高考数学大一轮复习第八章解析几何第七节抛物线教师用书理.doc

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1、- 1 -第七节第七节 抛物线抛物线2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.理解数形结合的思想；3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。2016，全国卷，10,5 分(抛物线的几何性质)2016，四川卷，8,5 分(抛物线的几何性质)2016，浙江卷，9,4 分(抛物线定义)2015，陕西卷，14,5 分(抛物线标准方程)1.抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点；2.考题以选择题、填空题为主，多为中低档题。微知识 小题练自|主|排|查1抛物线的概念平面

2、内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离- 2 -图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|x0p 2|PF|x0p 2|PF|y0p 2|PF|y0p 2注：抛物线上P点坐标

3、为(x0，y0)。微点提醒 抛物线焦点弦的 4 个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2。p2 4(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)。2p sin2(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 21P67练习 T3(1)改编)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是 4，则点P到该抛物线焦点的距离是_。【解析】 如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2

4、，由于点P到y轴的距离为 4，则点P到准线l的距离- 3 -|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6。【答案】 62(选修 21P72练习 T1(1)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_。【解析】 很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上。当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)，把点P(2，4)的坐标代入得(4)22p(2)，解得p4，此时抛物线的标准方程为y28x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，把点P(2，4)的坐标代入得(2)22p(4)，解得p ，此时抛物

5、线的标准方1 2程为x2y。综上可知，抛物线的标准方程为y28x或x2y。【答案】 y28x或x2y二、双基查验1已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则抛物线焦点坐标为( )A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)【解析】 因为抛物线的准线方程为x 1，p 2 1，焦点坐标为(1,0)。故选 B。p 2【答案】 B2抛物线yx2的准线方程是( )1 4Ay1 By2Cx1 Dx2【解析】 抛物线yx2的标准方程为x24y，所以其准线方程为y1。故选 A。1 4【答案】 A3设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y (k0)与C交于点P，PFx轴，则k( )k xA.

6、B11 2- 4 -C. D23 2【解析】 易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PFx轴可得xP1，代入抛物线方程得yP2(2 舍去)，把P(1,2)代入曲线y (k0)得k2。故选 D。k x【答案】 D4若抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_。【解析】 抛物线yax2可化为x2y，1 a2，1 4aa 。1 8【答案】 1 85已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_。【解析】 A(2,3)在抛物线y22px的准线上， 2，p4，y28x，设直线AB的方程为xm(y3)2，p 2

7、将与y28x联立，即Error!得y28my24m160，则 (8m)24(24m16)0，即 2m23m20，解得m2 或m (舍去)，1 2将m2 代入解得Error!即B(8,8)，又F(2,0)，kBF 。80 824 3【答案】 4 3微考点 大课堂考点一 抛物线的定义及应用母题发散【典例 1】 已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标。- 5 -【解析】 将x3 代入抛物线方程y22x，得y。62，A在抛物线内部，如图。6设抛物线上点P到准线l：x 的距离为d，由定义知1 2|PA|PF|PA|d，

8、当PAl时，|PA|d最小，最小值为 ，即7 2|PA|PF|的最小值为 ，此时P点纵坐标为 2，代入y22x，得x2，7 2点P的坐标为(2,2)。【答案】 最小值 ，P(2,2)7 2【母题变式】 将本典例中点A的坐标改为(3,4)，求|PA|PF|的最小值。【解析】 当P，A，F共线时，|PA|PF|最小，|PA|PF|AF|(31 2)242。25 416892【答案】 892反思归纳 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度。 “看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径

9、。【拓展变式】 (2016广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线1 12y30 相切，则此圆恒过定点( )A(0,2) B(0，3)C(0,3) D(0,6)【解析】 直线y30 是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3 的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)。故选 C。【答案】 C考点二 抛物线的标准方程与几何性质【典例 2】 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是( )Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y- 6 -(2)已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，以F

10、为圆心， |FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的方程为128 3_。【解析】 (1)(待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y。故选 D。(2)(定义法)如图，依题意得|DF|p，cos30，因此|BF|，|AF|BF|DF| |BF|2p3。由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又ABC的面积2p32p3为，因此有 ，p8，该抛物线方程为y216x。128 31 22p32p3128 3【答案】 (1)D (2)y216x反思归纳

11、 1.求抛物线的标准方程的方法1先定位：根据焦点或准线的位置。2再定形：即根据条件求p。2.抛物线性质的应用技巧1利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程。2要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数。【变式训练】 (2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点。已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为( )25A2 B4C6 D8【解析】 由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可25取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4。故(4 p，2 2)(p 2， 5

12、)16 p2p2 4选 B。【答案】 B考点三 焦点弦问题【典例 3】 已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于2A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过原点O。【证明】 设直线AB的方程为xmy ，代入y22px，p 2得y22pmyp20。由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB。p2 yABCx轴，且C在准线x 上，p 2C。(p 2，yB)则kOCkOA。yBp22p yAyA xA直线AC经过原点O。考点四 直线与抛物线的位置关系【典例 4】 (2016江苏

13、高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)。(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；- 8 -(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q。求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围。【解析】 (1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，(p 2，0)由点在直线l：xy20 上，得 020，即p4。(p 2，0)p 2所以抛物线C的方程为y28x。(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)。因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为y

14、xb。证明：由Error!消去x得y22py2pb0。(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而 (2p)24(2pb)0，化简得p2b0。方程(*)的两根为y1,2p，从而p22pby0p。y1y2 2因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p。因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)。因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p。由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )y1y2 x1x2A4 B4Cp2 Dp2解析 若焦点弦ABx轴，则x1x2 ，所以x1x2；p

15、2p2 4y1p，y2p，y1y2p2，4。y1y2 x1x2若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk，(xp 2)联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，p2k2 4则x1x2。p2 4所以y1y2p2。故4。故选 A。y1y2 x1x2答案 A4(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为 10，则M到y轴的距离是_。解析 由于抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1，设点M的坐标为(x0，y0)，则x0110，所以x09。故M到y轴的距离是 9。答案 95抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1 相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_

16、。x2 3y2 3解析 如图，在正三角形ABF中，|DF|p，|BD|p，B点坐标为33- 11 -。又点B在双曲线上，故1，解得p6。(33p，p2)1 3p2 3p2 4 3答案 6微专题 巧突破焦点弦的处理规律直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图。(1)y1y2p2，x1x2。p2 4(2)|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最x1x2短为 2p。(3)为定值 。1 |AF|1 |BF|2 p(4)弦长AB(为AB的倾斜角)。2p sin2(5)以AB为直径的圆与准线相切。(6)焦点F对A，B在准线上射影的张

17、角为 90。【典例】 如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( )Ay29x By26xCy23x Dy2x3【解析】 设直线方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把yk代入抛物线(xp 2)(xp 2)方程，得k222px，整理得k2x2(pk22p)x0，则x1x2，因为(xp 2)k2p2 4p2 4|BC|2|BF|，所以点B到准线的距离dp，即x2 p，解得x2 ，所以2 3p 22 3p 6x1p，|AF|x1 2p3，解得p ，所以抛物线的方程是y23x。故选 C。3 2p 23 2【答案】 C【变式训练】 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于- 12 -A，B两点，则|AB|等于( )A. B6303C12 D73【解析】 焦点F的坐标为，(3 4，0)解法一：直线AB的斜率为，33所以直线AB的方程为y，33(x3 4)即yx，代入y23x，3334得x2x0。1 37 23 16设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，21 2所以|AB|x1x2p 12，故选 C。21 23 2解法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12。故选 C。2p sin23 sin230【答案】 C