二次函数复习专题讲义52547解析.pdf

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1、 20/22 二次函数【知识清单】一、网络框架 二、清单梳理 1、一 般的，形如2(0,)yaxbxc aa b c是常数的 函数 叫二 次函数。例 如222212,26,4,5963yxyxyxx yxx 等都是二次函数。注意：系数a不能为零，,b c可以为零。2(0)0=00=0000000y ax ayayayaxy xxy xaxy xxy x最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数 图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边

2、（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y axbx c aaabac baabxaac bac bayayaaa最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022bbxy xxy xaabbaxy xxy xaa边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二

3、次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题 20/22 2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：2(0,)yaxbxc aa b c是常数 顶点式：2()(,0)ya xhk a h ka为常数，且，顶点坐标为(,)h k 交点式：1212()()(0,)ya xxxxax xx其中是抛物线与 轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,a b c之间的关系 a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a 时，开口方向向上；当0a时，开口方向向下。|a决定开口大小，当|a越大，则抛物线的开口越小；当|a越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当0c时，抛物

4、线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方）；当0c时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当0c时，抛物线过原点。反之，也成立。ab和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02ba时，对称轴在y轴右边；当02ba时，对称轴在y轴左边；当02ba（即当0b时）对称轴为y轴。反之，也成立。特别：当1x 时，有yabc；当1x 时，有yabc。反之也成立。4、二次函数2()ya xhk的图像可由抛物线2yax向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当0h时，抛物线2yax向右平移h个单位；当0h时，抛物线2yax向左平移h个单位，得到2()ya xh；当0k 时，抛物线2()ya xh再向上平移

5、k个单位，当0k 时，抛物线2()ya xh再向下平移k个单位，而得到2()ya xhk的图像。5、抛物线2(0)yaxbxc a与一元二次方程20(0)axbxca的关系：若 抛 物 线2(0)yaxbxc a与x轴 有 两 个 交 点，则 一 元 二 次 方 程20(0)axbxca有两个不相等的实根。20/22 若 抛 物 线2(0)yaxbxc a与x轴 有 一 个 交 点，则 一 元 二 次 方 程20(0)axbxca有两个相等的实根（即一根）。若 抛 物 线2(0)yaxbxc a与x轴 无 交 点，则 一 元 二 次 方 程20(0)axbxca没有实根。6、二次函数2(0,)

6、yaxbxc aa b c是常数的图像与性质 关系式 2(0)yaxbxc a 2()(0)ya xhk a 图像形状 抛物线 顶点坐标 24(,)24bacbaa(,)h k 对称轴 2bxa xh 增 减 性 0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；0a 在图像对称轴左侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而增大；在图像对称轴右侧，即2bxa 或xh，y随x的增大而减小；最 大 值最小值 0a 当2bxa 时，24=4acbya最小值 当xh时，=ky最小值 0a 当2bxa 时，24=4acbya最大值 当x

7、h时，=ky最大值 20/22 【考点解析】考点一：二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是（）2.81A yx .81B yx 8.C yx 23.4D yx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中281yx符合2(0)yaxbxc a的形式，所以是二次函数，,B C分别是一次函数和反比例函数，D中右边234x不是整式，显然不是二次函数。【答案】A【例 2】已知函数2234(2)3(1)mmymm xmxm是二次函数，则m_。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2”。故有2220342mmmm，解得0212mmmm且或，综上所述，m

8、取1。【答案】1【针对训练】1、若函数22(2)mymxmx是二次函数，则该函数的表达式为_y。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例 1】已知点8,a在二次函数2axy 的图象上，则a的值是（）2.A 2.B .C2 2.D【解析】因为点8,a在二次函数2axy 的图象上，所以将点8,a代入二次函数2axy 中，可以得出3a8，则可得2a，【答案】.A 20/22 【例 2】（2011，泰安）若二次函数cbxaxy2的x与y的部分对应值如下表，则当1x时，y的值为（）x 7 6 5 4 3 2 y 27 13 3 3 5 3 5.A 3.B 13.C 27【解析】设二次函数的解析

