高考数学二轮复习难点2-2导数与不等式相结合问题教学案文.doc

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1、1 / 7【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习难点精选高考数学二轮复习难点 2-22-2 导数与不等式相结合问导数与不等式相结合问题教学案文题教学案文导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者.1.1.利用导数证明不等式利用导数证明不等式

2、在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.1.11.1利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式例例 1.1. 【2018【2018 广西贺州桂梧高中联考广西贺州桂梧高中联考】已知函数已知函数. . 2232ln42f xxxxxx（1）若在上递增，求的取值范围； f x,1a aa（2）证明： . 24fxx思路分析：（思路分析：（1 1）要使在上递增，只需，且不恒等于）

3、要使在上递增，只需，且不恒等于 0 0，所以先求得函数的增区，所以先求得函数的增区间，间， 是增区间的子区间是增区间的子区间. .（2 2）当时，）当时， ， 显然成立显然成立. . 当时，即证明当时，即证明 ，令（），令（） ，2 / 7即求，由导数可证即求，由导数可证. . f x,1a a 0fx,1a a1 2x 240x 24fxx102x 2422ln124fxxxxx0 22ln124g xxxx102x min0g x，从而在上递减，即.综上， .112ln442ln2022g 0gx g x10,2 min11 ln202g xg 0g x 24fxx 24fxx点评：本题主

4、要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.1.21.2 通过求函数的最值证明不等式通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，值，当该函数的

5、最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来. .例例 2.2. 【甘肃省甘肃省市市 20182018 届第一次质量检测届第一次质量检测】已知函数已知函数. . 21xf xxe3 / 7（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； f x, a f a（2）设函数，若存在，使不等式成立，求的取值范围. xg xexp 01,xe 000g xf xxp思路分析：（思路分析：（1 1）由，得，所以在上单调递增，可得，从而得；（）由，得，所以在上单调递增，可得，从而得；（2 2）存在，使）存在，使不等式

6、成立，等价于，令，利用导数研究函数的单调性，求出，只需即可得结不等式成立，等价于，令，利用导数研究函数的单调性，求出，只需即可得结果果. . 20xfxxe0x f x0,0a 02f af 01,xe 0 00021xg xxex0 023xpxe 2xh xxe e h x minh x minph x点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新

7、函数并求得其极值点，从而判断的范围是解题的关键. p1.3 多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.4 / 7例例 3 3已知函数已知函数. . ln,fxxmxm mR （1)已知函数 f(x)在点（l ，f（1） ）处与 x 轴相切，求实数 m 的值；（2）求函数 f(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的 0a b,证明： 11f bf a baa 思路分析：（思路分析：（1 1）由已知可得，由于函数在点处与轴相切，又直线轴的斜率为）由已知可得，

8、由于函数在点处与轴相切，又直线轴的斜率为0 0，根据导数的几何意义，所以有，从而可求出实数的值；（，根据导数的几何意义，所以有，从而可求出实数的值；（2 2）因为，所以有）因为，所以有必要对的取值范围进行分类讨论必要对的取值范围进行分类讨论. .当时，有，此时函数在上单调递增；当时，有，当时，有，此时函数在上单调递增；当时，有，由得，由，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减由得，由，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减. .（3 3）由（）由（1 1）知，得，）知，得，对于任意的，可化为，即，由（对于任意的，可化为，即，由（2 2）知，函数在上单调递减，且，于是上式成立）知，函数在上单调递

9、减，且，于是上式成立. .故故对于任意的，成立对于任意的，成立. . 10fxm xx 1,1fx x 110fm m 10fxm xxm0m 10fxmx f x0,0m 1m xmfxx 0fx10,xm 0fx1,xm f x10,m1,m1m ln1f xxx0ab 11f af b baa lnlnln1ln111ln1011b bbaatatttbbaat a 01f tt f x1, 10f0ab( )( )11f bf a baa5 / 7(3)由(1) 知,得对于任意的，可化为1m ( )ln1,f xxx0ab( )( )11f bf a baa(ln)(ln)11,bba

10、a baa其中,其中,即，由(2)知, 函数在递减,且,于是上式成立，故对于任意的，成立. 0abln 1 1b a b a 0abln1,1ln10,11tttttt ( )0,1f tt( )f x(1,)(1)0f0ab( )( )11f bf a baa点评：在第二问中要注意分类讨论标准的确定，当时，可借助一次函数的图像来判断导函数符号，同时要将零点和定义域比较；第二问中将不等式等价变形为，要利用换元法，将不等式转化为关于的不等式0m ln 1 1b a b a t2.2.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式

11、的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理( )f xa：minmaxmax( )( )( )f xaf xaf xa 恒成立有解无解例例 4 4 【2018【2018 安徽阜阳一中二模安徽阜阳一中二模】已知曲线已知曲线 在点在点 处的切线是处的切线是 . .（1）求实数 的值；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值.思路分析：（思路分析：（1 1）利用导数的几何意义求解，计算和，即可求出的值；（）利用导数的几何意义求解，计算和，

12、即可求出的值；（2 2）分）分6 / 7离参数，构造新函数，求函数的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出离参数，构造新函数，求函数的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出最值最值. .3.3.利用导数解不等式利用导数解不等式通过构造函数，利用函数的单调性得到不等式的解集.例例 5.5.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式 的解集的解集为为 ( ( ) )R( )f x(1)2f( )f x( )fxR( )1fx ( )1f xxA B C D(, 1) (1,)( 1,1)(, 1)(1,) 思路分析：因为

13、的解析式不确定，由，结合所求不等式的形式，想到构造函数，思路分析：因为的解析式不确定，由，结合所求不等式的形式，想到构造函数，则，故单调递减，由，则不等式解集为则，故单调递减，由，则不等式解集为( )f x( )1fx ( )( )1F xf xx( )0F x ( )F x(1)0F(1,)7 / 7解析：不等式 可化为，令，则，因为，所以，则函数在 R 上单调递减，又，则即的解集即为. ( )1f xx( )10f xx ( )( )1g xf xx( )( )1g xfx( )1fx ( )0g x ( )g x(1)(1) 1 1220gf ( )0g x ( )(1)g xg1x 点评：该题考察了利用导数判断函数的单调性，联系所求的不等式，构造合适的函数，通过判断单调性，得出不等式的解集，是解题的关键.综合上述五种题型，无论不等式的证明、解不等式，还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值） ，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.