为 AP，b1=1，b1+b2+b10=145 求 nb的通项mb；设 na的通项)10()11(logaabanan且，nS为 na的前 n 项和，比较nS与 1log31nab的大小，并证明你的结论。6、（C2000）设函数,0,1)(2aaxxxf

15、(I)解关于 x 的不等式：1)(xf；()求 a的取值范围，使 f(x)在区间),0 上为单调函数。15/17 数列、极限、归纳法 一、等差、等比数列的有关知识 等差数列（AP）等比数列（GP）定义 daann1常数 01qaann的常数 通项公式 dnaan)1(1 dmnaamn)(叠加公式)(1nnnaaa 11221)()(aaaaann 11nnqaa mnmnqaa 叠乘：112211aaaaaaaannnnn 增减性 d0递增 0d常数列 0d递减 100101qaqa或递增 10100qaqa或递减 1q常数列 0q摆动数列 前 n 项和 dnnnaaanSnn2)1(2)(

16、11 推导方法：例写相加 1,1)1(11,111qqqaqqaaqnaSnnn 乘公比错位相减 中 项 A 为 a、b 的等差中项 baA 2 G 为 a、b 的等比中项 abG2 性 质 na为 AP bknan （k、b 常数）na为 A PBnAnSn2 na为 AP，qpnm qpnmaaaa na为 AP，则 22nmnmaaa （m，n 同奇或同偶）na为 AP，则nnnSSS2,，nnSS23成 AP na为 GP 0(kqkann，0q）na为 GP，且1q，0cbcqbSnn)0(q na为 G P，qpnm nmaa qpaa na为 AP，则 22)(nmnmaaa n

17、a为 GP，则nnnSSS2,，16/17 nnSS23成 GP 二、几个常用结论 1、在 AP na中，若共有奇数项12 n项，则 nnSSnaSanSaSSanSS1)1()12(偶奇中偶中奇中偶奇中偶奇 2、在 AP na中，若 a10，)(kmSSkm，则m、k 同奇或同偶时，2kmn时，max)(nS 当 m、k奇偶时，21kmn时 3、AP 中，)()(qpqSpqppSqqSp（用多种方法证，如),(nSnn共线等）4、AP 中，01)(qpqpadqppaqa 5、AP na、nb中，有1212nnnnTSba 如 C95 等差数列 na、nb的前 n 项和分别为nnTS1，若

18、132nnTSnn，求bnannlim 6、na为 AP，其前 n 项和为nS,求|na的前 n 项和nT a10，d0 时,则数列为减,设0nn 时，0na，0nn 时，0na 则：00,2,0nnSSnnSTnnnn a10 时，数列为增，设0nn 时，0,0nnan时0na 00,2,0nnSSnnSTnnnn如 na的前 n 项和210nnSn，求|na 三、求和的常用方法 方法一：变通项，用公式 1、6)12)(1(3212322nnnn 2、3)12)(1(2)2(42222nnnn 3、23332)1(21nnn 4、222)12(31n （自己完成）5、（C89）是否存在常数 a、b、c 使等式12)1()1(3221222nnnn 17/17 )(2cbnan对一切自然数 n 均成立，证明你的结论。（用两种方法完成）