高考数学一轮复习第10章概率第2讲古典概型学案.doc

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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 1010 章概率第章概率第 2 2讲古典概型学案讲古典概型学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的2任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和考点 2 古典概型1古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型2古典概型的概率公式P(A).必会结论一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键考点自测1判断下列结论的正误

2、(正确的打“” ，错误的打“”)(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同( )(2)从3，2，1,0,1,2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同( )(3)利用古典概型的概率公式求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率( )(4)“从长为 1 的线段 AB 上任取一点 C，求满足 AC的概率是多少”是古典概型. ( )2 / 15答案 (1) (2) (3) (4)22018武汉调研同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之差的绝对值为 4 的概率为( )A. B. C. D.1 6答案

3、 C解析 同时抛掷两颗骰子，基本事件总数为 36，记“向上的点数之差的绝对值为 4”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共 4 种，故 P(A).3.某天下课以后，教室里还剩下 2 位男同学和 2 位女同学如果他们依次走出教室，则第 2 位走出的是男同学的概率为( )A. B. C. D.1 5答案 A解析 已知 2 位女同学和 2 位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第 2 位走出的是男同学的概率是 P.42016全国卷为美化

4、环境，从红，黄，白，紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.5 6答案 C解析 从红，黄，白，紫 4 种颜色的花中任选 2 种有以下选法：(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有 4 种，所以所求事件的概率 P.故选 C.5甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_3 / 15答案 1 3解析 甲、乙两名运

5、动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共 9 种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共 3 种故所求概率为 P.62018兰州诊断从 2 本不同的数学书和 2 本不同的语文书中任意抽出 2 本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于_答案 1 3解析 数学书为 a1，a2，语文书为 b1，b2，从中任取两本，基本事件为 a1a2，a1b1，a1b2，a2b2，a2b1，b1b2，其中抽出的

6、书是同一学科的取法共有 a1a2，b1b22 种，因此所求的概率等于.板块二 典例探究考向突破考向 简单的古典概型例 1 (1)2017全国卷从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.2 5答案 D解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率 P.故选 D.(2)2017山东高考从分别标有 1,2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取

7、 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )4 / 15A. B. C. D.7 9答案 C解析 9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数).P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同).故选 C.触类旁通求古典概型概率的步骤(1)读题，理解题意；(2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；(3)分别求出基本事件总数 n 与所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m；(4)利用公式 P(A)求出事件 A 的概率【变式训练 1】 (1)2017天津高考有 5 支彩笔(除颜色外

8、无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.1 5答案 C解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P.故选 C.(2)2018海淀一模现有 7 名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2 表示，其中 A1，A2，A3 的数学成绩优秀，B1，B2 的物理成绩优秀，C1，C2 的化学成绩优

9、秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则 A1 和 B1 不全被选中的概率为_5 / 15答案 5 6解析 从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，所有可能的结果组成的 12 个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)设“A1 和 B1 不全被选中”为事件 N，则其对立事件表示“A1和 B1 全被选中” ，由

10、于(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，所以 P()，由对立事件的概率计算公式得 P(N)1P()1.考向 较复杂的古典概型问题命题角度 1 古典概型与平面几何相结合例 2 2018洛阳统考将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点的概率为_答案 7 12解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点，即满足，a2b2 的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，

11、共 65432121 种，因此所求的概率等于.命题角度 2 古典概型与函数相结合例 3 已知 M1,2,3,4，若 aM，bM，则函数 f(x)ax3bx2x3 在 R 上为增函数的概率是( )A. B. C. D.3 16答案 A解析 记事件 A 为“函数 f(x)ax3bx2x3 在 R 上为增函数” 因为 f(x)ax3bx2x3，所以 f(x)3ax22bx1.当函数 f(x)在 R 上为增函数时，f(x)0 在 R 上恒成立又 a0，6 / 15所以 (2b)243a4b212a0 在 R 上恒成立，即 a.当 b1 时，有 a，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数；当 b2

