高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 3 3 节等节等比数列及其前比数列及其前 n n 项和教师用书文新人教项和教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，

2、定义的表达式为q(nN*，q 为非零常数)(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即 G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前 n 项和公式：SnError!3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；2 / 14(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an， ，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an

3、，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列( )(2)G 为 a，b 的等比中项G2ab.( )(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( )(4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sn.答案 (1) (2) (3) (4)2(2017广州综合测试(二)已知等比数列an的公比为，则的值是( )A2 B1 2C.D2A A 2.2.3(2017东北三省四市一联)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则 a

4、6( )A64B128C256D512A A 设等比数列的首项为设等比数列的首项为 a1a1，公比为，公比为 q q，则由解得或，则由解得或( (舍去舍去) )，所以所以 a6a6a1q5a1q56464，故选，故选 A.A.4(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数3 / 14成等比数列，则这两个数为_27,81 设该数列的公比为 q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为 9327,27381.5(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前 n 项和若 Sn126，则 n_.6 a12，an12an，数列an是首项为 2，

5、公比为 2 的等比数列又Sn126，126，解得 n6.等比数列的基本运算(1)(2016安徽皖江名校联考)已知 Sn 是各项为正数的等比数列an的前 n 项和，a2a416，S37，则 a8( )A32 B64C128D256(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前 n 项和等于_【导学号：31222183】(1)C (2)2n1 (1)an为等比数列，a2a416，a34.a3a1q24，S37，S23，(1q2)3(1q)，即 3q24q40，q或 q2.an0，q2，则 a11，a827128.(2)设等比数列的公比为 q，则有Error!解得或Err

6、or!又an为递增数列，Sn2n1.规律方法 1.等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，体现了方程思想4 / 14的应用2在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练 1 (1)在等比数列an中，a37，前 3 项和S321，则公比 q 的值为( )A1B1 2C1 或D1 或1 2(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 27a3a60，则_.(1)C (2)28 (1)根据已知条件得Error!得3.整理得 2q2q10，解得 q1 或 q.(

7、2)由题可知an为等比数列，设首项为 a1，公比为 q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以 27a1q2a1q5，所以 q3，由 Sn，得 S6，S3，所以28.等比数列的判定与证明(2016全国卷)已知数列an的前 n 项和Sn1an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5，求 .解 (1)证明：由题意得 a1S11a1，2 分故 1，a1，故 a10.3 分由 Sn1an，Sn11an1 得an1an1an，5 / 14即 an1(1)an.5 分由 a10，0 得 an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是 ann1.7 分(2)由(1)得 Sn

8、1n.9 分由 S5得 15，即 5.10 分解得 1.12 分规律方法 等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q 为非零常数，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项

9、公式解 (1)证明：anSnn，an1Sn1n1，得 an1anan11，即 2an1an1，2(an11)an1，即 2cn1cn.3 分由 a1S11 得 a1，c1a11，6 / 14从而 cn0，.数列cn是以为首项，为公比的等比数列.6 分(2)由(1)知 cnn1n，7 分又 cnan1，ancn11n，9 分当 n2 时，bnanan11nn.又 b1a1，适合上式，故 bnn.12 分等比数列的性质及应用(1)(2016安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若 am1am12am(m2)，数列an的前 n 项积为 Tn，若 T2m1512，则 m 的值为( )A

10、4B5C6D7(2)(2016天津高考)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0，所以 a20，b1.7(2016浙江高考)设数列an的前 n 项和为 Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则 a1_，S5_.1 121 an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为 3 的等比数列，3.又 S24，S11，a11，S53434，11 / 14S5121.8(2017深圳二次调研)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边

11、打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果墙足够厚，Sn 为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn_尺2n1 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项，2为公比的等比数列，所以前 n 天大老鼠打洞的距离共为2n1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为2，所以Sn2n122n1.三、解答题9数列bn满足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.解 (1)由 bn12bn2，得 bn122(bn2)，2 分2, 又 b12a2a124，数列bn2是首项为 4，公比为 2

12、的等比数列bn242n12n1，bn2n12.5 分(2)由(1)知，anan1bn12n2(n2)，an1an22n12(n2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，9 分an(222232n)2n22n22n12n.12 / 14Sn2n2(n2n4).12 分10已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn4an3(nN*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足 bn1anbn(nN*)，且 b12，求数列bn的通项公式解 (1)证明：依题意 Sn4an3(nN*)，n1 时，a14a13，解得 a11.2 分因为 Sn4an3，则 Sn14an13(n2)，

13、所以当 n2 时，anSnSn14an4an1，整理得 anan1.又 a110，所以an是首项为 1，公比为的等比数列.5 分(2)由(1)知 ann1，由 bn1anbn(nN*)，得 bn1bnn1.7 分可得 bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)21(43)n11433n11(n2).10 分当 n1 时也满足，所以数列bn的通项公式为 bn3n11(nN*).12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016安徽安庆二模)数列an满足：an1an1(nN*，R 且 0)，若数列an1是等比数列，则 的值等于( ) 【导学号：31222187】13 / 14A1 B

14、1C.D2D D 由由 anan1 1anan1 1，得，得 anan1 11 1anan2 2.由于数列由于数列anan11是等比数列，所以是等比数列，所以1 1，得，得 2.2.2(2016广东肇庆三模)设数列an(n1,2,3，)的前 n 项和 Sn 满足 Sna12an，且 a1，a21，a3 成等差数列，则a1a5_.34 由 Sna12an，得 anSnSn12an2an1(n2)，即 an2an1(n2)从而 a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3 成等差数列，所以 a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得 a12，所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 an2n，所以 a1a522534.3设数列an的前 n 项和为 Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当 n2 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求 a4 的值；(2)证明：为等比数列解 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1，即 45(13 2)81，解得 a4.(2)证明：由 4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即 4an2an4an1(n2)4a3a14164a2，4an2an4an1(nN*)，14 / 14，数列是以 a2a11 为首项，为公比的等比数列