高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系理.doc

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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-38-3 空空间点直线平面之间的位置关系理间点直线平面之间的位置关系理1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或

2、直角)叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【知识拓展】1唯一性定理2 / 17(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“

3、”)(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面， 相交，并记作 a.( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( )(3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( )(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面( )(5)没有公共点的两条直线是异面直线( )1下列命题正确的个数为( )梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1 C2 D3答案 C解析 中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上

4、，则两个平面相交，正确2(2016浙江)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线3 / 17m，n 满足 m，n，则( )Aml BmnCnl Dmn答案 C解析 由已知，l，l，又n，nl，C 正确3(2017合肥质检)已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是( )A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 l，m，m，则 mlD若 m，n，lm，ln，则 l答案 C解析 m，n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误；根据线面平行的性质可知 C正确；若 mn，根据线面垂直的判定可知 D 错误，故选 C.

5、4.(教材改编)如图所示，已知在长方体 ABCDEFGH 中，AB2，AD2，AE2，则 BC 和 EG 所成角的大小是_，AE 和 BG所成角的大小是_答案 45 60解析 BC 与 EG 所成的角等于 EG 与 FG 所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45，AE 与 BG 所成的角等于 BF 与 BG 所成的角即GBF，tanGBF，GBF60.5如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且ABCD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4 / 17_答案 4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行所以与 EF 相交的侧面有 4个.题型一 平面基本性质的应用例

6、 1 (1)(2016山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.(2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且 CGBC，CHDC.求证：E、F、G、H 四点共面；三直线 FH、EG、AC 共点证明 连接 EF、GH，如图所示，E、F 分别

7、是 AB、AD 的中点，EFBD.又CGBC，CHDC，GHBD，EFGH，E、F、G、H 四点共面易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面，5 / 17设 FHACM，M平面 EFHG，M平面 ABC.又平面 EFHG平面 ABCEG，MEG，FH、EG、AC 共点思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)

8、证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD 且 BCAD，BEAF 且BEAF，G、H 分别为 FA、FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD，GH 綊 BC.四边形 BCHG 为平行四边形(2)解 BE 綊 AF，G 是 FA 的中点，BE 綊 FG，四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG.由(1)知 BG 綊

9、 CH，EFCH，EF 与 CH 共面又 DFH，C、D、F、E 四点共面题型二 判断空间两直线的位置关系6 / 17例 2 (1)(2015广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( )Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交(2)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是( )AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与

10、 A1B1 平行(3)在图中，G、N、M、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案 (1)D (2)D (3)解析 (1)若 l 与 l1，l2 都不相交，则 ll1，ll2，l1l2，这与 l1 和 l2 异面矛盾，l 至少与 l1，l2 中的一条相交(2)连接 B1C，B1D1，如图所示，则点 M 是 B1C 的中点，MN 是B1CD1 的中位线，MNB1D1，又 BDB1D1，MNBD.CC1B1D1，ACB1D1，MNCC1，MNAC.又A1B1 与 B1D1 相交，7 / 17MN

11、与 A1B1 不平行，故选 D.(3)图中，直线 GHMN；图中，G、H、N 三点共面，但 M面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G、M、N 共面，但 H面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以图中 GH 与 MN 异面思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决(1)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，有下列结论：若 ab，ac，则

12、 bc；若 ab，ac，则 bc；若ab，bc，则 ac.其中正确的个数为( )A0 B1 C2 D3(2)(2016南昌一模)已知 a、b、c 是相异直线，、 是相异平面，则下列命题中正确的是( )Aa 与 b 异面，b 与 c 异面a 与 c 异面Ba 与 b 相交，b 与 c 相交a 与 c 相交C，Da，b， 与 相交a 与 b 相交答案 (1)B (2)C解析 (1)在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立8 / 17(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c 是三条棱所在直线，满足 a 与 b异面，b 与 c 异面，但 acA，故 A

13、错误；在图(2)的正方体中，满足 a 与 b 相交，b 与 c 相交，但 a 与 c 不相交，故 B 错误；如图(3)，c，ac，则 a 与 b 不相交，故 D 错误题型三 求两条异面直线所成的角例 3 (2016重庆模拟)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角为_答案 3解析 如图，将原图补成正方体 ABCDQGHP，连接 GP，则 GPBD，所以APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角，在AGP 中，AGGPAP，所以APG.引申探究在本例条件下，若 E，F，M 分别是 AB，BC，PQ 的中点，异面直线 EM与

14、AF 所成的角为 ，求 cos 的值解 设 N 为 BF 的中点，连接 EN，MN，则MEN 是异面直线 EM 与 AF 所成的角或其补角不妨设正方形 ABCD 和 ADPQ 的边长为 4，则 EN，EM2，MN.在MEN 中，由余弦定理得cos MENEM2EN2MN2 2EMEN245332 2 6 5.即 cos .9 / 17思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角已知

15、正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE与 BD 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.33答案 B解析 画出正四面体 ABCD 的直观图，如图所示设其棱长为 2，取 AD 的中点 F，连接 EF，设 EF 的中点为 O，连接 CO，则 EFBD，则FEC 就是异面直线 CE 与 BD 所成的角ABC 为等边三角形，则 CEAB，易得 CE，同理可得 CF，故 CECF.因为 OEOF，所以 COEF.又 EOEFBD，所以 cosFEC.16构造模型判断空间线面位置关系10 / 17典例 已知 m，n 是两条不同的直线， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m，

