高考数学大一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程教师用书理.doc

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1、- 1 -第三节第三节 圆的方程圆的方程2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。2015，全国卷，14,5 分(圆的方程)2015，全国卷，7,5 分(圆的方程)2015，江苏卷，10,5 分(圆的方程)2014，陕西卷，12,5 分(圆的方程)以选择填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质。微知识 小题练自|主|排|查1圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2圆的标准方程(xa)2(yb)2r

2、2(r0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。3圆的一般方程x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心为，半(D 2，E 2)径r。D2E24F24点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2。微点提醒 1解答圆的问题的关键- 2 -注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。2二元二次方程表示圆的条件对于方程x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视D2E24F0 这一条件。小|题|快

3、|练一 、走进教材1(必修 2P132A 组 T3改编)以点(3，1)为圆心，并且与直线 3x4y0 相切的圆的方程是( )A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)22D(x3)2(y1)22【解析】 设圆的方程是(x3)2(y1)2r2。因为直线 3x4y0 与圆相切，所以圆的半径r1，因此，所求圆的方程为(x3)2(y1)21。故选 A。|94|3242【答案】 A2(必修 2P124A 组 T4改编)已知圆C经过A(5,2)，B(1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_。【解析】 因为圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，所以圆的方程为(xa)2y2r2。又因

4、为A(5,2)，B(1,4)在圆上。所以Error!解得a1，r220。所以圆的方程为(x1)2y220。【答案】 (x1)2y220二、双基查验1(2016全国卷)圆x2y22x8y130 的圆心到直线axy10 的距离为1，则a( )A B4 33 4C. D23【解析】 由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解得a 。故选 A。|a41|a214 3【答案】 A2方程x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则a的取值范围是( )- 3 -Aa2 或a B a02 32 3C2a0 D2a2 3【解析】 方程表示圆，则a2(2

5、a)24(2a2a1)0，2a 。故选 D。 2 3【答案】 D3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数a的取值范围是( )A1a1 B0a1Ca1 或a1 Da1【解析】 点(1,1)在圆内，(1a)2(1a)24，即1a1。故选 A。【答案】 A4(2016浙江高考)已知aR R，方程a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_。【解析】 由题可得a2a2，解得a1 或a2。当a1 时，方程为x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为 5。当a2 时，方程不表示圆。【答案】 (2，4) 55(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正

6、半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆5心到直线 2xy0 的距离为，则圆C的方程为_。4 55【解析】 设圆心为(a,0)(a0)，则圆心到直线 2xy0 的距离d，得|2a0|414 55a2，半径r3，所以圆C的方程为(x2)2y29。a020 52【答案】 (x2)2y29微考点 大课堂考点一 求圆的方程【典例 1】 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于 6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10 相切于点P(3，2)。【解析】 (1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得- 4 -Error!Erro

7、r!又令y0，得x2DxF0。设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6 有D24F36，由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0。故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0。(2)解法一：如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，4x02 3x0x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为2(x1)2(y4)28。解法二：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得Error!解得Error!因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28。【答案】 (1)x2y22x4y80 或x2y26x8y0(2)(x1)2(y4)28反思归纳 1.直接法：根据圆的几

8、何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。2待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值。【变式训练】 (1)已知圆C与直线xy0 及xy40 都相切，圆心在直线xy0 上，则圆C的方程为( )A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22(2)经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2xy30 上的圆的方程为_。【解析】 (1)设圆心坐标为(a，a)，则，|aa|2|aa4|2即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，222故圆的

9、方程为(x1)2(y1)22。(2)设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，- 5 -则Error!可得a4，b5，r210。所以圆的方程为(x4)2(y5)210。【答案】 (1)B (2)(x4)2(y5)210考点二 与圆有关的最值问题多维探究角度一：斜率型、截距型、距离型最值问题【典例 2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10，则 的最大值为_，最y x小值为_。【解析】 如图，方程x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆。3设 k，即ykx，y x当圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时，即直线与圆相切，斜率取得最大、最小值。由，解得k23，|2k0|k213km

