2019高中数学 第三章 三角恒等变换 阶段复习课 第4课 三角恒等变换学案 新人教A版必修4.doc

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1、1第四课第四课 三角恒等变换三角恒等变换核心速填1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin_coscos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().tan tan 1 tan tan 2倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.2tan 1tan23半角公式sin. 21cos 2cos. 21cos 2tan. 21cos 1cos sin 1cos 1cos sin 4辅助角公式(1)asin bcos sin().a2b2(tan b a)(2)与特殊角有关的几个结论：sin c

2、os sin，2( 4)sin cos 2sin，3( 6)sin cos 2sin.3( 3)体系构建2题型探究三角函数式求值(1)已知 sin ，则 cos( )( 3)2 5(2 018 32)A B17 257 8C D17 257 8(2)4cos 50tan 40等于( )A B22 32CD2132(3)已知 tan() ，tan ，且，(0，)，求 2的值.1 21 7(1 1)C C (2 2)C C (1)coscos(2 018 32)(2 32)12sin2( 3)122(2 5).17 25(2)4cos 50tan 404sin 40cos 40sin 40 cos

3、 402sin 80sin 40 cos 402sin5030sin 40 cos 4033sin 50cos 50sin 40cos 40.3sin 50cos 403(3)tan tan() 0.tantan 1tantan 1 3而(0，)，故.(0， 2)tan ，0，1 7 20.而 tan() 0，1 2， 22()(，0)tan(2)tan()1，tan tan 1tan tan2.3 4规律方法 三角函数求值主要有三种类型，即：1“给角求值” ，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用

4、诱导公式.2“给值求值” ，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.3“给值求角” ，本质上还是“给值求值” ，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.跟踪训练1若，sin() ，sin，则 cos(3 4，)3 5( 4)12 13( 4)( ) 【导学号：84352353】A B56 6516 654C D或56 6556 6516 65C C ，(3 4，)(3 2，2) 4( 2，34)cos() ，1sin21(35)24 5co

5、s，( 4)1sin2(4)1(1213)25 13则 coscos( 4)( 4)cos()cossin()sin( 4)( 4) .4 5(5 13) (3 5)12 1356 652在ABC中，若 3cos25sin24，则 tan Atan B_.AB 2AB 2因为 3cos25sin24，1 4AB 2AB 2所以 cos(AB) cos(AB)0，3 25 2所以 cos Acos B sin Asin B cos Acos B sin Asin B0，3 23 25 25 2即 cos Acos B4sin Asin B，所以 tan Atan B .1 4三角函数式化简化简(

6、1)；2cos4x2cos2x122tan(4x)sin2(4x)(2).(1tan2tan2)(1tan tan 2)解 (1)原式2sin2xcos2x122sin(4x)cos2(4x)cos(4x)5 cos 2x.1 21sin22x2sin(4x)cos(4x)1 2cos22xsin(22x)1 2(2)原式(cos2sin2sin2cos2) (1sin cos sin2cos2)cos22sin22sin2cos2cos cos2sin sin2cos cos2.2cos sin cos2cos cos22 sin 规律方法 三角函数式化简的基本技巧(1)sin ，cos 凑

7、倍角公式(2)1cos 升幂公式(3)asin bcos 辅助角公式asin bcos sin()，其a2b2中 tan 或asin bcos cos()，其中 tan .b aa2b2a b跟踪训练3化简：(180360)1sin cos (sin 2cos 2)22cos 解 原式(2cos2 22sin 2cos 2)(sin 2cos 2)22cos222cos 2(cos 2sin 2)(sin 2cos 2)2|cos 2|.cos 2cos |cos 2|180360，90180，cos 0， 2 26原式cos .cos 2cos cos 2三角恒等式的证明求证：tan2x.

8、1 tan2x23cos 4x 1cos 4x证明 左边sin2x cos2xcos2x sin2xsin4xcos4x sin2xcos2xsin2xcos2x22sin2xcos2x 1 4sin22x112sin22x 1 4sin22x112sin22x 1 81cos 4x84sin22x 1cos 4x44cos22x 1cos 4x421cos 4x 1cos 4x右边23cos 4x 1cos 4x原式得证规律方法 三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，

9、找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.跟踪训练4已知 sin(2)5sin ，求证：2tan()3tan .7证明 由条件得 sin()5sin()，两边分别展开得sin()cos cos()sin 5sin()cos 5cos()sin ，整理得：4sin()cos 6cos()sin ，两边同除以 2cos()cos 得：2tan()3tan .三角恒等变换的综合应用已知向量a a(cos x，sin x)，b b(3，)，x0，3(1)若a ab b，求x的值；(2)记f(x)abab，

10、求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 (1)因为a ab b，所以 3sin xcos x，又 cos x0，3所以 tan x，因为x0，33所以x.5 6(2)f(x)3cos xsin x32sin.3(x 3)因为x0，所以x， 3 3，23所以sin1，32(x 3)所以2f(x)3，3当x，即x0 时，f(x)取得最大值 3； 3 3当x，即x时，f(x)取得最小值2. 3 25 63规律方法 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.

11、1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为yAsinxk或yAcosxk等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行8求解.2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.3有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.跟踪训练5已知函数f(x).sin xcos xsin 2x sin x(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间解 (1)由 sin x0 得xk(kZ Z)，故f(x)的定义域为xR R|xk，kZ Z因为f(x)sin xcos xsin 2x sin x2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，2(2x 4)所以f(x)的最小正周期T.2 2(2)函数ysin x的单调递减区间为(kZ Z)2k 2，2k32由 2k2x2k，xk(kZ Z)， 2 43 2得kxk(kZ Z)，3 87 8所以 f(x)的单调递减区间为(kZ)k38，k78