16、n，mn，则 ；若 m，n，mn，则 ；若 m，n，mn，则 ；若 m，n，则 mn.其中所有正确的命题是_思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面、 互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面 、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面 、 可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由 m， 可得m，因为 n，所以过 n 作平

17、面 ，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以 mn，故正确答案 1设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，a，b，则“”是“ab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a，b，则由 ，bb，11 / 17又 a，所以 ab；若 ab，a，b，则 b 或 b 或 b，此时 或 与 相交，所以“”是“ab”的充分不必要条件，故选 A.2(2016福州质检)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E、F 分别为棱AA1、CC1 的中点，则在空间中与直线 A1B1、EF、BC 都相交的直线( )A不存在 B有且只

18、有两条C有且只有三条 D有无数条答案 D解析 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1 与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当 M 的位置不同时确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN 与 A1B1、EF、BC 分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线 A1B1、EF、BC 都相交3对于任意的直线 l 与平面 ，在平面 内必有直线 m，使 m 与l( )A平行 B相交C垂直 D互为异面直线答案 C解析 不论 l，l，还是 l 与 相交， 内都有直线 m 使得ml.4在四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G

19、，H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M，则( )AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在 BD 上DM 既不在 AC 上，也不在 BD 上12 / 17答案 A解析 由于 EFHGM，且 EF平面 ABC，HG平面 ACD，所以点 M 为平面 ABC 与平面 ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为 AC，所以点 M 一定在直线 AC 上，故选 A.5四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 CD 与 PA 所成角的余弦值为( )A. B.55C. D.3 5答案 B解析 因为四边形 ABCD 为正方形

20、，故 CDAB，则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角，即为PAB.在PAB 内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知cosPAB，故选 B.6下列命题中，正确的是( )A若 a，b 是两条直线， 是两个平面，且 a，b，则a，b 是异面直线B若 a，b 是两条直线，且 ab，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线 a平面 ，点 P，则平面 内经过点 P 且与直线 a平行的直线有且只有一条答案 D解析 对于 A，当 ，a，b 分别为第三个平面 与 ， 的13 / 17交线时，由面面平行的性质可知 ab

21、，故 A 错误对于 B，设 a，b 确定的平面为 ，显然 a，故 B 错误对于 C，当 a 时，直线 a 与平面 内的无数条直线都平行，故 C错误易知 D 正确故选 D.7(2016南昌高三期末)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为直角三角形ACB90，AC6，BCCC1，P 是 BC1 上一动点，则 CPPA1 的最小值为_答案 52解析 连接 A1B，将A1BC1 与CBC1 同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线 CPPA1A1C 达到最小，在等腰直角三角形BCC1 中，BC12，CC1B45，在A1BC1 中，A1B2，A1C16，BC12，A1CBCA1B2

22、，即A1C1B90.对于展开形成的四边形 A1BCC1，在A1C1C 中，C1C，A1C16，A1C1C135，由余弦定理有，CPPA1A1C5.8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为 DE、BE、EF、EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.14 / 179(2015浙江)如图，三棱锥 ABCD

23、 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_答案 7 8解析 如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK.M 为 AD 的中点，MKAN，KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N 为 BC 的中点，由勾股定理求得 ANDNCM2，MK.在 RtCKN 中，CK.在CKM 中，由余弦定理，得cosKMCCM2MK2CK2 2CM MK.*10.(2017郑州质检)如图，矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.

24、若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_BM 是定值；点 M 在某个球面上运动；存在某个位置，使 DEA1C；存在某个位置，使 MB平面 A1DE.答案 解析 取 DC 中点 F，连接 MF，BF，MFA1D 且 MFA1D，FBED 且15 / 17FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB 是定值，所以 M 是在以 B 为圆心，MB 为半径的球上，可得正确；由 MFA1D 与 FBED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得正确；A1C 在平面 ABCD 中的投影与 AC 重合，AC 与 DE 不垂直，可得不

25、正确11.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为正方形 ABCD 的中心，H为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点求证：D1、H、O 三点共线证明 如图，连接 BD，B1D1，则 BDACO，BB1 綊 DD1，四边形 BB1D1D 为平行四边形，又 HB1D，B1D平面 BB1D1D，则 H平面 BB1D1D，平面 ACD1平面 BB1D1DOD1，HOD1.即 D1、H、O 三点共线12.如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，A90，BC，DAAC，DAAB，若 DA1，且 E 为 DA 的中点求异面直线BE 与 CD 所成角的余弦值解 如图所示，取 AC 的中点 F，连接

26、 EF，BF，在ACD 中，E、F 分别是 AD、AC 的中点，EFCD.BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角在 RtEAB 中，ABAC1，AEAD，BE.在 RtEAF 中，AFAC，AE，16 / 17EF.在 RtBAF 中，AB1，AF，BF.在等腰三角形 EBF 中，cosFEB.异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为.*13.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D、B、F、E 四点共面；(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线证明 (1)如图所示，因为 EF 是D1B1C1 的中位线，所以 EFB1D1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，B1D1BD，所以 EFBD.所以 EF，BD 确定一个平面即 D、B、F、E 四点共面(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为 ，又设平面 BDEF 为 .因为 QA1C1，所以 Q.又 QEF，所以 Q.则 Q 是 与 的公共点，同理，P 点也是 与 的公共点所以 PQ.又 A1CR，所以 RA1C，则 R 且 R.则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线17 / 17