2019高中数学 第三章 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修1-1.doc

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1、13.1.13.1.1 变化率问题变化率问题3.1.23.1.2 导数的概念导数的概念学习目标：1.1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点难点)3.3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系(易混点)自 主 预 习探 新 知1函数的平均变化率(1)定义式：.y xfx2fx1 x2x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率y xfx2fx1 x2x1思考：x，y的取

2、值一定是正数吗？提示 x0，yP.2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率(1)定义式： .limx0y xlimx0fx0xfx0 x(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢3函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .limx0y xlimx0fx0xfx0 x基础自测1思考辨析(1)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可负也可以为零( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量( )(3)函数

3、f(x)x在x0 处的瞬时变化率为 0.( )答案 (1) (2) (3)2已知函数f(x)x21，则在x2，x0.1 时，y的值为( )A0.40 B0.41 C0.43 D0.44B B yf(2x)f(2)2.1240.41.3一物体的运动方程是s3t2，则在一小段时间2,2.1内的平均速度为( ) 2【导学号：97792121】A0.41 B3 C4 D4.1D D 4.1.s t32.12322 2.12合 作 探 究攻 重 难求函数的平均变化率(1)若函数f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则( )y xA4 B4x C42x D42(x)2(2)汽车

4、行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图 311，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为， ， ，则三者的大小关系为_v1v2v3图 311(3)球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为_解 (1)yf(1x)f(1)2(1x)21(2121)2(x)24x2x4，故选 C.y x(2)由题意知，kOA，kAB，kBC.v1v2v3根据图象知.v1v2v3(3)v 23 13.4 34 328 3.v r28 3答案 (1)C (2) (3)v1v2v328 3规律方法 求函数yf(x)从x0到x的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量 xxx0.(2)求函数的增

5、量 yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)3(3)求平均变化率.y xfx0xfx0 x提醒：x，y的值可正，可负，但 x0，y可为零，若函数f(x)为常值函数，则 y0.跟踪训练1(1)函数yf(x)3x22 在区间x0，x0x上的平均变化率为_，当x02，x0.1 时平均变化率的值为_(2)已知函数f(x)x2x的图象上的一点A(1，2)及临近一点B(1x，2y)，则_.y x(1)6x03x 12.3 (2)x3 (1)函数yf(x)3x22 在区间x0，x0x上的平均变化率为fx0xfx0 x0xx03x0x223x2 02 x6x0x3x2 x6x03x.当x02，x0.1

6、 时，函数y3x22 在区间2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3.(2)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(1)2(1)(x)23x，y xx23x xx3.求瞬时速度若一物体的运动方程为sError!(路程单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t3 s 到t5 s 这段时间内的平均速度；(2)物体在t1 s 时的瞬时速度思路探究 (1)先求 s，再根据 求解vs t(2)先求，再求 .s tlimx0s t4解 (1)因为 s3522(3322)48(m)，t2 s，所以物体在t3 s到t5 s 这段时间内的平均速度为24(m/s)s t48 2(2)因为 s293(1t)

7、32293(13)23(t)212t(m)，所以3t12(m/s)，s t3t212t t则物体在t1 s 时的瞬时速度为 (3t12)12(m/s)limx0s tlimx0规律方法 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量 t和位移改变量 ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度 .vs t(3)求瞬时速度，当 t无限趋近于 0 时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度s t2求(当 x无限趋近于 0 时)的极限的方法y x(1)在极限表达式中，可把 x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于 0 就是令 x0，求出结果即可y x跟踪训练2质点M按规律s2t23 作直线运

8、动(位移单位：cm，时间单位：s)求质点M在t2 时的瞬时速度以及在1,3上的平均速度. 【导学号：97792122】解 v limx0s2ts2 t (2t8)8(cm/s)，limx02 2t22 22 tlimx0vs3s1 312 3232 123 28(cm/s)求函数在某点处的导数探究问题求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同(1)函数y在x1 处的导数为_x(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为yf(t)t33，5当t14，t0.01 时，求 y和比值；y t求t14 时的导数思路探究 (1)

9、求y求yx求 limx0 y x(2)yf4.01f4y t求y求yt求 limt0 y t解析 (1)y1，1x，y x1x1x11x1 ，limx011x11 2所以y|x1 .1 2答案 1 2(2)yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3，故当2 1t14，t0.01 时，y0.481 201，48.120 1.y t 3t3t1t(t)23t48，limx0y tlimx02 12 1故函数yt33 在t14 处的导数是 48，即y|t1448.规律方法 求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限提醒：当对取极限时，一定要把变形到当 x0 时，分母

10、是一个非零常数的形y xy x式跟踪训练63求函数yx 在x1 处的导数1 x解 y(1x)x，1 1x(11 1)x 1x1.y xxx 1x x1 1x当 x0 时，2，f(1)2，y x即函数yx 在x1 处的导数为 2.1 x当 堂 达 标固 双 基1已知函数f(x)2x24 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于( )y xA4 B4xC42x D42(x)2C C 42x.y xf1xf1 x21x22 x2一质点的运动方程是s42t2，则在时间段1,1t内相应的平均速度为( )A2t4 B2t4C4 D2t24tB B 2t4.v421t242 12 t4t2t2 t3一质点按规律s(t)2t2运动，则在t2 时的瞬时速度为_. 【导学号：97792123】8 s(2t)s(2)2(2t)22222(t)28t. (2t8)8.limt0s2ts2 tlimt02t28t tlimt04设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.2 f(1) limt0f1xf1 xlimt0a，又f(1)2，a2.a1x4a4 x5求函数y2x24x在x3 处的导数解 y2(3x)24(3x)(23243)2(x)216x，72x16.y x2x216x xy|x3 (2x16)16.limt0yxlimt0