高考数学大一轮复习第八章解析几何第八节曲线与方程教师用书理.doc

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1、- 1 -第八节第八节 曲线与方程曲线与方程2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。2016，全国卷，21,12 分(求轨迹方程)2015，湖北卷，21(1)，5分(求曲线方程)2015，全国卷，20(1)，5 分(求曲线方程)2013，全国卷，10,5 分(求曲线方程)曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他

2、性质进行综合考查。微知识 小题练自|主|排|查1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立了如下的对应关系：(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2求动点的轨迹方程的基本步骤(1)建系：建立适当的平面直角坐标系；(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)；(3)列式：列出或找出动点P满足的等式；(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程；(5)验证：验证所求方程即为所求的轨迹方程。3曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的

3、坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。- 2 -微点提醒 1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系。检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义。2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等。3求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系。(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有

4、机结合。(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 2P124B 组 T1改编)等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A(4,2)，B(2,0)，A是顶点，则另一个点C的轨迹方程为( )Ax2y28x4y0Bx2y28x4y200(x10，x2)Cx2y28x4y200(x10，x2)Dx2y28x4y200(x10，x2)【解析】 设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x4)2(y2)240，x10，x2。整理得x2y28x4y200(x10，x2)。故选 B。【答案】 B2(选修 21P36例 3 改编)若点

5、P到直线x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点P的轨迹为( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线【解析】 依题意，点P到直线x2 的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线。故选 D。【答案】 D二、双基查验1方程(x2y24)0 的曲线形状是( )xy1- 3 -【解析】 由题意可得xy10 或Error!它表示直线xy10 和圆x2y240 在直线xy10 右上方的部分。故选 C。【答案】 C2已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为( )QPQFFPFQAx24y By23xCx22y Dy24x【

6、解析】 设点P(x，y)，则Q(x，1)。，QPQFFPFQ(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即 2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y。故选 A。【答案】 A- 4 -3和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为_。【解析】 设点的坐标为(x，y)，由题意知()2()2c，x02y02xc2y02即x2y2(xc)2y2c，即 2x22y22cxc2c0。【答案】 2x22y22cxc2c04MA和MB分别是动点M(x，y)，与两定点A(1,0)和B(1,0)的连线，则使AMB为直角的动点M的轨迹方程是_。【解析】 点M在

7、以A、B为直径的圆上，但不能是A、B两点。【答案】 x2y21(x1)5已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_。【解析】 设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)。【答案】 1(y0)x2 4y2 3微考点 大课堂考点一 直接法求轨迹方程【典例 1】 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为 8。(1)求动圆圆心的轨

8、迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点。【解析】 (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，- 5 -由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，x242又|O1A|，x42y2，x42y2x242化简得y28x(x0)。又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x。(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中

9、，得k2x2(2bk8)xb20，其中 32kb640。由韦达定理得，x1x2，82bk k2- 6 -x1x2，b2 k2因为x轴是PBQ的角平分线，所以，y1 x11y2 x21即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，把代入得 2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时 0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)。【答案】 (1)y28x(2)直线l过定点(1,0)，证明见解析反思归纳 1.利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简。2运用直接法应注意的问题(1)在

10、用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的。(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略。【变式训练】 已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|2，则P点的轨迹方程OPAP是( )A4x24y24x8y10B4x24y24x8y10C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50【解析】 设P点的坐标(x，y)，则(x，y)，(x1，y2)，OPAP(2x1,2y2)。所以(2x1)2(2y2)24，整理得 4x24y24x8y10。OPAP故选 A。【答案】 A考点二 定义法求轨迹方程【典例 2】 已知

11、圆C与两圆x2(y4)21，x2(y2)21 外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n。(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程。- 7 -【解析】 (1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为C1(0，4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y1。(2)因为mn，所以M(x，y)到直线y1 的距离与到点F(0

12、,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y1 为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而 1，即p2，所p 2以，轨迹Q的方程是x24y。【答案】 (1)y1 (2)x24y反思归纳 1.定义法求轨迹方程的适用条件：动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。2定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义。【变式训练】 在ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a0)，且满(a 2，0)(a 2，0)足条件 sinCsinB sinA，则动点A的轨迹方程是_。1 2【解析】 由正弦定理，得 (R为外接圆半径)，|AB| 2R|AC| 2R1 2|BC|

