20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.7 二次函数及幂函数（解析版）.docx

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1、第七讲 二次函数与幂函数【套路秘籍】-始于足下始于足下1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)稀有的五种幂函数的图象跟性质比较函数yx3yx2yxyyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)跟(0，)上单调递减大年夜众点(1,1)2.二次函数的图象跟性质1二次函数分析式的三种方法：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n

2、)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数图像分析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0,且a1的图象可以是ABCD【答案】D【分析】关于A项，对数函数过1,0点，但是幂函数只是0,1点，因此A项不称心恳求；关于B项，幂函数a1，对数函数0a1，因此B项不称心恳求；关于C项，幂函数恳求0a1，因此C项不称心恳求；关于D项，幂函数与对数函数都恳求0a1，因此D项称心恳求；应选D.4如图是幂函数yxm跟yxn在第一象限内的图象，那么()A1n0,0m1Bn1,0m1C1n1Dn1【答案】B【分析】由题图知，y=xm在0,+上是增函数

3、，y=xn在0,+上为减函数，m0,n1，y=xm的图象在y=x的下方，y=xn的图象在y=x-1的下方，m1,n-1，从而0m1,ncbBabcCcabDbca【答案】A【分析】关于函数y=(25)x，在(0,+)上是减函数，3525，(25)35(25)25，即b25，(35)25(25)25，即ac从而bca故A精确【举一反三】1.已经清楚点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上，设a=f(m-13),b=f(ln13)，c=f(22)那么a,b,c的大小关系为AacbBbcaCcabDbac【答案】A【分析】由f(x)=(m-2)xn为幂函数得m-2=1,m=3,由于点(3

4、,9)在幂函数f(x)上，因此3n=9，n=2,即f(x)=x2，由于a=fm-13=f3-13, b=fln13=fln3,又3-13221ln3,因此acb，选A.2设a=20.3，b=30.2，c=70.1，那么a、b、c的大小关系为AacbBcabCabcDcb87bac此题精确选项：B3.已经清楚a=(2)125，b=925，c=4log4e2，那么以下结论成破的是AabcBcbaCbacDacb【答案】A【分析】a=265=6415，b=345=8115，6481，64158115，即a43345=b，故abc，选A.考向四二次函数分析式【例4】(1)已经清楚二次函数f(x)x2b

5、xc称心f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成破，那么f(x)的分析式为_(2)已经清楚二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)跟(2,0)且有最小值1，那么f(x)_.(3)已经清楚二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，假设函数f(x)的最小值为f(1)0，那么f(x)_.【答案】1f(x)x22x32x22x3x22x1【分析】1由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，1，b2，f(x)x22x3.（2） 设函数的分析式为f(x)ax(x2)(a0)，因此f(x)ax22ax，由1，得a1，因此f(x)x22x.3设

6、函数f(x)的分析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0)，又f(x)ax2bx1，因此a1，故f(x)x22x1.【套路总结】1. 求二次函数分析式的方法【举一反三】1.已经清楚二次函数f(x)的图象通过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，同时对任意xR，都有f(2x)f(2x)，那么f(x)_.【答案】x24x3【分析】由于f(2x)f(2x)对任意xR恒成破，因此f(x)图象的对称轴为直线x2.又由于f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，因此f(x)0的两根为1跟3.设f(x)的分析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图象过点(4,3)，因此3a3，即a1，因

7、此f(x)的分析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.2.已经清楚二次函数f(x)称心f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大年夜值是8，试判定此二次函数的分析式【答案】f(x)4x24x7.【分析】设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的分析式为f(x)4x24x7.3.已经清楚二次函数f(x)的图象通过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，同时对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的分析式【答案】f(x)x24x3.【分析】f(2x)f(2x)对xR恒成破，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1跟3.设

8、f(x)的分析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的分析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.4.已经清楚二次函数f(x)x22bxc(b，cR)(1)假设f(x)0的解集为x|1x1，务虚数b，c的值；(2)假设f(x)称心f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分不在区间(3，2)，(0,1)内，务虚数b的取值范围【答案】【分析】(1)设x1，x2是方程f(x)0的两个根由根与系数的关系得即因此b0，c1.(2)由题，知f(1)12bc0，因此c12b.记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b

9、1)xb1，那么b0.因此函数的图象开口向上，且在1,2上单调递增，f(0)f(2)，那么当f(m)f(0)时，有0m2.2当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，称心题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大年夜值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大年夜值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.【套路总结】二次函数在闭区间上的最值征询题的典范及求解策略(1)典范：对称轴、区间根本上给定的；对称轴动、区间结实；对称轴定、区间变更(2)求解策略：抓住“三

