高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 2 2 节等节等差数列及其前差数列及其前 n n 项和教师用书文新人教项和教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN*，d 为常数)(2)等差中

2、项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A，其中 A 叫做 a，b 的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.(2)前 n 项和公式：Snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.2 / 15(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列1(思考

3、辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有2an1an an2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S36，a30，则公差d 等于( )A1 B1C2D2D D 依题意得依题意得 S3S33a23a26 6，即，即 a2a22 2，故，故 d da3a3a2a22 2，故

4、，故选选 D.D.3(2015全国卷)设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若a1a3a53，则 S5( )A5B7C9D11A A a1a1a3a3a5a53a33a33 3a3a31 1，S5S55a35a35.5.4(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为3 / 1527，a108，则 a100( )A100B99C98D97C C 法一：法一：anan是等差数列，设其公差为是等差数列，设其公差为 d d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，Error!a100a199d199198.故选 C.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列a

5、n中，a5，a10，a15，a100 成等差数列，且公差 da10a5835.故 a100a5(201)598.故选 C.5(教材改编)在 100 以内的正整数中有_个能被 6 整除的数16 由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列an，则 a16，d6，得 an6(n1)66n.由 an6n100，即 n1616，则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数等差数列的基本运算(1)(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn 为an的前 n 项和，若 S84S4，则 a10( )A. B.19 2C10D12(2)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an的前 n 项和

6、为Sn，S1122，a412，若 am30，则 m( )4 / 15A9B10C11D15(1)B (2)B (1)公差为 1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得 a1，a10a19d9.(2)设等差数列an的公差为 d，依题意解得Error!ama1(m1)d7m4030，m10.规律方法 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法变

7、式训练 1 (1)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足1，则数列an的公差是( )A.B1C2D3(2)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，a128，S99，则S16_. 【导学号：31222176】(1)C (2)72 (1)Sn，又1，得1，即 a3a22，数列an的公差为 2.(2)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由已知，得解得Error!5 / 15S16163(1)72.等差数列的判定与证明已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足 bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式 an.解 (1)证明：因为 an2(n

8、2，nN*)，bn.所以 n2 时，bnbn11 an111.5 分又 b1，所以数列bn是以为首项，1 为公差的等差数列.7 分(2)由(1)知，bnn，9 分则 an11.12 分规律方法 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an1and 和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2” ，否则n1 时，a0 无定义变式训练 2 (1)若an是公差为 1 的等差数列，则a2n12a2n是( ) 【导学号：31222177】A公差为 3 的等差数列B公差为 4 的等

9、差数列6 / 15C公差为 6 的等差数列D公差为 9 的等差数列(2)在数列an中，若 a11，a2，(nN*)，则该数列的通项为( )Aan1 nBan2 n1Can2 n2Dan3 nA A 由已知式可得，知是首项为由已知式可得，知是首项为1 1，公差为，公差为2 21 11 1 的等差数列，所以的等差数列，所以n n，即，即 anan.(1)C (2)480 (1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为 6 的等差数列(2)由已知 SnSn12 可得，2，所以是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故2n1，Sn

10、(2n1)2，所以a61S61S6012121192480.等差数列的性质与最值(1)(2017东北三省四市一联)如图 521 所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么 a52( )图 521A2 B8C7D47 / 15(2)等差数列an中，设 Sn 为其前 n 项和，且a10，S3S11，则当 n 为多少时，Sn 取得最大值(1)C 法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同理第二行也有 a51a52a533a52，第三行也有 a61a62a633a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有 a42a52a623a

11、52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以 a527，故选 C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这 9个数均相同，显然满足题意，所以有 6397，即 a527，故选 C.(2)法一：由 S3S11，可得 3a1d11a1d，4 分即 da1.7 分从而 Snn2n(n7)2a1，因为 a10，所以0，S3S11 可知 d0，a80，d0 时，满足的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.变式训练 3 (1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn 表示数列an的前 n 项和，则 S11( )A18B99C19

12、8D297(2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S510，S1030，则S15( )A60B70C90D40A A 因为数列因为数列anan为等差数列，所以为等差数列，所以 S5S5，S10S10S5S5，S15S15S10S10也成等差数列，设也成等差数列，设 S15S15x x，则，则 10,2010,20，x x3030 成等差数列，所以成等差数列，所以2202201010(x(x30)30)，所以，所以 x x6060，即，即 S15S1560.60.(1)B (2)20 (1)因为 a3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以 a69，所以 S11(a1a11)1

13、1a699.(2)法一：设数列an的公差为 d，则9 / 15a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18 成等差数列，设此数列公差为D.所以 52D10，所以 D.所以 a19a20a21S21S1856D51520.思想与方法1等差数列的通项公式，前 n 项和公式涉及“五个量” ， “知三求二” ，需运用方程思想求解，特别是求 a1 和 d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成

14、等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，.2等差数列an中，ananb(a，b 为常数)，SnAn2Bn(A，B 为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程3等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列(4)前 n 项和公式：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数10 / 15列易错与防范1要注意概念中的“从第 2 项起” 如果一个数列不是从第 2项起，每一项与它前一项的差是同一个

15、常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别3求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值时，需要注意“自变量 n为正整数”这一隐含条件课时分层训练课时分层训练( (二十九二十九) ) 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1在等差数列an中，a10，公差 d0，若ama1a2a9，则 m 的值为( ) 【导学号：31222178】A37B36C20D19A A amama1a1a2a2a9a99a19a1d d36d36da37.a37.2(2017深圳二次调研)在等差数列an中，若前 10 项的和S1060，

