概率论与数理统计龙永红.pdf

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1、1.(1)6,6).(3,1)(2,1(),1,1(1 (2)|212xxxx:当日最低价:当日最高价 (3),3,2,1,03 (4),3,2,13 2.(1)(3)3.6,5,4,3,2,1 ,5,3,1A ,4,3,2,1B,4,2C 5,4,3,2,1 BA 5 BA ,4,2 AB 3,1AB AC 6,4,3,2,1 BA 4.(5)ABCBCACBACABCBACBACBA(8)ABCBCACBACAB (10)BACBBA (11)CBA 9.25.0)()()()(ABPAPABAPBAP 又4.0)(AP 15.0)(ABP)()()()(ABPBPAPBAP 15.025

2、.04.0 5.0)()(ABBPABP)()(ABPBP 15.025.0 1.0)(1)()(BAPBAPBAP 5.01 5.0 10.)(1)(CBAPCBAP 而6.04.01)(1)(APAP 又)()(BABAPAP)()(BAPBAP 4.0)()()(BAPAPBAP 又CBACBABA)()()(CBAPCBAPBAP 3.01.04.0)(CBAP 7.0)(CBAP 11.A=“其中恰有 K件”nNknNNKNCCCAP11)(B=“其中有次品”B“一件次品也没有”nNnNNCCBPBP11)(1)(C=“其中至少有两件次品”C“只有一件次品，或没有”nNnNNNnNn

3、NNCCCCCCPCP111111)(1)(12:A=“男生比女生先到校”243024301!24!30!6!24)(CPAP B=“李明比王先到学校”21)(BP 13.C“至少两人生日同一天”C“每个人生各不同”nnCPCP365)1365(3643651)(1)(14.A=“第 2 站停车”A“不停车”25)98(1)(1)(APAP B=“第 i和第 J站至少有一站停车 B“第 i 站到 J站都不停”)(1)(BPBP 25)97(1 iA“第 i 站有人下车（停车）”jA“第 j站有人下车”)(1)(1)(jijijiAAPAAAAP)()()(1jijiAAPAPAP)()()(1

4、jijiAAPAPAP 2525)97(2)98(1 D=“在第 i站有 3 人下车”223325)98()91()(CDP （贝努里试验）15.（1）A“前两个邮筒没有信”41422)(2AP（2）B“第一个邮筒恰有一封信”8343)(212CBP 16.A“前 i 次中恰好有取到 k封信”)!()!(!)(baibaiCCAPkibka ibakibkaCCC 17.3A“第三把钥匙可以开门”2A“第二把钥匙可以开门”)()(3213213213213AAAAAAAAAAAAPAP)()()()(321321321321AAAPAAAPAAAPAAAP 839410683961048495

5、1068293104 72014412024 720288 104 3A“第三把钥匙才可以开门”617201208495106)(3AP C=“最多试 3 把就可以开门”849510694106104)(CP 65 18.贝努里试验 A“其中三次是正面”1031073310)21()21()21()(CCAP“恰有一红球，一白球，一黑球”41)(310121315CCCCAP 20.!1348!132223)(12CAP 21.几何概型 A“等待时间不超过 3 分钟”X到达汽车站的时间 10txtx 107txtxA 103)()()(SASAP 22.A“需要等零出码头的概率”x第 1 条船

6、到达时刻 y第 2 条船到达时刻 240),(xyx240 y 20),(yxyxA10 xy 222224)2322(2124)()()(SASAP 23.A“第一次取出的是黑球”B“第二次取出的是黑球”（1）11)1()()1()()()(baabaababaaaAPABPABP （2）1111111)()()(baabaababbaabaabaabaaBPABPBAP （3）A“取出两个球，有一个是黑球”B=“两个都是黑球”)12()1(baaabbaanA)1(aanB 121)12()1()(baabaaaannABPAB 24.（1）)()()(APABPABP AB AAB 1A

