概率论与数理统计(龙永红)ppt课件.ppt

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1、一、一、 随机变量随机变量的概念 从直观上讲，随机变量就是从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特征基本结果的数量特征。这些数值因试验结果的不确定性而带有随机性，这些数值因试验结果的不确定性而带有随机性，因此称为因此称为随机变量随机变量。 随机变量是概率论的重要概念，把随机变量是概率论的重要概念，把试验的基本结试验的基本结果数量化果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。 有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子的点数、灯泡的使用寿命等。

2、的点数、灯泡的使用寿命等。 而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现正面时用系，如抛硬币时规定出现正面时用1 1表示，出现反表示，出现反面时用面时用0 0表示。表示。随机变量的直观定义随机变量的直观定义例例1 1 将一枚均匀硬币抛掷将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三次。我们感兴趣的是三次投掷中，出现次投掷中，出现H的总次数，而对的总次数，而对H，T出现的出现的顺序不关心。以顺序不关心。以X记三次投掷中出现记三次投掷中出现H的总次的总次数，那么，对样本空间数，那么，对样本空间=中的每一个样本中的每一个样本点点，X都有一个值与

3、之对应，即有都有一个值与之对应，即有样本点 X的值HHH HHT HTH HTT THT TTH TTT 3 2 2 1 1 1 0 随机变量的数学定义随机变量的数学定义都是都是随机事件随机事件。R X设设E E是一个随机试验，是一个随机试验，是其样本空间。我们称样本是其样本空间。我们称样本空间上的函数空间上的函数为一个为一个随机变量随机变量，如果对于任意的实数，如果对于任意的实数x x，集合，集合随机变量X生成的事件域：小事件域的事件的最包含所有形如 X xX)(随机变量X所包含的信息集：XXXxXx：事件域事件域:(1) F ；(2) 若若AF ，则则AF ； (3) 若若A1，A2， ，

4、An， F ，iiA1则则 F 。(信息集信息集)由一些事件组成的满足以下三个条件的集合由一些事件组成的满足以下三个条件的集合F ： 事件域的数学定义事件域的数学定义说说 明明、文字母随机变量常用大写的英ZYX等来表示。、或希腊字母表示。、文字母机变量的值常用小写英随常关心的是它的取值，对于随机变量，我们常zyx述随机事件。描要用随机变量的取值来我们定义随机变量，是(4)(4)概率在随机变量值域上的分配情况称为随机变量的概率在随机变量值域上的分配情况称为随机变量的 概率分布。概率分布。概率分布完整地描述了随机变量取值的概率分布完整地描述了随机变量取值的 统计规律性。统计规律性。例例2 2 掷一

5、颗骰子，用掷一颗骰子，用 X X 表示表示出现的点数。则出现的点数。则 X X 就是一就是一个随机变量它的取值为个随机变量它的取值为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。则。则4X 表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；取偶数X 表示掷出的点数为偶数这一随机事件在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量例如我们可以定义：出现奇数点出现偶数点01Y6061点数不为点数为Z例例3 3 上午上午 8:008:009:00 9:00 在某路口观察，用在某路口观察，用Y Y表示表示该该时间间隔内通过的汽车数。则时间间隔内通过的汽车数。则 Y Y 就是一个

6、就是一个随机变量它的取值为随机变量它的取值为 0 0，1 1，。100Y 表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100100辆这一随机事件；辆这一随机事件；10050Y 表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件 注意 Y 的取值是可列无穷个！例例4 4 观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生物的寿命。则 Z 就是一个随机变量。它的取值为所有非负实数。1500Z表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件注意 Z 的取值是无界的区间！3000Z二、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的定义如果随机变量如果随机变量 X

7、 X 的全部不同取值是有限个或可列无的全部不同取值是有限个或可列无穷多个，则称穷多个，则称 X X 为为离散型随机变量离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的所有可能取值为，kxxx21,2,1kpxXPkk则称X 1x 2x ， kx P 1p 2p ， kp 为离散型随机变量 X 的概率分布分布或例例5 5 投掷一枚均匀硬币，设X为一次投掷中出现正面的次数，即THX01于是X的概率分布为X 1 0 P 21 21 或者表示为210211X离散型随机变量概率分布的性质离散型随机变量概率分布的性质 0kpk，有对任意的自然数11kkp例例6 6设离散型随机变量 X 的概