16、且 a77，则 a4( )【导学号：31222179】A4B4C5D5C C 法一：由题意得解得法一：由题意得解得a4a4a1a13d3d5 5，故选，故选 C.C.法二：由等差数列的性质有11 / 15a1a10a7a4，S1060，a1a1012.又a77，a45，故选 C.3(2017福州质检)已知数列an是等差数列，且a72a46，a32，则公差 d( )A2B4C8D16B B 法一：由题意得法一：由题意得 a3a32 2，a7a72a42a4a3a34d4d2(a32(a3d)d)6 6，解得，解得 d d4 4，故选，故选 B.B.法二：由题意得解得故选 B.4等差数列an中，已

17、知 a50，a4a70，则an的前 n 项和 Sn 的最大值为( ) 【导学号：31222180】AS7BS6CS5DS4C C Error!Sn 的最大值为 S5.5(2017湖北七市 4 月联考)在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A9 日B8 日C16 日D12 日A A 根据题意，显然良马每日行程构成一个首项根据题意，显然良马每日行程构成一个首项 a1a1103103，公，公差差 d1d11313 的等差数列

18、，前的等差数列，前 n n 天共跑的里程为天共跑的里程为S Sna1na1d1d1103n103nn(nn(n1)1)6.5n26.5n296.5n96.5n；驽马每日行程也构成；驽马每日行程也构成12 / 15一个首项一个首项 b1b19797，公差，公差 d2d20.50.5 的等差数列，前的等差数列，前 n n 天共跑的里程天共跑的里程为为 S Snb1nb1d2d297n97nn(nn(n1)1)0.25n20.25n297.25n.97.25n.两马相逢时，两马相逢时，共跑了一个来回设其第共跑了一个来回设其第 n n 天相逢，则有天相逢，则有6.5n26.5n296.5n96.5n0

19、.25n20.25n297.25n97.25n1 1 12521252，解得，解得 n n9 9，即它们第，即它们第9 9 天相遇，故选天相遇，故选 A.A.二、填空题6(2017郑州二次质量预测)已知an为等差数列，公差为1，且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项，则 a1_.1 因为 a5 是 a3 与 a11 的等比中项，所以 aa3a11，即(a14d)2(a12d)(a110d)，解得 a11.7(2016北京高考)已知an为等差数列，Sn 为其前 n 项和若 a16，a3a50，则 S6_.6 a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.S66a1d6.8(2016江苏

20、高考)已知an是等差数列，Sn 是其前 n 项和若 a1a3，S510，则 a9 的值是_20 法一：设等差数列an的公差为 d，由 S510，知S55a1d10，得 a12d2，即 a122d，所以a2a1d2d，代入 a1a3，化简得 d26d90，所以d3，a14.故 a9a18d42420.法二：设等差数列an的公差为 d，由 S510，知5a310，所以 a32.由 a1a32a2，得 a12a22，代入 a1a3，化简得a2a210，所以 a21.13 / 15公差 da3a2213，故 a9a36d21820.三、解答题9已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a，前 n 项和为

21、Sn，且Sk110. 【导学号：31222181】(1)求 a 及 k 的值；(2)设数列bn的通项 bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前 n 项和 Tn.解 (1)设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a，由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422，所以 Skka1d2k2k2k.3 分由 Sk110，得 k2k1100，解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2，k10.5 分(2)证明：由(1)得 Snn(n1)，则 bnn1，故 bn1bn(n2)(n1)1，8 分即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tn.12 分10(2017合肥三次质检)等差数列

22、an的首项 a11，公差d0，且 a3a4a12.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnan2n，求数列bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由 a3a4a12 得(12d)(13d)111dd1或 d0(不合题意舍去)，数列an的通项公式为 ann.5 分(2)依题意 bnan2nn2n，14 / 15Tn121222323n2n，2Tn122223(n1)2nn2n1，9 分两式相减得Tn2122232nn2n1n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1设数列an的前 n 项和为 Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列” 已知等差

23、数列bn的首项为 1，公差不为 0，若数列bn为“吉祥数列” ，则数列bn的通项公式为( ) 【导学号：31222182】Abnn1Bbn2n1Cbnn1Dbn2n1B B 设等差数列设等差数列bnbn的公差为的公差为 d(d0)d(d0)，k k，因为，因为 b1b11 1，则，则n nn(nn(n1)d1)dk k，即 2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数 n 上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得 d2，k，所以数列bn的通项公式为 bn2n1.2已知等差数列an的首项 a120，公差 d2，则前 n 项和 S

24、n 的最大值为_110 因为等差数列an的首项 a120，公差 d2，代入求15 / 15和公式得，Snna1d20n2n221n22，又因为 nN*，所以 n10 或 n11 时，Sn 取得最大值，最大值为 110.3(2014全国卷)已知数列an的前 n 项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中 为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在 ，使得an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，2 分两式相减得 an1(an2an)an1，由于 an10，所以 an2an.5 分(2)由题设知 a11，a1a2S11，可得 a21.由(1)知，a31.7 分令 2a2a1a3，解得 4.故 an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n3；9 分a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n4n1.所以 an2n1，an1an2，因此存在 4，使得数列an为等差数列.12 分