7、PAPAPABPABP）（）（）（）（）（2）（）（）（）（APABPAP)(PAABP212121ABBBB 21BB)()()(21APABPABP)()()()(21APABPAPABP)()(21ABPABP 25.(1)(）（女，女），（男，女）（女，男男，男 A=“已知一个是女孩，”（女，女）（男，女）（女，男）C“两上都是女孩”（女，女）31ACP）（2）解略21AP21）（AiA“第 i 个是女孩”26.A=“点数为 4”316652)(AP 27.A“甲抽难签”B=“乙抽难签”C=“丙抽难签”104)(AP)()()(ABPAPBAP 94106 9024 154 )()()

8、()(ABCPABPCAPABCP 8293104 72024 28.A=“试验成功，取到红球”0B“从第二个盒子中取到红球”1B“从第三个盒子中取到红球”)()(10ABABPAP)()(10ABPABP)()()()(1100BAPBPBAPBP 10810310721 10059 59.0 29.A=“废品”1B“甲箱废品”2B“乙箱废品”（1）)()(21ABABPAP)()()()(2211BAPBPBAPBP 05.0502006.0503 056.0（2）120201003005.0240006.03000)(AP 5400120180 181 30.iB“第二次取球中有 i 个

9、新球”i=0.1,2,3 jA“第一次取球中有 j个新球”j=0,1,2,3 (1)()(322212022ABABABABPBP)()()()()()(222121020ABPAPABPAPABPAP)()(323ABPAP 312339)(CCCAPJJj3,2,1,0J 31213292)(CCCABPJJj3,2,1,0J 分别对应代入该式中，可得：455.0)(2BP （2）)()()()()()(212122121BPABPAPBPBAPBAP 将，代入该式，可得：14.0)(21BAP 31、A“确实患有艾滋病”B“检测结果呈阳性”由题知：95.0)(ABP01.0)(ABP00

10、1.0)(AP)()()()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBPABPBAP 01.0999.095.0001.095.0001.0 087.0 C=“高感染群体确实患有艾滋病”01.0)(CP)()()()()()()()()(CBPCPCBPCPCBPCPBPBCPBCP 01.099.095.001.095.001.0 49.0 32.解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为 设 A“被袭击者正确识别袭击者种族”A“错误识别袭击者种族”B“袭击者为白人”B“袭击者为非白人”根据已知条件，有 8.0)(AP2.0)(AP)()(ABBAPBP)()(BAPABP)()()

11、()(ABPAPABPAP)(2.0)(8.0ABPABP 因)(ABP 与)(ABP未给出，因而不能断定 8.0)(BP 33.解：21)()()(CPBPAP41)()()(ACPBCPABP CBA,两两独立，又81)()()(41)(CPBPAPABCP CBA,不相互独立，只是两两独立。34.0)(APB有)()(0)(BPAPABPBA,独立 1)(APB有 0)(APBA与独立 BA,独立）（）（）（ABPABPBP)B(AP）（）（BAPBP）（）（）（BPAPBP）（）（A1BPP）（）（APBP 35.0)(AP且 0)(BP 且 A，B互不相容 则 A，B不可能相互独立

12、因为0)()(ABP 但因为 0)(AP0)(BP)()(0)(BPAPABP 不独立 36.CBA，相互独立，证明 CBA，亦相互独立 证：）（）（）（）且（）（）（）（BPAPABPCPBPAPABCP）（）（）（），（）（）（CPAPACPCPBPBCP 则）（）（）（BABAAP1BPP）（）（）（BAPBPAP1)(APBPAP1BP）（）（）（BP1AP1）（）（)()(BPAP 同理可证)()()(CPAPCAP)()()(CPBPCBP 下证)(1)()(CBAPCBAPCBAP)()()()()()()(1ABCPBCPACPABPCPBPAP)()()()()()()(1C

13、PAPBPAPCPBPAP)()()()()(CPBPAPCPBP)(1)(1)(1 CPBPAP)()()(CPBPAP CBA,相互独立 37.证略，可用数学归纳法 38.A“第一道工序出品”B“第二道工序出废品”C“第三道工序出废品”)(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP 8.095.09.01 316.0 39.A=“雷达失灵”B=“计算机失灵”)()()(BPAPBAP（因为独立）7.09.0 63.0 40.B“击落”A，B，C 分别代表三收炮弹 iAi发炮弹击中敌机 3,2,1i)()()()(1CBAPCBAPCBAPAP 3.07.07.03.07.07.07.

