2019高中数学 课时分层作业16 空间向量的正交分解及其坐标表示 新人教A版选修2-1.doc

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1、1课时分层作业课时分层作业( (十六十六) ) 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：40 分钟)基础达标练一、选择题1给出下列命题：若a a，b b，c c可以作为空间的一个基底，d d与c c共线，d d0 0，则a a，b b，d d也可以作为空间的一个基底；已知向量a ab b，则a a，b b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若， ，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四BABMBN点共面；已知a a，b b，c c是空间的一个基底，若m ma ac c，则a a，b b，m m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是(

2、 )A1 B2 C3 D4D D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由， ，不能构成空间的一个基底，知， ，共面又， ，过BABMBNBABMBNBABMBN相同点B，知A，B，M，N四点共面所以正确下面证明正确：假设d d与a a，b b共面，则存在实数，使得d da ab b，d d与c c共线，c c0 0，存在实数k，使得d dkC Cd d0 0，k0，从而c ca ab b，c c与a a，b b共面，与条件矛盾，d d与 k ka a，b b不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选 D2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是

3、上底面对角线AC与BD的交点，若a a，A1B1b b，c c，则可表示为( )A1D1A1AB1MAa ab bc c Ba ab bc c1 21 21 21 2Ca ab bc cDa ab bc c1 21 21 21 2D D 由于 ()B1MB1BBMB1B1 2BABCa ab bc c，故选 D1 21 23正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以1，2，3为基底，x1yz3，则x，y，z的值是( )AOAOAOACAOAO2AO2Axyz1Bxyz1 2CxyzDxyz222A A ACAAADAB () () ()1 2ABAD1 2AAA

4、D1 2AAAB，1 2AC1 2AD1 2ABAO1AO3AO2由空间向量的基本定理，得xyz1.4已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a a，向量OAOBOCb b，则与a a，b b不能构成空间基底的向量是( ) OAOBOC【导学号：46342150】A BOAOBC D或OCOAOBC C 因为a ab b2，所以a a，b b与共面，不能构成空间的一个基底OCOC5如图 3133，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则等于( )1 4BE图 3133A(0，1 4，1)B(1 4，0，1)C(0，1 4，1)D(1 4，0，1)3

5、C C 由图知B(1,1,0)，E，所以.(1，3 4，1)BE(0，1 4，1)二、填空题6已知空间的一个基底a a，b b，c c，m ma ab bc c，n nxa ayb bc c，若m m与n n共线，则x_，y_.1 1 因为m m与n n共线，所以存在实数，使m mn n，即a ab bc cxa ayb bc c，于是有Error!解得Error!7如图 3134, 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若a a，b b，c c，则_.ABADAA1B1M图 3134a ab bc c 1 21 2B1MAMAB1 ()()a ab bC C1 2AB

6、ADABAA11 2AB1 2ADAA11 21 28已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图 3135 所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1，则的坐标为_. MN【导学号：46342151】图 3135 PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，MN(1 2，0，1 2)M，P(0,0,1)，C(1,1,0)，(0，1 2，0)则N.(1 2，1 2，1 2)4MN(1 2，0，1 2)三、解答题9如图 3136，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a a，MA1 3ACND1 3A1DABb b，c c，试用a a，b b，c c表示.ADA

7、A1MN图 3136解 连接AN，则.MNMAAN由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得a ab b，ACABAD (a ab b)，MA1 3AC1 3又b bc c，A1DADAA1故ANADDNADNDAD1 3A1Db b (b bc c)，1 3所以 (a ab b)b b (b bc c)MNMAAN1 31 3 (a ab bc c)1 310如图 3137，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，O是AC与BD的交点，PO1，M是PC的中点设a a，b b，C CABADAP5图 3137(1)用向量a a，b b，c c表示.BM(2)在如图的空间

8、直角坐标系中，求的坐标. BM【导学号：46342152】解 (1)，BMBCCMBCADCM1 2CPCPAPACACABAD () ()a ab bC CBMAD1 2APACAD1 2AP1 2ABAD1 2AB1 2AD1 2AP1 21 21 2(2)a a(1,0,0)，b b(0,1,0)ABADA(0,0,0)，O，P，c c，(1 2，1 2，0)(1 2，1 2，1)APOPOA(1 2，1 2，1)a ab bc c (1,0,0) (0,1,0).BM1 21 21 21 21 21 2(1 2，1 2，1) (1 4，3 4，1 2)能力提升练1已知M，A，B，C四点

9、互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量， ，MAMB成为空间的一个基底的是( )MCAOAOBOCOM1 31 31 3BMAMBMCCOMOAOBOCD2MAMBMCC C 对于选项 A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，知，OMOAOBOCMA，共面；对于选项 B，D，易知， ，共面，故选 CMBMCMAMBMC2已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量a a在基底， ，下的坐标为(2,1，3)，ABADAA16则向量a a在基底， ，下的坐标为( )DADCDD1A(2,1，3) B(1,2，3)C(1，8,9)D(1,8，9)B B a a232323DD1，向量

10、a a在基底，ABADAA1DCDADD1DADCDA，下的坐标为(1,2，3)，故选 BDCDD13在空间四边形ABCD中，a a2c c，5a a5b b8c c，对角线AC，BD的中点分别ABCD是E，F，则_.EF3a ab b3c c () () ()5 2EF1 2EDEB1 4ADCD1 4ABCB1 4AB1 4BD1 4CD1 4AB1 4CD ()3a ab b3c c1 4DB1 2ABCD5 24已知向量p p在基底a a，b b，c c下的坐标为(2,1，1)，则p p在基底2a a，b b，c c下的坐标为_；在基底a ab b，a ab b，c c下的坐标为_.

11、【导学号：46342153】(1,1,1) 由题意知p p2a ab bc c，(3 2，1 2，1)则向量p p在基底2a a，b b，c c下的坐标为(1,1,1)设向量p p在基底a ab b，a ab b，c c下的坐标为(x，y，z)，则p px(a ab b)y(a ab b)zc c(xy)a a(xy)b bzc c又p p2a ab bc c，Error!，解得x ，y ，z1；3 21 2p p在基底a ab b，a ab b，c c下的坐标为.(3 2，1 2，1)5已知e e1，e e2，e e3为空间的一个基底，且2e e1e e23e e3，e e12e e2e e

12、3，3e e1e e22e e3，e e1e e2e e3.OPOAOBOC(1)判断P，A，B，C四点是否共面(2)能否以， ，作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，OAOBOCOP请说明理由解 (1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使xyz，且xyz1，OPOAOBOC7即 2e e1e e23e e3x(e e12e e2e e3)y(3e e1e e22e e3)z(e e1e e2e e3)比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组Error!，解得Error!，与xyz1 矛盾，故P，A，B，C四点不共面(2)若OA， ，共面，则存在实数m，n，使mn，OBOCOAOBOC同(1)可证， ， ，不共面，OAOBOC因此， ，可以作为空间的一个基底，令a a，b b，c c，OAOBOCOAOBOC由e e12e e2e e3a a，3e e1e e22e e3b b，e e1e e2e e3c c，得Error!，所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)OP17a5b30c17530.OAOBOC