12、时，有 a，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数；当 b3 时，有 a3，故 a 可取 3,4，共 2 个数；当 b4 时，有 a，故 a 无可取值综上，事件 A 包含的基本事件有 4329 种又 a，b1,2,3,4，所以所有的基本事件共有 4416 种故所求事件 A 的概率为 P(A).故选 A.命题角度 3 古典概型与平面向量相结合例 4 2018宿迁模拟已知 kZ，(k,1)，(2,4)，若|4，则ABC 是直角三角形的概率是_答案 3 7解析 因为|4，所以k，因为 kZ，所以 k3，2，1,0,1,2,3，当ABC 为直角三角形时，应有 ABAC，或 ABBC，或ACBC，由0，

13、得 2k40，所以 k2，因为(2k,3)，由0，得 k(2k)30，所以 k1 或 3，由0，得 2(2k)120，所以 k8(舍去)，故使ABC为直角三角形的 k 值为2，1 或 3，所以所求概率 P.触类旁通较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算核心规律古典概型的两种破题技巧(1)树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求另外在确定基本事件时，(x，y)7 / 15可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以

14、看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同(2)含有“至多” “至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用 P(A)1P()求解较好满分策略古典概型求解中的注意事项(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.板块三 启智培优破译高考创新交汇系列 8古典概型与统计的精彩交汇2018长春模拟某教师为了

15、了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于 115 分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；(3)从甲班中 130 分以上的 5 名同学中随机抽取 3 人，求至多有1 人的数学成绩在 140 分以上的概率解题视点 (1)利用中位数、众数的概念求解；(2)由频率的定义求解优秀率即可；(3)分别求出总的基本事件和满足条件的基本事8 / 15件，利用古典概型的概率计算公式求解解 (1)由所给的茎叶图知，甲班 50 名同学的成绩由小到大排序，排在第 25,26 位的是 10

16、8,109，数量最多的是 103，故甲班数学成绩的中位数是 108.5，众数是 103；乙班 48 名同学的成绩由小到大排序，排在第 24,25 位的是106,107，数量最多的是 92 和 101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为 92 和 101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为；乙班中数学成绩为优秀的人数为 18，优秀率为.(3)将分数为 131,132,136 的 3 人分别记为 a，b，c，分数为141,146 的 2 人分别记为 m，n，则从 5 人中抽取 3 人的不同情况有abc，abm，abn，acm，acn，amn，bcm，bc

17、n，bmn，cmn，共 10 种情况记“至多有 1 人的数学成绩在 140 分以上”为事件 M，则事件M 包含的情况有 abc，abm，abn，acm，acn，bcm，bcn，共 7 种情况，所以从这 5 名同学中随机抽取 3 人，至多有 1 人的数学成绩在 140分以上的概率为 P(M).答题启示 求解古典概型与统计交汇问题的思路,1 依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息.,2 进行统计与古典概型概率的正确计算.跟踪训练某学校高一年级共有 20 个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距 5 将数据分组成0,5)，5

18、,10)，30,35)，35,40，作出频率分布直方图如图所示(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；(2)若会弹钢琴的人数为35,40的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率9 / 15解 (1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，2.50.0157.50.01512.50.04517.50.x02522.50.04527.50.03532.50.03537.50.02522，所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为 22.(2)由频率

19、分布直方图知，第一备选班级为 2 个，第二备选班级为 3 个，用 ai(i1,2)表示第一备选班级，bj(j1,2,3)表示第二备选班级则从两类备选班级中选出两个班参加比赛，有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，b1，b2，b1，b3，b2，b3，共 10 种情况其中第一备选班级和第二备选班级中均有班级被选中的情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，共 6 种情况所以两类备选班级中均有班级被选中的概率为.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标1袋中有 2 个白球，2 个黑球，若从中任意摸出 2 个，则至少摸