14、07.03.0 441.0)()()()(2CBAPBCAPCABPAP 7.03.03.07.03.03.07.03.03.0 189.0 27.0)()(3ABCPAP 2.0)(1ABP 6.0)(2ABP 1)(3ABP 1027.06.0189.02.0441.0)(BP 2286.0)()()(22BPBAPBAP)()()(22BPABPAP 2286.06.0189.0 496.0 习题二（A）1解：X:甲投掷一次后的赌本。Y：乙 21214020px21213010Yp 40,14020,2120,0)(FxxxxxX30,13010,2110,0)(FYxxxyY .解（1

15、）10011001100110012112121)(iiiiiiiaaaixp（）31211112112121)(1110011aaaaaixpiiiiiii 3.解 21 51 101512 0 25Xp 解（）X:有放回情形下的抽取次数。P（取到正品）107CC11017 P（取到次品）103 107)103(107)103(107 103,107 i 3 2 1X1-i2p（）Y:无放回情形下。778192103 87 92103 97 103 107 4 3 2 1 Yp 解 54511)5(1)3(1)3P(XpXpX 542)P(X0)P(X)2()33()3XP(XpXp 107

16、)5()2()3()1()21P(2)1()21XP(XpXpXpXpXXp 6解（）根据分布函数的性质 11)1()(2lim1lim1AAxFxFxx(2)5.0()8.0()8.05.0(FFXP225.08.0 解：依据分布满足的性质进行判断：（）x 单调性：xxFxFxx0).()(2121在时不满足。（）x0，不满足单调性。（）0 x，满足单调性，定义xxxxF0,00,11)(2是可以做分布函数的.所以，211)(xxF能做分布函数。解（）F（x）在 x=0,x=1处连续，所以 X 是连续型。其他,010,2)()(xxxFxf（）F（x）在 x=0 处连续，但在 X处间断，所以

17、 X不是连续型。解：（）求 a,由 211)(21211)(00axdeadxeadxaedxxfxxx）dxexXPxxx21)()F(，当 xy yx 211212)()(xxdxydydxxdy dxxdxxx)4(21)(221212 213212122136223xxxx 672233138 35 32.证明：P(X=a,Y=b)=P,i,j=1,2.P(X=a)P P(Y=bj)=P j=1,2 11)()YX(EijijjiPba 1111ijijijjijiPbPa 11ijjiijpbpa EYEX EYEXpbpapbaEXYjjjijiijijji1111 33.2060

18、2040020206019401202060240182020601401920CCC20CCC19CCC2CCC10EX=8 34.因为可以看成是 9 重见利试验，EX=np=925981）（35.参考课本 P84 的证明过程.36.X2 X1 0 1 2 p 0 561 285 285 5621 1 565 145 285 5635 p2Xj 283 2815 2810 Cov(x1,x2)=EX1X2-Ex1Ex2 =283556352815 =22415 37.其它00,012),(43yxeyxfyx 其它0021),(43yxeyxgyx 所以：0003)(31xxexfxX 00

19、04)(41yyeyfyY 其它00)(421)(732xeexgxxX 其它007)(72yeygyY 因为)(),(11yffyxfYX,所以 X,Y独立.故0),(C111111YEXYEXyxov 222222),(CEYEXYEXyxov Y 0 1 2.19 20 P 20602020CC 20601401920CCC 20602401820CCC.20601940120CCC 20602040020CCC 71)(421217300043 dxeedydxexyxxxyx 711210043 xyxdydxexy 49171498 38.),cov(2,11YXDYDXDXYXX

20、 所以 2121132),cov(121DYDXDXYX 因为 X1,Y1 独立。所以 Cov(X1,Y1)=0(也可以计算：Cov(X1,Y1)=Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(y,x)-Cov(Y,y)=121211=0)39.其它011),(22yxyxf 22112121)(xxXxdyxf22112121)(yyYydxyf 所以：yfxfyxfyx1)(),(所以：X,Y不独立。DYDXEYEXEXYDYDXyxyx),cov(,=40.664752225112254),cov(DYDXEYEXEXY