8、率分布为 ; 3, 2, 1321iaiXPi分别求上述各式中的常数a 。 , 2, 1322iaiXPi 如果给定离散型随机变量如果给定离散型随机变量X X的概率分布，那么用的概率分布，那么用X X表示的任何一个事件的概率都可由这个概率分布计算。表示的任何一个事件的概率都可由这个概率分布计算。也就是说，这个概率分布定义了一个事件域也就是说，这个概率分布定义了一个事件域(X)(X)上上的一个概率测度。的一个概率测度。IxiixPIXP)( 离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的统计规律性提供了一目了然的描述。统计规律性提供了一目了然的描述。例例7

9、7设X 的概率分布为例6的(1)给出，即; 3, 2, 1323827iiXPi求下列各事件的概率X1、 X1、 X2、 X2.5、 X3、X4。三、分布函数三、分布函数 定义定义 设 X X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数)(xXPxF称为 X X 的分布函数分布函数对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：).()(121221xFxFxXPxXPxXxPx1 x2 xXo)(xXPxF0 xxX随机变量的分布函数定义了事件域随机变量的分布函数定义了事件域(X)(X)上的一个概上的一个概率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提

10、供了直观的描述。直观的描述。例例8 8 等可能地在数轴上的有界区间a,b上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布函数).()(1212xFxFxx时，即当10 F(x)是一个不减的函数 分布函数的性质且 20, 1)(0 xF;0)(lim)(xFFx. 1)(lim)(xFFx),() 0(30 xFxF .)( 是右连续的即xF0 1 2 31F(x)x例例 设随机变量 X 的概率分布为： 求 X 的分布函数. 0 1Xpk2121解：解：当 x 0 时，)(xXPxF四、离散型随机变量的分布四、离散型随机变量的分布 P. 0,10时当 x )(xXPxF0XP.21,

11、1时当x )(xXPxF10XXP或. 111102100)(xxxxF 0 1 x1例 设随机变量X的分布函数为.3, 1, 32,1915,21,199, 1,0)(xxxxxF 0 1 2 3 x1199196194Xpk196 1 2 3194199 xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数概率分布概率分布kkxXPp 离散型随机变量概率分布与分布函数的关系离散型随机变量概率分布与分布函数的关系 例例 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.解：解：(1)若 x

12、 0, 则X x 是不可能事件，于是. 0)()(PxXPxF（2）,0, 202xkxXPx由题意，若X五、连续型随机变量及其概率密度五、连续型随机变量及其概率密度时于是，20 x.400)(2xxXPXPxXPXF（3） 若 , 则 是必然事件，于是xX 2x. 1)(xXPxF.420, 4/12xxPk即得与上式对比由已知得取, 120, 2xPx. 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 1 2 31F(x)x ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分在区间恰是非负函数xtfxF量的概念由此引入连续型随机变连续型

13、随机变量的概念与性质定义定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量连续型随机变量 X X 的分布函数是连续函数的分布函数是连续函数 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：. 0)(10 xf. 1)(20dxxff (x)0 x1)( .)()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf (x)x01x2xxxxXxPxxFxxFxfxx)()()(limlim00).()()(40 xf

14、xFxxf处连续，则有在点若由这个性质可知由这个性质可知xxfxxXx)(P因此注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量概连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量概率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！我们不能认为： ！afaXP有对任意的实数是连续型随机变量，则设 , aX0 aXP连续型随机变量的一个重要特点连续型随机变量的一个重要特点说说 明明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关 心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的密度函数为若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX GdxxfGXP连续型随机变量的概率密度定义了事件域连续型随机变量的概率密度定义了事件域(X)(X)上的上的一个概率测度。概率密度也为连续型随机变量的统计一个概率测度。概率密度也为连续型随机变量的统计规律性提供了直观的描述。规律性提供了直观的描述。