高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11讲导数在研究函数中的应用学案.doc

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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 1111 讲导数在研究函数中的应用学案讲导数在研究函数中的应用学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 函数的导数与单调性的关系函数 yf(x)在某个区间内可导：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递减；(3)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内是常数函数考点 2 函数的极值与导数1函数的极小值与极小值点若函数 f(x)在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的

2、函数值都小，且 f(a)0，而且在 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；2函数的极大值与极大值点若函数 f(x)在点 xb 处的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，且 f(b)0，而且在 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值考点 3 函数的最值与导数1函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤(1)求函数 yf(x)在

3、(a，b)内的极值(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，2 / 20其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值必会结论1若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在a，b内一定有最值2若函数 f(x)在a，b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 yx2ln x 的单调减区间为(1,1)( )(2)在函数 yf(x)中，若 f(x0)0，则 xx0 一定是函数yf(x)的极值( )(3)函数

4、的极大值不一定比极小值大( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )答案 (1) (2) (3) (4)2课本改编函数 yx2(x3)的单调递减区间是( )B(2，)A(，0) D(2,2)C(0,2) 答案 C解析 y3x26x，由 y0，得 0x2.3课本改编设函数 f(x)ln x，则( )Ax为 f(x)的极大值点Bx为 f(x)的极小值点Cx2 为 f(x)的极大值点Dx2 为 f(x)的极小值点答案 D解析 f(x)，x0，当 x2 时，f(x)0，f(x)3 / 20是增函数；当 0f(1)故选 D.52017浙江高考函数 yf(x)的导函数 yf(

5、x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数 f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于 0，大于 0，小于 0，大于 0，对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除 A，C.如图所示，f(x)有 3 个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且 x1，x3 是极小值点，x2 是极大值点，且 x20，故选项 D 正确故选 D.6课本改编函数 f(x)x3x23x1 的图象与 x 轴的交点个数是_答案 3解析 f(x)x22x3(x1)(x3)，函数在(，1)和(3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数，由 f(x)极

6、小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0，知函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数为 3.4 / 20板块二 典例探究考向突破考向 利用导数研究函数的单调性例 1 2018大庆模拟已知函数 f(x)aln xx2(a1)x3.(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上是增函数，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)ln x3，定义域为(0，)则 f(x)x.由得 0x1.所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,1)(2)因为函数 f(x)在(0，)上是增函数，所以 f(x)xa10 在(0，)上恒成立，所以 x2(a1)xa

7、0，即(x1)(xa)0 在(0，)上恒成立因为 x10，所以 xa0 对 x(0，)恒成立，所以a0.即实数 a 的取值范围是0，)若本例中的函数变为 f(x)ex(ax22x2)(a0)试讨论 f(x)的单调性解 由题意得 f(x)exax2(2a2)x(a0)，令 f(x)0，解得 x10，x2.(1)当 0a1 时，f(x)的单调递增区间为(，0)和，单调递减区间为；(2)当 a1 时，f(x)在(，)内单调递增；(3)当 a1 时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为.若本例中的函数变为 f(x)(a1)ln xax21，aR，试讨论 f(x)的单调性解 f(x)的定义

8、域为(0，)，5 / 20f(x)2ax.(1)当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增(2)当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减(3)当 0a1 时，令 f(x)0，解得 x，则当 x时，f(x)0；当 x时，f(x)0，故 f(x)在上单调递减，在上单调递增触类旁通讨论函数单调性的方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)

9、，f(x)在 R 上是增函数【变式训练 1】 (1)若函数 f(x)x2ax在是增函数，则 a的取值范围是_答案 3，)解析 由条件知 f(x)2xa0 在上恒成立，即 a2x在上恒成立函数 y2x 在上为减函数，ymax23，a3.经检验，当 a3 时，满足题意(2)2018青岛模拟已知函数 f(x)ln xax(aR)，讨论函数 f(x)的单调性解 f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x0)，当a0 时，f(x)a0，即函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，令 f(x)a0，可得 x，当 0时，f(x)0，故函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减由知，当 a0 时，f(x)

10、在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减考向 利用导数研究函数的极值命题角度 1 知图判断函数极值情况例 2 2018江门模拟设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)答案 D解析 由图可得函数 y(1x)f(x)的零点为2,1,2，则当x0，此时在(，2)上 f(x)0，在(

11、2,1)上f(x)1 时，1x0.所以 f(x)在(，2)为增函数，在(2,2)为减函数，在(2，)为增函数，因此 f(x)有极大值f(2)，极小值 f(2)故选 D.命题角度 2 已知函数求极值例 3 已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则( )A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值答案 C解析 当 k1 时，f(x)ex(x1)ex1，此时 f(1)7 / 200，故排除 A、B 项；当 k2 时，f(x

12、)ex(x1)2(ex1)(2x2)，此时 f(1)0，在 x1 附近左侧，f(x)0，所以 x1 是 f(x)的极小值点命题角度 3 已知函数的极值求参数范围例 4 (1)函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极值10，则 a，b 的值为( )Aa3，b3，或 a4，b11Ba4，b1，或 a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案 D解析 f(x)3x22axb，依题意，有即解得或Error!当 a3 且 b3 时，f(x)3x26x30，函数 f(x)无极值点，故符合题意的只有故选 D.(2)函数 f(x)x(xm)2 在 x1 处取得极小值，则m_.答案 1解析 f(1)0

13、可得 m1 或 m3.当 m3 时，f(x)3(x1)(x3)，1x3，f(x)0；x1 或 x3，f(x)0，此时 x1 处取得极大值，不合题意，所以 m1.触类旁通函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求 f(x)求方程 f(x)0 的根列表检验 f(x)在 f(x)0 的根的附近两侧的符号下结论8 / 20(3)已知极值求参数若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反考向 利用导数研究函数的最值例 5 2017北京高