21、DYDXYXXY 41.219166),cov(,BABArrBArrDDrr BAPrxxrr)1(ABBABArpDDxxDxDxD)1(2)1(22 2134)1(2)1(91622xxxx 96132xx 913313)133(13222x 当133x时，最小为131081399 9)9,16min()min(,BArrDD 当13606132xxx时，即时，)min(,BArrrpDDD 42.解 设投资组合的收益率为 r,则 BAprxxrr)1(ABBAApDDxxDxDx)1(2)1(DB2 所以：2B22B2)1()1()1()1(2DABBABABBAApDxDxDxDDx

22、xDx)1()1()1(222ABBABBADxDxDx 当 x=1 时，0ApDD 1,1ABx时故0)1(D)1(D0D,01,12B2PB2ABABxAB得由即 所以，对任意 x,有0DP，所以，任意组合 P 都有风险。若ABAB当,1=1 时 BADDxxxx)1(2D)1(DDB2A2p 2)1(BADxDx 设投资组合中数为 X,则 0)1(BADxDx 即ABAABBDDDXDDDx1,此时0 当BABAABDDxxDxDx)1(2)1(D122P时，2)1(BADxDx 选投资组合中权数 x,使得 0)1(BADxDx BABDDDx,BAADDDx1,此时0PD 不卖座即 0

23、 x1,能在 0 x1上得到比证券 A和 B 的风险都小的投资组合，意味着的最小值在 0 x1达到。由 0DD)42(D)1(2D2DBABAPABxxx 所以 ABBABAABBABDDDDDDDx2 所以 )1(222ABBABABAABBABADDDDDDDDDD 0)()1(2)(22BAABBABADDDDDD 故为使 0 x1 则 ABBABAABBABABBABDDDDDDDDDD20 解得：AABDDB且BADDAB 如果BADD，则上述等价于BADDAB 如果ABDD，则上述等价于ABDDAB综上:当),max(),min(BABADDDDAB时，可在不卖座的情况下获得比 D

24、A和 DB都小的风险投资组合。43.Er=0.1(-3%)+1%0.105+2%0.175+3%0.26+4%0.125+5%0.13+6%0.065+7%0.04=2.755%P(r=-3%/rf=1.5%)=05.05.0025.0%)5.1(%)5.1%,3(ffrprrP P(r=1%/rf=1.5%)=1.05.005.0P(r=2%/rf=1.5%)=2.05.01.0 P(r=3%/rf=1.5%)=3.05.015.0P(r=4%/rf=1.5%)=15.05.0075.0 P(r=5%/rf=1.5%)=1.05.005.0 P(r=6%/rf=1.5%)=05.05.002

25、5.0 P(r=7%/rf=1.5%)=05.05.0025.0 所以：E(r/rf=1.5%)=0.05(-3%)+0.11%+0.22%+0.33%+0.154%+0.15%+0.056%+0.057%=3%44.2212)1(48)(),()(xyxxxyxfyxfxyfXXY,0 xy1 dyxyyfxXY)()XYE1212xdyxyy 321132112132xxxyxx(0 x1)所以：其它01013232)XYE2xxxx 46.看成伯努利试验，Xb(120,201)XP(6)泊松分布 or X N(6,5.7),A=“X10”)2019()201()2019()201()20

26、19()201()2019()201(C-1P(A)11991201822120191112012000120CCC 采用泊松分布或正态分布近似计算 （二项分布计算结果）泊松分布 P(A)=1-F(10)=1-0(10-6)/2 =1-0 显然，本题正态分布比泊松分布更准确。47.X=开动生产的机床数 Xb(200,0.7)所以 XN(140,42)设以以上概率保证正常生产机器为 K台，则 P(X95.0)42140K(K)0 所以 7.15065.1)42140K(K所以 K=151 台 所以 各电能K15=2265 个电能单位，以保证机器都正常 48.121X,0X,5.0,5.0XiiiDEU X1,X2相互独立，)25,0()121300,0(X3001NXNxii,X 的均值为 0，所以密度函数关于原点对称(1)15(22)15()(2)15()15P(3001xpxii=0027.0)3(1(20（）X=X1+XNN(0,12n)9.01)1210(21)10(2)1010()10(nxpxP 77.44065.1121095.0)1210(0nnn 所以 n=440.