13、2R所以|AB|AC| |BC|，即点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(不含右顶点)。1 2又知实轴长为a，焦距为a，1 2虚半轴长为 ，动点A的轨迹方程为1(x0 且y0)。3 16a216x2 a216y2 3a2【答案】 1(x0 且y0)16x2 a216y2 3a2考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程【典例 3】 在圆x2y24 上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D。当点P在圆上运动时，动点M满足2，动点M形成的轨迹为曲线C。PDMD(1)求曲线C的方程；(2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EAEB，求的取值EABA范围。【解析】 (1)解法一：

14、由2知点M为线段PD的中点，PDMD设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)。因为点P在圆x2y24 上，- 8 -所以x2(2y)24。所以曲线C的方程为y21。x2 4解法二：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由2，得x0x，y02y。PDMD因为点P(x0，y0)在圆x2y24 上，所以xy4。2 02 0把x0x，y02y代入方程，得x24y24。所以曲线C的方程为y21。x2 4(2)因为EAEB，所以0。EAEB所以()2。EABAEAEAEBEA设点A(x1，y1)，则y1，即y1。x2 1 42 12 1x2 1 4所以2(x11)2yx2x11

15、1x2x122 。EABAEA2 12 1x2 1 43 4 2 13 4(x14 3)2 3因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以2x12。所以 2 9。2 33 4(x14 3)2 3所以的取值范围为。EABA2 3，9【答案】 (1)y21 (2)x2 42 3，9反思归纳 代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系。常涉及中点问题、三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识。【变式训练】 已知F1，F2分别为椭圆C：1 的左、右焦点，点P为椭圆C上x2 4y2 3的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.1(y0)x2 36y2 27B.y21(y0)4x2 9

16、C.3y21(y0)9x2 4Dx21(y0)4y2 3- 9 -【解析】 依题意知F1(1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得Error!即Error!代入1 得重心G的轨迹方程为3y21(y0)。故选 C。x2 0 4y2 0 39x2 4【答案】 C微考场 新提升1平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为 1。某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x22y1，则他的建系方式是( )解析 因为点P的轨迹方程为x22y1，即所求的抛物线方程为yx2 ，1 21 2- 10 -抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为。(0，

17、1 2)所以该同学的建系方式是 C。答案 C2若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为 8，则称曲线C为“好曲线” 。以下曲线不是“好曲线”的是( )Axy5 Bx2y29C.1 Dx216yx2 25y2 9解析 M到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为 8，M的轨迹是以A(5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为1。x2 16y2 9A 项，直线xy5 过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B 项，x2y29 的圆心为(0,0)，半径为 3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，1 的右顶点为(5,0)，故椭圆1

18、与M的轨迹有交点，满足题意；x2 25y2 9x2 25y2 9D 项，方程代入1，可得y1，即y29y90，0，满足题意。故x2 16y2 9y2 9选 B。答案 B3(2016天津模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R R，且121，则点C的轨迹是( )OCOAOBA直线 B椭圆C圆 D双曲线解析 设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即OCOAOBError!解得Error!又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直y3x 103yx 10线。故选 A。答案 A4(2017衡水模拟)设过点P

19、(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2且3，则点P的轨BPPAOQAB迹方程是( )A3x2y21(x0，y0)3 2- 11 -B.y21(x0，y0)x2 2C.y21(x0，y0)x2 2Dx21(x0，y0)y2 2解析 由P(x，y)，可知Q(x，y)。设A(a,0)，B(0，b)，其中a0，b0，(x，yb)，(ax，y)，由2可得BPPABPPAax，b3y，x0，y0，又(a，b)3 2AB，(x，y)x23y23，即y21，(3 2x，3y)OQAB(3 2x，3y)3 2x2 2点P的轨迹方程为y21(x0，y0)。故选 B。x2 2答案 B5(2016临汾模拟)在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|BCBD|2，则顶点A的轨迹方程为_。CD2解析 如图，以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点。则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|。所以|AB|AC|2，2所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(不含右顶点)，且a，c2，所以2b，2- 12 -所以轨迹方程为1(x)。x2 2y2 22答案 1(x)(答案不唯一)x22y222