20、出 1 个黑球的概率是( )A. B. C. D.1 3答案 B解析 该试验中会出现(白 1，白 2)，(白 1，黑 1)，(白 1，黑2)，(白 2，黑 1)，(白 2，黑 2)和(黑 1，黑 2)共 6 种等可能的结果，事件“至少摸出 1 个黑球”所含有的基本事件为(白 1，黑 1)，(白1，黑 2)，(白 2，黑 1)，(白 2，黑 2)和(黑 1，黑 2)共 5 种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出 1 个黑球”的概率是.2从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )10 / 15A. B. C. D.1 5答案 D解析 在正六边形

21、中，6 个顶点选取 4 个，种数为 15.选取的 4点能构成矩形的，只有对边的 4 个顶点(例如 AB 与 DE)，共有 3 种，所求概率为.3从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是男生或都是女生的概率等于( )A. B. C. D.3 4答案 A解析 设 2 名男生为 A，B,3 名女生为 a，b，c，则从 5 名同学中任取 2 名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共 10 种，而这 2 名同学刚好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，

22、(B，a)，(B，b)，(B，c)，共 6 种，故所求的概率 P1.4为了纪念抗日战争胜利 70 周年，从甲、乙、丙、丁、戊 5名候选民警中选 2 名作为阅兵安保人员，为阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有 2 名被选中的概率为( )A. B. C. D.1 20答案 A解析 从甲、乙、丙、丁、戊 5 人中选 2 人的所有情况为：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共 10 种，其中有甲、乙、丙中 2 人的有甲乙、甲丙、乙丙 3 种，所以 P.52018梅州质检如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是 1,2,3,4 中的任何一个，允许重复则填入 A 方格的数

23、字大于 B 方格的数字的概率为( )A. B. C. D.3 811 / 15答案 D解析 只考虑 A，B 两个方格的排法不考虑大小，A，B 两个方格有 4416(种)排法要使填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字，则从 1,2,3,4 中选 2 个数字，大的放入 A 格，小的放入 B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共 6 种，故填入A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为.选 D.62018湖北模拟随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则

24、( )Ap10，即 ab，又a4,6,8，b3,5,7，a，b 的取法共有 339 种，其中满足ab 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共 6种，所以所求的概率为.B 级 知能提升12018南京模拟一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 ab，b的概率是_答案 1 6解析 由 e，得 b2a.当 a1 时，b3,4,5,6 四种情况；当 a2 时，b5,6 两种情况，总共有 6 种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有 36 种结果所求事件的概率 P.14 / 154按照国家环保部发布的新修订的环境空气质量标准 ，

25、规定：PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米国家环保部门在 2017 年 10 月 1 日到 2018 年 1 月 30 日这 120 天对全国的 PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5 浓度(微克/立方米)频数/天第一组(0,3532第二组(35,7564第三组(75,11516第四组115 以上8 (1)在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步分析，第一组应抽取多少天？(2)在(1)中所抽取的样本 PM2.5 的平均浓度超过 75 微克/立方米的若干天中，随机抽取 2 天，求恰好有一天平均浓度超过 115 微克/立方米的概率解 (1)在这 120 天中抽取

26、 30 天，应采取分层抽样，第一组应抽取 328 天；第二组应抽取 6416 天；第三组应抽取 164 天；第四组应抽取 82 天(2)设 PM2.5 的平均浓度在(75,115内的 4 天记为A1，A2，A3，A4，PM2.5 的平均浓度在 115 以上的 2 天记为 B1，B2.所以从这 6 天中任取 2 天的情况有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，共 15 种记“恰好有一天平均浓度超过 115 微克/立方米”为事件 A，其中符合条件的情况有A1B1，A1B2，A2B1，A2

27、B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共 8 种，故所求事件 A 的概率 P(A).52018兰州双基测试一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.15 / 15(1)求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率解 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2

28、,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种，所以 P(A)，因此， “抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种，所以 P(B)1P()1，因此， “抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为.