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1、- 1 -第二节第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。2016,北京卷,4,5 分(充要条件的判断)2016,天津卷,5,5 分(充要条件的判断)2014,全国卷,9,5 分(逻辑推理判断)1.分析四种命题的相互关系;由原命题写另一种命题;2.判定指定条件之间的关系;探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件;与命题真假性结合。微知识 小题练自|主|排|
2、查1命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系- 2 -两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp微点提醒 1 “否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,命题的
3、否定只否定结论。2由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假。3 “p是q的充分不必要条件”即为“pq且qp” ;“p的充分不必要条件是q”即为“qp且pq” 。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 11P10练习 T3(2)改编)“(x1)(y2)0”是“x1 且y2”的_条件。【解析】 因为(x1)(y2)0,所以x1 或y2,所以(x1)(y2)0x1 且y2,x1 且y2(x1)(y2)0,所以是必要不充分条件。【答案】 必要不充分2(选修 11P8习题 1.1A 组 T2(1)改编)“若a,b都是偶数,则ab必是偶数
4、“的逆否命题为_。【解析】 “a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数” , “ab是偶数”的否定为“ab不是偶数” ,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数” 。- 3 -【答案】 若ab不是偶数,则a,b不都是偶数二、双基查验1(2016天津高考)设x0,yR R,则“xy”是“x|y|”的( )A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【解析】 由xy推不出x|y|,由x|y|能推出xy,所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件。故选 C。【答案】 C2命题“若,则 tan1”的逆否命题是( ) 4A若,则 tan1 B若,则 tan1 4
5、 4C若 tan1,则 D若 tan1,则 4 4【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若,则 tan1”的逆否命题是“若 tan1,则” 。故选 C。 4 4【答案】 C3设集合A,B,则“AB”是“ABA”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】 由AB,得ABA;反过来,由ABA,且(AB)B,得AB,因此,“AB”是“ABA”成立的充要条件。故选 C。【答案】 C4 “在ABC中,若C90,则A,B都是锐角”的否命题为:_。【解析】 原命题的条件:在ABC中,C90。结论:A,B都是锐角。否命题是否定条件和结
6、论。即“在ABC中,若C90,则A,B不都是锐角” 。【答案】 在ABC中,若C90,则A,B不都是锐角5若“x21”是“x1 得x1 或x1 或x1,则p是q成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件- 6 -C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 由 2x20x0,且x|10可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件。故选 A。【答案】 A角度三:用等价转化法判断充分条件、必要条件【典例 4】 (2017锦州模拟)给定两个命题p,q。若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解
7、析】 因为綈p是q的必要不充分条件,则q綈p但綈pq,其逆否命题为p綈q但綈qp,所以p是綈q的充分不必要条件。故选 A。【答案】 A反思归纳 充要条件的三种判断方法1.定义法:根据pq,qp 进行判断。2.集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。3.等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1 或 y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1 且y=1”是“xy=1”的何种条件。考点三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围母题发散【典例 5】 (1)(2016南昌模拟)已知条件p:
8、|x4|6;条件q:(x1)2m20(m0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( )A21,) B9,)C19,) D(0,)(2)已知Px|x28x200,非空集合Sx|1mx1m。若xP是xS的必要条件,则m的取值范围为_。【解析】 (1)条件p:2x10,条件q:1mxm1,又因为p是q的充分不必要条件,所以有Error!解得m9。故选 B。(2)由x28x200 得2x10,Px|2x10,由xP是xS的必要条件,知SP。则Error!0m3。所以当 0m3 时,xP是xS的必要条件,即所求m的取值范围是0,3。【答案】 (1)B (2)0,3- 7 -【母题变式】 1.本典
9、例(2)条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件。【解析】 若xP是xS的充要条件,则PS,Error!Error!即不存在实数m,使xP是xS的充要条件。【答案】 不存在2本典例(2)条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围。【解析】 由例题知Px|2x10,綈P是綈S的必要不充分条件,PS且SP。2,101m,1m。Error!或Error!m9,即m的取值范围是9,)。【答案】 9,)反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是,在求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的验证,不等式中的等号是否能
10、够取得,决定着端点的取值。微考场 新提升1命题“若a,b,c成等比数列,则b2ac”的逆否命题是( )A “若a,b,c成等比数列,则b2ac”B “若a,b,c不成等比数列,则b2ac”C “若b2ac,则a,b,c成等比数列”D “若b2ac,则a,b,c不成等比数列”解析 根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2ac”的逆否命题是“若b2ac,则a,b,c不成等比数列” 。故选 D。答案 D2已知向量a a(sin,cos),b b(cos,sin),且a a与b b的夹角为,则“|a ab b|1”是“60”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必
11、要条件D既不充分也不必要条件解析 由条件可知|a a|b b|1,若|a ab b|1,则(a ab b)21,即a a2b b22a ab b1,- 8 -所以 112cos1,即 cos ,故60。同理,若60,则|a ab b|1 也成1 2立。故“|a ab b|1”是“60”的充分必要条件。故选 C。答案 C3设m,n为正实数,则“m0),易知f(x)x2(x0)是单调递增函数,任取1 x21 x2m,n0,当mb,则 0 时, b,则必有a0b,故 0 ,所以原命题是假命题;若 m1 是x22x30 的必要不充分条件,则实数m的取值范围是_。解析 由已知易得x|x22x30x|xm1,又x|x22x30x|x3,- 9 -Error!或Error!0m2。答案 0,2