9、式为khxay2，因为当4x或2时，3y，由抛物线的对称性可知3h，5h，所以532xay，把3,2代入得，2a，所 以 二 次 函 数 的 解 析 式 为5322xy，当3x时，27y。【答案】C【针对训练】1、(2002 年太原)过0,1,0,3,2,1三点的抛物线的顶点坐标是（）.A 2,1 2.(1,)3B 5,1.C 14.(2,)3D 2、无论m为何实数，二次函数2xy mxm 2的图象总是过定点（）3,1.A 0,1.B 3,1.C 0,1D 【例 3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 顶 点 为2,2.A，且 过 点2

10、,0B，则y与x的函数关系式为（）.A22 xy .B222 xy.C222 xy .D222 xy 20/22 【解 析】设 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为222xay，将2,0B代 入 得22022，解得：1a，故这个二次函数的关系式是222 xy，【答案】D【针对训练】1、二次函数212yxbxc的顶点为(2,1)，则二次函数的解析式为_.【例 4】二次函数2yxbxc过点(3,0)(1,0)、，则二次函数的解析式为_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,a b c的关系）【例 1】（2012，兰州）已知二次函数bxay2)1()0(a有最小值 1，则a、b的大小

11、关系为（）.Aba .Bba .Cba .D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数bxay2)1()0(a有最小值 1，所以0a，1b，1b，所以ba。【答案】.A【针对训练】1、二次函数1422xxy的最小值是 。2、（2013，兰州）二次函数3)1(22xy的图象的顶点坐标是（）.A)31(，.B)31(，.C)31(，.D)31(，20/22 3、抛物线)2(xxy的顶点坐标是（）.A)11(，.B)11(，.C)11(，.D)11(，【例 2】（2012，兰州）抛物线3)2(2 xy可以由抛物线2xy 平移得到，则下列平移过程正确的是（）.A先向左平移 2 个单

12、位，再向上平移 3 个单位.B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位.D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2xy 向左平移 2 个单位可得到抛物线2)2(xy，再向下平移 3 个单位可得到抛物线3)2(2 xy。【答案】.B【针对训练】1、（2012，南京）已知下列函数：（1）2xy；（2）2xy；（3）2)1(2 xy。其中，图象通过平移可以得到函数322xxy的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。2、（2009，上海）将抛物线22 xy向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛

13、物线的表达式是 。3、将抛物线2xy向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（）.A22xy .B2)2(xy .C2)2(xy .D22xy 20/22 4、将抛物线2(0)yaxbxc a向下平移 3 个单位，在向左平移 4 个单位得到抛物线2245yxx，则原抛物线的顶点坐标是_。【例 3】（2013，长沙）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）.A0a .B0c .C042acb .D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以0a，0c，042acb，且当1x时

14、，0cbay。显然选项 A、B、C 都正确，只有选项 D 错误。【答案】.D【例 4】（2011，山西）已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（）.A0ac.B方程02cbxax的两根是11x，32x.C02ba.D当0 x时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知0a，0c，故 A 错误；因对称轴为直线1x，所以12ab，故 C 错误；由图象可知当01 x时，y随x的增大而增大，故 D 错误；由二次函数的对称性可知 B 选项正确，【答案】.B 20/22 【针对训练】1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数mmx

15、y和函数222xmxy（m是常数，且0m）的图象可能是（）.A .B .C .D 2、（2011，重庆）已知抛物线cbxaxy2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）.A0a .B0b.C0c .D0cba 3、在反比例函数中xay)0(a，当0 x时，y随x的增大而减小，则二次函数axaxy2的图象大致是（）.A .B .C .D 4、如图所示，二次函数2(0)yaxbxc a的图像经过(1,2)A，且与x轴的交点的横坐标分别为12,x x，其中1221,01xx ，下列结论：420abc；20ab；1a ；284baac，其中正确的选项有_。20/22 【例

16、5】已知关于x的函数243yxx，求当11x 时函数的最大值和最小值 【针对训练】1、已知函数2241yxx，试求当12x 的最大值和最小值 2、已知函数224|1yxx，试求当12x 的最大值和最小值 【例 6】已 知 二 次 函 数2(0)yaxbxc a其 中abc、满 足0abc和930abc，则该二次函数的对称轴是直线_。【针对训练】1、已知12(,2002)(,2002)A xB x、是二次函数25(0)yaxbxa的图像上的两点，则当12xxx时，二次函数的值是_.20/22 【例 7】已知二次函数222yxmx，当2x 时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_。【针

