高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5讲指数与指数函数学案.doc

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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 5 5 讲指数与指数函数学案讲指数与指数函数学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 指数及指数运算1根式的概念2分数指数幂(1)a) (a0，m，nN*，n1)；(2)a) ) )(a0，m，nN*，n1)；(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)考点 2 指数函数及其性质1指数函数

2、的概念函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数说明：形如 ykax，yaxk(kR 且 k0，a0 且 a1)的函数叫做指数型函数2指数函数的图象和性质底数a100 时，恒有y1；当x0 时，恒有 01性质函数在定义域 R R 上为增函数函数在定义域 R R 上为减函数必会结论1()na(nN*且 n1)2.n 为偶数且 n1.3底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a1，还是 0a1，在第一象限内底数越大，函数图象越高考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1) 4.( )(2)函数 yax(a0，且

3、 a1)是 R 上的增函数( )(3)函数 yax21(a1)的值域是(0，)( )(4)函数 yax 与 yax(a0，且 a1)的图象关于 y 轴对称( )答案 (1) (2) (3) (4)2课本改编01(0.5)2) 的值为( )B. A0 D4C3 答案 C解析 原式1(14)3.故选 C.3课本改编函数 f(x)ax21(a0 且 a1)的图象必经3 / 13过点( )B(1,1) A(0,1) D(2,2)C(2,0) 答案 D解析 a01 故 x20 时 f(x)2，即 x2 时 f(x)2.故选 D.42018吉林模拟已知a20.2，b0.40.2，c0.40.75，则( )

4、Bacb Aabc DbcaCcab 答案 A解析 由 0.20.40.75，即 bc；因为 a20.21，b0.40.2b.综上，abc.5课本改编函数 f(x)21x 的大致图象为( )答案 A解析 f(x)21x22x.f(x)在 R 上为减函数，排除C，D；又 f(0)2121，排除 B.故选 A.62018南通调研函数 f(x)x22x 的值域为_答案 (0,4解析 x22x(x1)211，00，b0)；(2)计算：2()6() 4) 80.25(2018)0.考向 指数函数的图象及应用例 2 若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_答案 1,1解析 曲线

5、|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1，1若将本例中“|y|2x1”改为“y|2x1|” ，且与直线 yb 有两个公共点，求 b 的取值范围解 曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)若将本例改为：直线 y2a 与函数y|ax1|(a0 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是5 / 13什么？解 y|ax1|的图象是由 yax 先向下平移 1 个单位，再将x 轴下方的图象沿 x 轴翻折过来得到的

6、当 a1 时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当 0a1 时，要使两个图象有两个交点，则 02a1，得到0a，如图(2)综上，a 的取值范围是.触类旁通指数函数图象的应用技巧对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论【变式训练 2】 2018广东佛山模拟已知函数 f(x)|2x1|，af(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )Ba0Aaf(c)f(b)，结合图象知 f(a)0，01，f(a)|2a1|12a，f(c)|2c1|2c1.又 f(a)f(c)，即 12a

7、2c1，2a2c，所以) 0 的解集是( )Bx|x4Ax|x2 Dx|x5Cx|x6 答案 D解析 当 x0 时，由 f(x)3x90 得 x2，所以 f(x)0 的解集为x|x2 或 x0 的解集为x|x5选 D.命题角度 3 与指数函数有关的复合函数问题例 5 (1)2018桂林模拟已知函数 y2x2ax1 在区间(，3)内单调递增，则 a 的取值范围为_答案 6，)解析 函数 y2x2ax1 是由函数 y2t 和tx2ax1 复合而成因为函数 tx2ax1 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数 y2t 在 R 上单调递增，所以函数 y2x2ax1 在区间上单调递增，在区间上单调递

8、减又因为函数 y2x2ax1 在区间(，3)内单调递增，所以3，即 a6.(2)函数 yxx1 在 x3,2上的值域为_答案 3 4，57解析 令 tx，则 yt2t12，x3,2，t，当 t时，ymin.当 t8 时，ymax57.所以函数的值域为.触类旁通7 / 13有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或 1)(2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复

9、合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决核心规律1.判断指数函数图象的底数大小的问题，可以通过令 x1 得到底数值，再进行大小比较2.指数型函数、方程及不等式问题，可以利用指数函数的图象和性质求解满分策略1.解决指数函数有关问题时，若底数不确定，应注意对 a1 及00，且 a1)的函数、方程、不等式等问题，可以利用换元法求解但一定要注意新元的范围.板块三 启智培优破译高考易错警示系列 2忽略指数函数底数的分类讨论致误2018海南模拟若函数 f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且

10、函数 g(x)(14m)在0，)上是增函数，则 a_.错因分析 误认为 a1，只按一种情况求解，而忽略了 01 时，f(x)ax 在1,2上的最大值 a24 得 a2，最小值 a1m，即 m，这时 g(x)(14m)在0，)上为减函数，不合题意，舍去，所以a.答案 1 4答题启示 由于指数函数 yax，当 a1 时为增函数，当 00，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.答案 3 2解析 当 01 时，函数 f(x)在1,0上单调递增，由题意可得即显然无解所以 ab.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12015山东高考设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，

11、c 的大小关系是( )BacbAabc DbcaCbac 答案 C解析 函数 y0.6x 在定义域 R 上为单调递减函数，9 / 1310.600.60.60.61.5.而函数 y1.5x 为单调递增函数，1.50.61.501，bac.2函数 f(x)axb 的图象如图，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )Aa1，b1，b0C00D00，且 a1)的值域为1，)，则 f(4)与 f(1)的关系是( )Bf(4)f(1)Af(4)f(1) D不能确定Cf(4)1，f(4)a3，f(1)a2，由单调性知a3a2，f(4)f(1)72018北京模拟函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位

12、长度，所得图象与曲线 yex 关于 y 轴对称，则 f(x)( )Bex1 Aex1 Dex1Cex1 答案 D解析 与曲线 yex 关于 y 轴对称的曲线为 yex，函数yex 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象，即 f(x)e(x1)ex1.故选 D.8函数 yx22x1 的值域为_答案 (0,4解析 设 tx22x1(x1)22，则 t2.因为 yt 是关于 t 的减函数，所以 y24.又 y0，所以01 时，yax 是增函数，a2a，a.当01.32017山东济宁月考已知函数 f(x)(a2)ax(a0，且a1)，若对任意 x1，x2R，0，则 a 的取值范围是_答

13、案 (0,1)(2，)解析 当 02 时，a20，yax 单调递增，所以f(x)单调递增又由题意知 f(x)单调递增，故 a 的取值范围是(0,1)(2，)12 / 134如果函数 ya2x2ax1(a0，且 a1)在区间1,1上的最大值是 14，求 a 的值解 令 tax，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t，又函数 y(t1)22 在上单调递增，所以 ymax(a1)2214，解得 a3 或 a5(舍去)当 0a1 时，因为 x1,1，所以 t，又函数 y(t1)22 在上单调递增，则 ymax2214，解得 a或 a(舍去)综上，a3 或 a

14、.52018益阳月考已知函数 f(x)ax24x3.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值解 (1)当 a1 时，f(x)x24x3，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 yt 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令 g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有Error!解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 f(x)g(x)的值域为(0，)应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为13 / 13R)故 a 的值为 0.