高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列教师用书文北师大版.doc

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1、1第二节第二节 等差数列等差数列考纲传真 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列用符号表示为an1and(nN N*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫作a，b的ab 2等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1.nn1d 2na1an 23等差数

2、列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN N*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为md的等差数列1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN N*，都有 2an1a

3、nan2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( )答案 (1) (2) (3) (4)22等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于( )A1 B1C2 D2D D 依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选 D.3(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5( )A5 B7C9 D11A A a1a3a53a33a31，S55a35.5a1a5 24(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则a100( )A100 B99C98

4、D97C C 法一：an是等差数列，设其公差为d，S9 (a1a9)9a527，a53.9 2又a108，Error!Error!a100a199d199198.故选 C.法二：an是等差数列，S9 (a1a9)9a527，a53.9 2在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选 C.5(教材改编)在 100 以内的正整数中有_个能被 6 整除的数.【导学号：66482239】16 由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列an，则a16，d6，得an6(n1)66n.由an6n100，即n16 16 ，4 62

5、 3则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数等差数列的基本运算3(1)(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10( )A. B17 219 2C10 D12(2)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m( )【导学号：66482240】A9 B10C11 D15(1 1)B B (2 2)B B (1)公差为 1，S88a118a128，S44a16.8 81 2S84S4，8a1284(4a16)，解得a1 ，1 2a10a19d 9.1 219 2(2)设等差数列an的

6、公差为d，依题意Error!解得Error!ama1(m1)d7m4030，m10.规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法变式训练 1 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列anS3 3S2 2的公差是( )A. B11 2C2 D3(2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.【导学号：66482241】(1)C C (2)72 (1)Sn，又

7、1，na1an 2Sn na1an 2S3 3S2 2得1，即a3a22，a1a3 2a1a2 2数列an的公差为 2.4(2)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得Error!解得Error!S16163(1)72.16 15 2等差数列的判定与证明已知数列an中，a1 ，an2(n2，nN N*)，数列bn满足bn3 51 an1(nN N*)1 an1(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式an.解 (1)证明：因为an2(n2，nN N*)，1 an1bn.1 an1所以n2 时，bnbn11 an11 an111. 5 分1(21 an1)11 an11a

8、n1 an111 an11又b1 ，1 a115 2所以数列bn是以 为首项，1 为公差的等差数列. 7 分5 2(2)由(1)知，bnn ，9 分7 2则an11. 12 分1 bn2 2n7规律方法 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2” ，否则n1 时，a0无定义变式训练 2 (1)若an是公差为 1 的等差数列，则a2n12a2n是( )【导学号：66482242】A公差为 3 的等差数列B公差为 4 的等差

9、数列5C公差为 6 的等差数列D公差为 9 的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2 ，(nN N*)，则该数列的通项为( )1 22 an11 an1 an2Aan1 nBan2 n1Can2 n2Dan3 n(1)C C (2)A A (1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为 6 的等差数列(2)由已知式可得，知是首项为2 an11 an1 an21 an11 an1 an21 an11 an1，公差为211 的等差数列，所以n，即an .1 a11 a21 a11 an1 n等差数列的性质与最值(1)(20

10、17东北三省四市一联)如图 521 所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于 63，那么a52( )【导学号：66482243】(a41 a42 a43 a51 a52 a53 a61 a62 a63)图 521A2 B8C7 D4(2)等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn取得最大值(1)C C 法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差数列，6所以对于第二列，有a42a52a623a52，所以a4

11、1a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以a527，故选 C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这 9 个数均相同，显然满足题意，所以有 6397，即a527，故选 C.(2)法一：由S3S11，可得 3a1d11a1d，4 分3 2 211 10 2即da1. 7 分2 13从而Snn2n(n7)2a1，d 2(a1d 2)a1 1349 13因为a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0 时，满足Error!的项数m使得Sn取得最小值为Sm.7变式训练 3 (1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的

12、前n项和，则S11( )【导学号：66482244】A18 B99C198 D297(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15( )A60 B70C90 D40(1)B B (2)A A (1)因为a3a927a6,2a6a3a9，所以 3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.11 2(2)因为数列an为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列，设S15x，则 10,20，x30 成等差数列，所以 22010(x30)，所以x60，即S1560.思想与方法1等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量” ， “知三求二” ，需运

13、用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，.2等差数列an中，ananb(a，b为常数)，SnAn2Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图像、性质简化解题过程3等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN N*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列易错与防范1要注意概念中的“从第 2 项起” 如果一个数列不是从第 2 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别83求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件