17、对训练】1、若二次函数2()1yxm，当1x 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_。讲到这儿了 考点四：二次函数的实际应用【例 1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y（元）x与月份（91 x，且x取整数）之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格1y（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格2y（元）与月份x（10 x12

18、，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y与x之间满足的一次函数关系式；20/22 （2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30元，该配件在 1 至 9 月的销售量1p（万件）与月份x满足函数关系式1.11.01xp（1x9，且x取整数）10 至 12 月的销售量2p（万件）与月份x满足函数关系式9.21.02xp（10 x12，且x取整数）求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3

19、）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少%1.0 a这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任

20、意 2 点的坐标代入直线解析式可得1y的解析式把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得2y的解析式，；（2）分情况探讨得：1x9 时，利润=1p（售价各种成本）；10 x12 时，利润=2p（售价各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。解：（1）设bkxy，则5802560bkbk，解得5420bk，540201xy（1x9，且x取整数）；设baxy2，则75127310baba，解得6310ba，630102xy（10 x12，且x取整数）；（2）设 去 年 第x月 的 利 润 为W元 1x9，且x取 整 数 时

21、450)4(2418162)30501000(2211xxxypWx=4 时，W最大=450 元；10 x12，且x取整数时，222)29()30501000(xypW x=10 时，W最大=361 元；（3）去年 12 月的销售量为0.112+2.9=1.7（万件），今年原材料价格为：750+60=810（元）今年人力成本为：50（1+20%）=60 元 20/22 51000（1+%a）81060301.7（10.1%a）=1700，设%at，整理得01099102tt，解得20940199t 9401 更接近于 9409，979401，1t0.1，2t9.8，1a10 或2a980，1.

22、7（10.1%a）1，a10【答案】（1）630102xy（10 x12，且x取整数）；（2）x=10 时，W最大=361 元；（3）a10 【针对训练】1、（2013 湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数。（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围

23、）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？20/22 【例 2】（2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线1 xy与二次函数的图象交于BA,两点，其中点A在y轴上（1）二次函数的解析式为y=；（2）证明点)12,(mm不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作xCE 轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点 y轴上存在点K，使以CDAK,为顶点的四边形是平行四边形，则KK 点的坐标是 ；二次函数的图象上是否存在点P，使得ABDPOESS 2？求出P点坐标；若不存在，请说明理由 【考点】考察

24、函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。【解析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为)0,2(，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式（3）由直线1 xy与二次函数的图象交于BA,两点，解得BA,两点坐标，求出D点坐标，设K点坐标),0(a，使CDAK,为顶点的四边形是平行四边形，则DCKA，且DKBA/，进而求出K点的坐标过点B作xBF 轴于F，则AOCEBF/，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到ABDPOESS 2，设)141,(2 xxxP，由题意可以解出x（1）解：1412xxy（2）证明：设点)12,

25、(mm在二次函数1412xxy的图象上，20/22 则有：141122mmm，整理得0842 mm，01684)4(2 原方程无解，点)12,(mm不在二次函数1412xxy的图象上（3）解：)3,0(K或)5,0(二次函数的图象上存在点P，使得ABDPOESS 2，如图，过点B作xBF 轴于F，则AOCEBF/，又C为AB中点，EFOE，由于1412xxy和1 xy可求得点)9,8(B )5,4(),1,4(),0,4(CDE xAD/轴，16442122ABDPOESS 设)141,(2 xxxP，由题意得：2221)141(42122xxxxSPOE ABDPOESS 2 3222212

26、xx 解得6x或10 x，当6x时，16163641y，当10 x时，1611010041y，20/22 存在点)16,6(P和)16,10(P，使得ABDPOESS 2【答案】（1）1412xxy；（2）见上述解答过程；（3）存在，点)16,6(P和)16,10(P 【例 3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线28 25yxbxc经过点3(,0)2A和点(1,2 2)B，与x轴的另一个交点为C。（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧、x轴上方的抛物线上，且BDADAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE。判断四边形OAEB的形状，并说明

