2018版高中数学第三章三角恒等变换章末复习课导学案新人教A版必修4_.doc

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1、第三章 三角恒等变换学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .tan().tan().2.二倍角公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.升幂缩角公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4.降幂扩角公式sin xcos x，co

2、s2x，sin2x.5.和差角正切公式变形tan tan tan()(1tan tan )，tan tan tan()(1tan tan ).6.辅助角公式yasin xbcos xsin(x).类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知，为锐角，cos ，tan()，求cos 的值.解是锐角，cos ，sin ，tan .tan tan().是锐角，cos .反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如2，()，()，()()，()()等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，

3、它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求的值.解(1)由题可知，cos ，cos .由于，为锐角，则sin ，sin ，故tan ，tan ，则tan().(2)因为tan()1，sin ，sin ，即，故.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的值.解设sin xcos xt，则tsin xcos xsin，t，sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos x，g(t)t(t1)21，t，.当t1，即sin xcos x1时，

4、f(x)min1，此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max，此时，由sin，即sin1，解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值，f(x)max.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2求函数ysin xsin 2xcos x(xR)的值域.解令sin xcos xt，则由tsin知，t，.又sin 2x1(sin xcos x)21t2，y(sin xcos x)sin 2xt1t

5、22.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值.解(1)因为f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.又因为x0，所以2x，所以f(x)的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知，f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，所以cos ，cos 2x0coscoscos sins

6、in .反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3已知cos，x，求的值.解sin 2xtan.x，x2，又cos，sin.tan.cos xcoscoscos sinsin .sin xsinsincos sin cos，sin 2x.类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知sin x2cos y2，求2sin xcos y的

7、取值范围.解设2sin xcos ya.由解得从而解得1a.故2sin xcos y的取值范围是.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4已知关于的方程cos sin a0在区间(0，2)上有两个不相等的实数解，求cos()的值.解设xcos ，ysin ，则有消去y，并整理得4x22axa210.由已知得cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得sin sin (cos a)(cos a)3cos cos (cos cos )aa2.cos()cos cos sin sin

8、.1.若是第三象限角，且sin()cos sin cos()，则tan 等于()A.5 B. C. D.5答案A解析sin()cos sin cos()sin()sin ，又是第三象限角，cos .tan 5.2.已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin 2等于()A. B.C. D.答案A解析由sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin22，得sin22，即sin22.又2k2k(kZ)，4k224k3(kZ)，故sin 2.故选A.3.已知sin cos ，sin cos ，则sin() .答案解析由(sin cos )2(sin cos )2，得2sin()，

9、即sin().4.设为锐角，若cos，则sin的值为 .答案解析为锐角且cos，sin.sin2sincos，cos2cos21，sinsin.5.已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间，上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x).所以f(x)的最小正周期为T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f()，f()，f()，所以，函数f(x)在闭区间，上的最大值

10、为，最小值为.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1.cos 2 017cos 1 583sin 2 017sin 1 583等于()A.0 B. C. D.1答案D解析原式cos(2 0171 583)cos 3 6001.2.函数ysin 2xsin2x(xR)的值域是()A.B.C.D.答案C解析ysin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x).xR，2xR，sin(2x)1，1，函数的值域是.3.函

11、数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A.，1 B.，2C.2，1 D.2，2答案A解析f(x)sin 2xcos 2xsin，最小正周期T，振幅A1.4.已知tan()，且，则等于()A. B.C. D.答案B解析2cos .tan，tan 3 ，cos .则2cos 2.5.已知向量a(sin ，1)，b(2，2cos )()，若ab，则sin()等于()A. B.C. D.答案D解析ab，ab2sin 2cos 2sin()0，sin().，cos().sin()sin()cos().6.若3，则cos2sin 2的值是()A. B.C. D.答案D解析由

12、题意知，tan ，则cos2sin 2cos2sin cos .7.函数ysin xcos xcos2x的图象的一个对称中心为()A. B.C. D.答案B解析ysin 2x(1cos 2x)sin，令2xk(kZ)，x(kZ)，当k2时，x，函数图象的一个对称中心为.二、填空题8.若点P(cos ，sin )在直线y2x上，则sin 22cos 2 .答案2解析由题意知，tan 2，sin 22cos 22sin cos 2cos22sin22.9.函数y(acos xbsin x)cos x有最大值2，最小值1，则实数a ，b .答案12解析yacos2xbsin xcos xsin 2x

13、cos 2xsin(2x)，2，1，a1，b2.10.若(4tan 1)(14tan )17，则tan() .答案4解析由已知得4(tan tan )16(1tan tan )，即4.tan()4.三、解答题11.已知函数f(x)(1)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()；(2)若x，求f(x)的取值范围.解(1)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2x(sin 2xcos 2x)，由tan 2，得sin 2，cos 2，所以f().(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin，由x，得2x，所以sin，从而f(x)sin.所以

14、f(x)的取值范围为0，.12.已知ABC的内角B满足2cos 2B8cos B50，若a，b，且a，b满足：ab9，|a|3，|b| 5，为a，b的夹角.求sin(B).解2(2cos2B1)8cos B50，4cos2B8cos B30，解得cos B，sin B，cos ，sin ，sin(B)sin Bcos cos Bsin .13.设函数f(x)sin2xcos(2x).(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；(2)设A，B，C为ABC的三个内角，已知cos B，f()，且C为锐角，求sin A的值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin 2x，当sin 2x1时，

15、f(x)max，此时2x2k(kZ)，xk(kZ)，x的取值集合为x|xk，kZ.(2)f()sin C，sin C.C为锐角，C.由cos B，得sin B，sin Asincos Bsin B.四、探究与拓展14.若tan()32，则 .答案15.已知向量(cos ，sin )，0.向量m(2，1)，n(0，)，且m(n).(1)求向量；(2)若cos()，0，求cos(2)的值.解(1)(cos ，sin )，n(cos ，sin ).m(n)，m(n)0，2cos sin 0.又sin2cos21，由得sin ，cos ，(，).(2)cos()，cos .又0，sin .又sin 22sin cos 2()()，cos 22cos2121，cos(2)cos 2cos sin 2sin ().