10、点一轴数形结合，三点是指区间两个端点跟中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，按照函数的单调性及分类讨论的思想即可完成3要留心数形结合思想的运用，尤其是给定区间上的二次函数最值征询题，先“定性(作草图)，再“定量(看图求解)【举一反三】1已经清楚函数f(x)x22ax1a，x0,1有最大年夜值2，那么a_.【答案】2或1【分析】函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，其图象的对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，因此a2.综上可知，a1或a2.2已经清楚函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是_【答案】7，)【分析】函数f(x)x2(a1)x5在

11、区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，因此其对称轴x或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有，解得a2，因此f(2)4(a1)257，即f(2)7.3假设函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，那么实数m的取值范围是_【答案】2,0【分析】当0x2xm在区间1,1上恒成破，那么实数m的取值范围为_(2)函数f(x)a2x3ax2(a1)，假设在区间1,1上f(x)8恒成破，那么a的最大年夜值为_【答案】1(，1)22【分析】1设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，因此a1，b1，因此f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1

12、,1上恒成破，即x23x1m0在1,1上恒成破，令g(x)x23x1m2m，x1,1，g(x)在1,1上单调递减，因此g(x)ming(1)131m0，因此m1，x1,1，因此ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，因此f(x)8恒成破，即g(t)maxg(a)8恒成破，因此有a23a28，解得5a2，又a1，因此1xk在区间3，1上恒成破，试求k的范围【答案】【分析】(1)由题意得f(1)ab10，a0，且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)解法一：f(x)xk在区间3，1上恒成破，转化为x2x1k在区间3，1上恒成破设g

13、(x)x2x1，x3，1，那么g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.kxk在区间3，1上恒成破，转化为x2x1k0在区间3，1上恒成破，设g(x)x2x1k，那么g(x)在3，1上单调递减，g(1)0，得k1.2.设函数f(x)ax22x2，关于称心1x0，那么实数a的取值范围为_【答案】【分析】由题意得a对1x4恒成破，又22，.3.已经清楚函数f(x)x2mx1，假设关于任意xm，m1，都有f(x)0成破，那么实数m的取值范围是_【答案】【分析】由于函数图象开口向上，因此按照题意只需称心解得m1，C2的指数0n1，C3，C4的指数小于0，且C3的指数大年夜于C4的指数据此可得，只

14、需B选项符合题意应选B7幂函数y=xn是奇函数，但图象不与坐标轴订交，那么n的值可以是A3B1C0D1【答案】D【分析】按照幂函数的性质揣摸出幂函数y=xn是奇函数时，指数n为奇数；幂函数y=xn的图象与两坐标轴不订交时，幂函数的指数n小于0，比照选项，只需D精确应选D8在函数y=1x2,y=2x2,y=x2+x,y=3x中，幂函数的个数为A0B1C2D3【答案】B【分析】显然，按照幂函数定义可知，只需y=1x2=x-2是幂函数，应选B9已经清楚函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如以下列图，那么a,b,c的大小关系为AcbaBabcCcabDac1,b=12,0cbc，故答案为：A.10事

15、前-1,12,3，幂函数y=x的图象不克不迭够通过的象限是A第二象限B第三象限C第四象限D第二、四象限【答案】D【分析】y=x-1的图象通过第一、三象限，y=x12的图象通过第一象限，y=x的图象通过第一、三象限，y=x3的图象通过第一、三象限应选D11已经清楚正实数a,b,c称心loga2=2，log3b=13，c6=172，那么a,b,c的大小关系是AabcBacbCcbaDbac【答案】B【分析】由题得a2=2,a6=8,b=313,b6=32=9,由于81729,a,b,c根本上正数，因此acb.应选：B12已经清楚幂函数fx=xa的图象通过点2，2，那么函数fx为A奇函数且在(0,+

16、)上单调递增B偶函数且在(0,+)上单调递减C非奇非偶函数且在(0,+)上单调递增D非奇非偶函数且在(0,+)上单调递减【答案】C【分析】幂函数fx=xa的图象通过点2，2，2a=2，解得a=12，函数fx=x12，函数fx是非奇非偶函数且在0，+上单调递增应选：C13已经清楚函数y=xm2-5m+4mZ为偶函数且在区间0，+上单调递减，那么m=A2或3B3C2D1【答案】A【分析】幂函数y=xm2-5m+4为偶函数，且在0,+递减，m2-5m+40，且m2-5m+4是偶数，由m2-5m+40得1m0，fx=x2-3x，那么Aftan70f1.4f-1.5Bftan70f-1.5f1.4Cf1