14、考已知函数 f(x)excosxx.(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间上的最大值和最小值解 (1)因为 f(x)excosxx，所以 f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.(2)设 h(x)ex(cosxsinx)1，则 h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当 x时，h(x)0，所以 h(x)在区间上单调递减，所以对任意 x有 h(x)0，g(t)是增函数从而，当 t10 时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)mi

15、n300，此时 f(t)min15.故当 t10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 千米触类旁通利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，该极值点也就是最值点【变式训练 3】 某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的11 / 20成本为 20 元，并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数，且2t5)设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25x40)，根据市场调查，日销售量 q

16、公斤与 ex 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时，日销售量为 100 公斤(1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式；(2)若 t5，当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少时，该工厂的每日利润 y 最大？并求最大值解 (1)设日销量 q(k0)，则100，k100e30，日销量 q，y(25x40)(2)当 t5 时，y，y.由 y0 得 x26，由 y0，得 x26，y 在区间25,26上单调递增，在区间26,40上单调递减，当 x26 时，ymax100e4，即当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时，该工厂的每日利润最大，最大值为 100e4 元核心规律1.利用

17、导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且有条理，可减少失分2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点处取得满分策略12 / 201.注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2.解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题，处理好 f(x)0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点3.f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区

18、间上 f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解板块三 启智培优破译高考创新交汇系列 3利用导数研究函数的图象与性质2016全国卷函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为( )解题视点 该题易出现的问题是不能抓住选项的差异性与函数性质的对应，困惑于解析式的复杂形式，导致无从下手解析 解法一：令 f(x)y2x2e|x|.当 x(0,2时，f(x)2x2ex，f(x)4xex.f(x)在(0,2)上只有一个零点 x0，且当 0xx0 时，f(x)0；当 x0x2 时，f(x)0.故 f(x)在(0,2上先减后增，又 f(2)17e20，所以 f(2)1.故选 D.解法二：令 f(x)

19、y2x2e|x|，则 f(2)8e20，故排除A；f(2)17e20，f(2)1，故排除 B；fe) 0.51.51f(0)，故排除 C.故选 D.答案 D答题启示 函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.跟踪训练2018赣州模拟函数 yx2ex 的图象大致为( )13 / 20答案 A解析 因为 y2xexx2exx(x2)ex，所以当 x0 时，y0，函数 yx2ex 为

20、增函数；当21 时，y0，在2,3上只有一个极值点，所以函数的极小值为 y|x10，所以 ymin0.22018南阳模拟已知函数 f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是( )B(0,1)和(2，)A.和(1，) D(1,2)C.和(2，) 答案 C解析 函数 f(x)x25x2ln x 的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得 0x或 x2，故函数 f(x)的单调递增区间是，(2，)32018无锡模拟设函数 f(x)xex，则( )Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点答案 D解析 f(x

21、)(x1)ex，当 x1 时，f(x)0，当14 / 20x1 时，f(x)0，所以 x1 为 f(x)的极小值点故选 D.4若 a2，则函数 f(x)x3ax21 在区间(0,2)上恰好有( )B1 个零点A0 个零点 D3 个零点C2 个零点 答案 B解析 f(x)x22ax，且 a2，当 x(0,2)时，f(x)0，f(2)4a0)(1)若 f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数 k 的值为_；(2)若 f(x)在(0,4)上为减函数，则实数 k 的取值范围是_答案 (1) (2)(0，1 3解析 (1)f(x)3kx26(k1)x，由题意知 f(4)0，解得 k.15 / 20(2

22、)由 f(x)3kx26(k1)x0 并结合导函数的图象可知，必有4，解得 k.又 k0，故 01，则不等式 f(x)x0 的解集为_答案 (2，)解析 令 g(x)f(x)x，g(x)f(x)1.由题意知 g(x)0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0 的解集为(2，)82018西宁模拟若函数 f(x)x3x22ax 在上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_答案 (1 9，)解析 对 f(x)求导，得 f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为 f2a.令2a0，解得 a.所以a 的取值范围是.92018广西模拟已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的

23、单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值解 (1)由题意知 f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)16 / 20(2)当 k10，即 k1 时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 00，解得 x1；令 f(x)1 即 m2，17 / 20当 00 且 x0 时，f(x)0；当 x时，显然 f(x)(或者举例：当 xe2 时，f(e2)e20)如图，由图象可知，m10，

24、即 m1，由可得2m1.故 m 的取值范围为(2，1)B 级 知能提升12016四川高考已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a( )B2 A4 D2C4 答案 D解析 由题意可得 f(x)3x2123(x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2 或 x2，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则 a2.故选 D.22018山东师大附中检测已知函数 f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得 f(x2)g(x1)成立，则实数a 的取值范围是( )A. B

25、1，)Ce，) D.1 e，)答案 D解析 f(x)exxex(1x)ex，当 x1 时，f(x)0，18 / 20函数单调递增；当 x0，从而函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，令 f(x)0，解得 x或 x(舍去)此时，f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(0， 1 a)1a(1a，)f(x)0f(x)f(1a)20 / 20f(x)的单调增区间是，单调减区间是，.(2)当 a0 时，由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1).令1，得 a2，这与 a0 矛盾，不合题意当1a0 时， 1，由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1).令1，得 a2，这与1a0 矛盾，不合题意当 a1 时，0 1，由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f.令 f1，解得 ae，符合 a1.综上，当 f(x)在(0,1上的最大值是1 时，ae.