10、ax，kmin，33(也可由平面几何知识，得OC2，CP，POC60，直线OP的3倾斜角为 60，直线OP的倾斜角为 120)【答案】 33【母题变式】 1.在本典例条件下，求yx的最小值和最大值。【解析】 设yxb，则yxb，仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，切于第一象限时，截距b取最大值，由点到直线的距离公式，得，即b2，|20b|236故(yx)min2，(yx)max2。66【答案】 (yx)min2，6(yx)max262在本典例条件下，求x2y2的最大值和最小值。【解析】 x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得

11、最大值和最小值(如图)。又因为圆心到原点的距离为2，202002所以x2y2的最大值是(2)274，33x2y2的最小值为(2)274。33【答案】 (x2y2)max74，3- 6 -(x2y2)min743角度二：与圆有关的范围问题【典例 3】 设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21 上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_。【解析】 如图，过点M作O的切线，切点为N，连接ON。M点的纵坐标为 1，MN与O相切于点N。设OMN，则45，即 sin，即。而22|ON| |OM|22|ON|1，所以|OM|。因为M为(x0,1)，所以，2x2 012所以x1，所以1x01，所以x0的

12、取值范围为1,1。2 0【答案】 1,1反思归纳 1.形如的最值问题，可转化为过定点的动直yb xa线的斜率的最值问题。2形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解。3形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题。4与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解。否则可用代数法转化为函数求最值。【变式训练】 (2016邯郸二模)已知圆O：x2y28，点A(2,0)，动点M在圆上，则OMA的最大值为_。【解析】 设|MA|a，因为|OM|2，|OA|2，由余弦定理知 cosOMA22，当且仅当|OM|2|M

13、A|2|OA|2 2|OM|MA|2 22a2222 2 2a14 2(4 aa)14 24 aa22a2 时等号成立，OMA，即OMA的最大值为。 4 4- 7 -【答案】 4考点三 与圆有关的轨迹问题【典例 4】 已知圆x2y24 上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程。【解析】 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)。因为P点在圆x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24。故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21。(2)设PQ的中点为N(x

14、，y)。在 RtPBQ中，|PN|BN|。设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24。故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10。【答案】 (1)(x1)2y21(2)x2y2xy10反思归纳 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。2定义法：根据圆、直线等定义列方程。3几何法：利用圆的几何性质列方程。4代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。【变式训练】 已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于- 8

15、 -A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点。(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积。【解析】 (1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为 4。设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)。CMMP由题设知0，CMMP故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22。由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22。(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆。2由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM。因为ON的斜率为 3，所以l的斜率为 ，1 3

16、故l的方程为y2 (x2)，1 3即x3y80。又|OM|OP|2，O到l的距离为，24 105|PM|，4 105所以POM的面积为。16 5【答案】 (1)(x1)2(y3)22(2)x3y80，POM的面积为16 5微考场 新提升1原点必位于圆x2y22ax2y(a1)20(a1)的( )A内部 B圆周上C外部 D均有可能解析 将x0，y0 代入x2y22ax2y(a1)2，得(a1)20，所以原点必位于圆x2y22ax2y(a1)20(a1)的外部。故选 C。答案 C2(2016潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )- 9 -A(x2)2(y

17、2)23B(x2)2(y)233C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)243解析 设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2 上，a2。又圆C与y轴相切，所以半径r2，则(12)2b24，b23，b，故选 D。3答案 D3(2017济南模拟)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10 对称，则圆C2的方程为( )A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21解析 设圆C1的圆心坐标C1(1,1)关于直线xy10 的对称点为(a，b)，依题意得Error!解得

18、Error!所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21。故选 B。答案 B4一个圆经过椭圆1 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方x2 16y2 4程为_。解析 设圆心为(a,0)(a0)，则半径为 4a，则(4a)2a222，解得a ，故圆的3 2方程为2y2。(x3 2)25 4答案 2y2(x3 2)25 45在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_。解析 因为直线mxy2m10 恒过定点(2，1)，所以圆心(1,0)到直线mxy2m10 的最大距离为d，所以半径最大时的半径2121022r，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22。2答案 (x1)2y22