17、.4ftan70f-1.5Df-1.5f1.4ftan70【答案】A【分析】事前x0，fx=x-1.52-1.52，tan70-1.5tan60-1.50.232，又函数fx为偶函数，因此f-1.5=f1.5，1.5-1.4=0.1，按照二次函数的对称性以及单调性，因此ftan70f1.4f-1.5.应选A15已经清楚函数fx=x2+mx+1在区间-,-1上是减函数,在区间1,+上是增函数,那么实数m的取值范围是()A-2,2B(-,-2C2,+DR【答案】A【分析】由题意，函数fx=x2+mx+1表示开口向上，且对称轴的方程为x=-m2，要使得函数fx在区间-,-1上是减函数,在区间1,+上

18、是增函数,那么-1-m21，解得-2m2，应选A.16幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上为增函数，那么实数m的值为_【答案】2【分析】由函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1是幂函数，那么m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；事前m=0，f(x)=x-1，在(0,+)上为减函数，不合题意；事前m=2，f(x)=x3，在(0,+)上为增函数，称心题意故答案为：217.已经清楚函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数，且f(x)在(0,+)上单调递增，那么实数m=_.【答案】2【分析】幂函数fxm2m1xm在区间0，+上单调递增，m2-m-1=1m0，解得m2或-1

19、舍故答案为：218已经清楚幂函数f(x)=(k2-2k-7)xk-1在(0,+)上是减函数，那么实数k的值为_【答案】-2【分析】由于函数f(x)=(k2-2k-7)xk-1是幂函数，因此k2-2k-7=1，即(k+2)(k-4)=0，解得k=-2或k=4，事前k=-2，f(x)=x-3，称心在(0,+)上是减函数，事前k=4，f(x)=x3，在(0,+)上是增函数，因此k=-2，故答案是：-2.19假设f(x)=(m-1)2xm是幂函数且在(0,+)单调递增，那么实数m=_.【答案】2【分析】f(x)=(m-1)2xm为幂函数，因此(m-1)2=1，解得m=0或2.事前m=0，fx=x0=1

20、，在(0,+)不单调递增，舍去；事前m=2，f(x)=x2，在(0,+)单调递增成破.故答案为：m=2.20已经清楚幂函数fx=m3m+1x121-8m-m2的图象与x轴跟y轴都无交点1求fx的分析式；2解不等式fx+1fx2【答案】1fx=x4；2x|xfx2成破，只需|x+1|x2|，解得x12，又fx的定义域为x|x0，因此不等式的解集为x|x0，即2m2+m30且a1，解得a=3负值舍去，因此f(x)=log3x由于g(x)=loga(x+1)+loga(3-x)，因此x+103-x0，即x-1x3，即-1x3，故g(x)的定义域为x|-1x3由于g(x)=log3(x+1)+log3

21、(3-x)=log3(-x2+2x+3)，令u(x)=-x2+2x+3(-1x3)，那么由对称轴x=1可知，u(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减；由于y=log3u在(0,+)上单调递增，因此函数g(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(1,3)2由于不等式g(x)-m+30的解集非空，因此m-3g(x)min,x13,2，由1知，事前x13,2，函数g(x)的单调递增区间为13,1，单调递减区间为(1,2，由于g(13)=log3329,g(2)=1，因此g(x)min=1，因此m-31，即m4，故实数m的取值范围为4,+)23设二次函数fx=x2+bx+c，

22、b，cR1假设fx称心：对任意的xR，均有f-x-fx，求c的取值范围；2假设fx在0，1上与x轴有两个差异的交点，求c2+1+bc的取值范围【答案】(1)0,+(2)0,116【分析】1f-x+fx=-x2+b-x+c+x2+bx+c=2x2+c0恒成破，因此，方程x2+c=0无实数解因此，c取值范围为0,+2设fx=0的两根为x1，x2，且0x1x21，那么fx=x-x1x-x2，因此c2+1+bc=c1+b+c=f0f1=0-x10-x21-x11-x2=x1x21-x11-x2=-x12+x1-x22+x2=-x1-122+14-x2-122+14116.又由于x1，x2不克不迭同时取

23、到12，因此c2+1+bc取值范围为0,11624.已经清楚函数f(x)=x2-2(a-1)x+4.假设f(x)为偶函数，求f(x)在-1,2上的值域；假设f(x)在区间-,2上是减函数，求f(x)在1,a上的最大年夜值.【答案】4,8；7-2a【分析】由于函数fx为偶函数，故f-x=fx，得a=1.fx=x2+4，由于-1x2，因此4fx8,故值域为：4,8.假设fx在区间-,2上是减函数，那么函数对称轴x=a-12,a3由于1a-1a，因此x1,a-1时，函数fx递减，a-1,a时，函数fx递增，故事前x1,a，fxmaxf1,fa，f(1)=7-2a,f(a)=-a2+2a+4，f(1)-f(a)=(7-2a)-a2+2a+4=a2-4a+3=(a-2)2-1由于a3f(1)f(a)，故fx在1,a上的最大年夜值为7-2a.25已经清楚函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,