27、理由；点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M和点B不重合，当13BMFMFO时，请直接写出线段BM的长 【答案】（1）28 242 22 28 2(23)(27)555yxxxx（2）/(4,2 2)BDACD（3）平行四边形；12或52【针对训练】1、（2012，泉州）如图，O为坐标原点，直线 l 绕着点)2,0(A旋转，与经过点)1,0(C的二次函数hxy241的图象交于不同的两点QP、（1）求h的值；20/22 （2）通过操作、观察，算出POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点CP、作直线，与x轴交于点B，试问：在直线 l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请

28、说明理由；若不是，请指出四边形的形状 【基础闯关】1、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，那么这 个函数的解析式为 20/22 _。2、已知二次函数131232xxy，则函数y的最小值是_。3、把抛物线22xy 向上平移 5 个单位，所得抛物线的解析式为_。4、（2011，济 宁）将 二 次 函 数542xxy化 成khxy2)(的 形 式，则y_。5、（2006，陕西）如图，抛物线的函数表达式是（）.A22xxy .B22xxy.C22xxy .D22xxy 6、已知函数cbxaxy2)0(a的图象如图所示，则函数baxy的图象是（）.A .B .C .D 7、（2013，兰州）二次函

29、数3122）（xy的图象的顶点坐标是（）.A（1，3）.B（1，3）.C（1，3）.D（1，3）8、（2013，泰安）对于抛物线3)1(212xy，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线1x；顶点坐标为（1，3）；1x时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）.A 1 .B2 .C3 .D4 20/22 9、（2013，贵阳）已知：直线baxy过抛物线322xxy的顶点p，如图所示（1）顶点p的坐标是_（2）若直线baxy经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线nmxy与直线baxy关于x轴成轴对称，求直线nmxy与抛物线322xxy的交点坐标

30、 10、（2010，虹口区一模）已知二次函数322xxy，解答下列问题：（1）用配方法将该函数解析式化为kmxay2)(的形式；（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况 【拓展提高】1、将二次函数3)1(22xy的图象沿y轴向上平移 3 个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。2、若抛物线mxxy22的最低点的纵坐标为n，则nm的值是 。3、抛 物 线cbxaxy2的 顶 点 坐 标 是3,1，且 过 点5,0，那 么 二 次 函 数 20/22 cbxaxy2的解析式为（）.A5422xxy .B5422xxy.C1422xxy .D3422xxy 4、（2

31、010，兰州）抛物线cbxxy2图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为322xxy，则b、c的值为（）.A 2b，2c .B2b，0c .C2b，1c .D3b，2c 5、（2010，兰州）抛物线cbxaxy2图象如图所示，则一次函数24bacbxy与反比例函数xcbay在同一坐标系内的图象大致为（）.A .B .C .D 6、（2012，南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（）.A k=n .B h=m .Ckn .Dh0，k0 7、（2010，北京）将二次函数322xxy化为khxy2)(的形式，结果为（

32、）.A4)1(2 xy.B4)1(2 xy.C2)1(2 xy.D2)1(2 xy 8、（2012，重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理 某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行 1至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量 y1（吨）与月份x（1x6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x（月）1 2 3 4 5 6 输送的污水量 y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000 20/22 7 至 12 月，该

33、企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份x（7x12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为)0(22acaxy其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：1z（元）与月份x之间满足函数关系式：xz211，该企业自身处理每吨污水的费用：2z（元）与月份x之间满足函数关系式：xxz121432；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5 元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出21,yy与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个

34、最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000 元，请计算出 a 的整数值（参考数据：2.15231，5.20419，4.28809）9、(2012，丽水)在直角坐标系中，点 A 是抛物线 yx2在第二象限上的点，连接 OA，过点O 作OAOB，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC 20/22 (1)如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形；(2)如图 2，当点 A 的横坐标为时，求点 B 的坐标；将抛物线2xy 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 yx2，试判断抛物线 yx2经过平移交换后，能否经过CBA,三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由