高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文北师大版.doc

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1、1第四节第四节 数列求和数列求和考纲传真 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；na1an 2nn1 2(2)等比数列的前n项和公式：SnError!2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形： ；1 nn11 n1 n1；1 2n12n11 2(1 2n11 2n1).1nn1n1n4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列

2、的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf (n)类型，可采用两项合并求解2例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前n项和Sn.( )a1an1 1q(2)当n2 时，.( )1 n211 2(1 n

3、11 n1)(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得( )(4)如果数列an是周期为k(k为大于 1 的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于( )1 nn1A1 B5 6C. D1 61 30B B an ，1 nn11 n1 n1S5a1a2a51 .1 21 21 31 65 63(2016广东中山华侨中学 3 月模拟)已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前 9 项和S9等于( )A9 B18C36

4、D72B B a2a84a5，即a4a5，a54，2 5a5b4b62b54，b52，S99b518，故选 B.4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.【导学号：66482259】2n12n2 Sn2n12n2.212n 12n12n1 25321422523(n2)2n_.4 设S3 45(n2)，n4 2n1 21 221 231 2n3则S345(n2).1 21 221 231 241 2n1两式相减得S3 .1 21 2(1 221 231 2n)n2 2n1S3(1 21 221 2n1)n2 2n34.1 21(1 2)n1112n2 2nn4 2n分

5、组转化求和(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解 (1)设等比数列bn的公比为q，则q 3，b3 b29 3所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，). 2 分b2 q设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以 113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，). 5 分(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1. 7 分从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2. 12 分n12n1 21

6、3n 133n1 2规律方法 分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和4(2)通项公式为anError!的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练 1 (2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN N*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解 (1)由题意得Error!则Error!2 分又当n2 时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为

7、an3n1，nN N*. 5 分(2)设bn|3n1n2|，nN N*，则b12，b21.当n3 时，由于 3n1n2，故bn3n1n2，n3. 8 分设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3 时，Tn3，913n2 13n7n2 23nn25n11 2所以TnError!12 分裂项相消法求和(2016重庆南开二诊)若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项的和，对任意正整数n，an2(n1)，3AnBn4n.(1)求数列bn的通项公式；(2)记cn，求cn的前n项和Sn.2 AnBn解 (1)由于an2(n1)，an为等差数列，且a14. 2 分Ann23n，na1an 2n4

8、2n2 2Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，当n1 时，b1B18，当n2 时，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18 适合上式，bn6n2. 5 分(2)由(1)知cn2 AnBn2 4n28n，7 分1 4(1 n1 n2)5SnError!1 4Error!1 4(11 21 n11 n2) . 12 分3 81 4(1 n11 n2)规律方法 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒

9、数第几项变式训练 2 (2017石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10项和S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和1 anan1【导学号：66482260】解 (1)由已知得Error!解得Error!3 分所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1. 5 分(2)bn，8 分1 2n12n11 2(1 2n11 2n1)所以Tn1 2(11 31 31 51 2n11 2n1). 12 分1 2(11 2n1)n 2n1错位相减法求和(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1

10、)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.an1n1 bn2n解 (1)由题意知当n2 时，anSnSn16n5.当n1 时，a1S111，符合上式6所以an6n5. 2 分设数列bn的公差为d.由Error!即Error!解得Error!所以bn3n1. 5 分(2)由(1)知cn3(n1)2n1. 7 分6n6n1 3n3n又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，9 分两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234412n 12n1 2n23n2n2，所以Tn3n2n2. 12 分规律方法 1.如果数列an

11、是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” ，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和变式训练 3 (2016广东肇庆第三次模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.an 2an解 (1)设等差数列an的公差为d，首项为a1.S36，S515，Error!即Error!解得Error!3 分an的通项公式为an

12、 a1(n1)d1(n1)1n. 5 分(2)由(1)得bn，6 分an 2ann 2nTn ，1 22 223 23n1 2n1n 2n式两边同乘 ， 得1 27Tn，1 21 222 233 24n1 2nn 2n1得Tn 1 21 21 221 231 2nn 2n11，10 分1 2(11 2n)112n 2n11 2nn 2n1Tn2. 12 分1 2n1n 2n思想与方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和易错与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论2利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.1 anan11 d(1 an1 an1)1 anan21 2d(1 an1 an2)